很多喜愛數學的人的共性：每當解出一道數學難題就會很有成就感！

還有人說他感到孤獨時，做做數學題，心情就會愉悅起來！

卡爾馬克思做數學題時，可能也是這種情況。

我每天只花1小時做題。快時1小時可做3道，慢時幾天都沒有思路。突然在出去運動時、做家務時，甚至上廁所時，來了靈感。

做出一道題，會很有成就感的。

有時題做順了，時間會不知不覺地過去了。

一個星期做兩三道就可以了，預防老年痴呆，但不可過度影響工作生活！

可以挑着做啊。

實在做不出，才看答案。而且答案有多個。

一些看起來不難的題目用別的方法做，可能會更快更好，打開新思路。

老顧有這麼多時間做這麼多題！羨慕！

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_AMC_12A_Problems

2024年AMC 12A第一題：

求：

9901*101 - 99*10101

呵呵，難嗎？

一般它的最後一題：第25題最難，但是多想想也能做出來。

每年的試題分兩部分，每部分25題，就是每年有50題。

慢慢做，一個月到一個半月就能做完了。

我下面說了，AMC12和AMC10不難的，前面幾道題甚至是送分題。

AIME也可以試試。

難的是USAMO和IMO兩個奧數賽。

老顧：我做數學題只是業餘愛好，活動腦筋，太難的AIME奧數題就算了。謝謝！

美國中學的數學競賽，有

--AMC: 8、10和12三種，各對應8、10和12年級。其中AMC 10和AMC 12的有些題是一樣的，每年賽1次。這些題比較合我們的胃口，只有個別的難題。

見：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_12_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopU8SG2VXPW_O8LKg1uCxEDfVC6Mmm_4k-Mz_ajggR6AnpBEbU0

我把這裡面所有的題目都翻了一遍做了，很有趣。

--再高一點的水平的高中數學競賽是AIME，是美國國家奧數的選拔賽，題目顯然難了一些，不過動動腦子，可以做出一大半。我正在做這個。

見：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AIME_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopDM3jipDZKf_j-5aJJKB4bKvYrQ_7vMfZIDI3q26ZGqZ6-qisn

--再上面就是美國國家奧數賽USAMO：

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/USAMO_Problems_and_Solutions?srsltid=AfmBOopRqYR9r-CGmtOLZDlOcXWf5djK3BTSTtn8ma3CI8H8sgVm0QNp

--以及世界奧數賽IMO：

https://www.imo-official.org/problems.aspx

這些奧數的題目已經相當難了，有些連題目都很難看懂。

有興趣的話，可以仔細找找看看玩玩。看看各國的數學水平與中國的不同的地方。

這個餘數問題不會做。

顯而易見，沒有重複的啦！

利用“同餘【congruence】”的概念做這道題比較容易。

現在“同餘”已經放入高中課本了，包括中國的高中。

參見：

模運算：

https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

【模運算，中文】

https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A8%A1%E7%AE%97%E6%95%B8

求：

2^192 - 1

被1000除後的餘數。

3數互換時，要考慮到兩個方程的限制。

你的6個combinations可能有重複的組合。

你把所有的你認為的組合放在一起，然後按順序排列，看看有沒有重複的組合。

Binet 公式【Fibonacci 數的通項公式】：

F(n) = (1/√5)*(φ^n - ψ^n)

F(n)表示第n個 Fibonacci 數。

我的看法是：這個公式把原來的Fibonacci 數之間的加法關係變成了乘法關係。

φ^10 = （123+55√5）/2

φ^10 - ψ^10 = 55√5

老顧：a,b,c 三數可以互換，共6個combinations ，正確答案是1201。我不再繼續討論這個問題了。

還有，以下情況也使得第二個方程（等於6百萬的那個方程）不成立：

a=100+k1, b=100+k2, c=100-k1-k2

或

a=100+k1, b=100-k2, c=100-k1+k2

你可用excel 試一下。

可以這樣算：

設a=100+k, b=100-k, c=100

(100+k)^2*(100-k+100) + (100-k)^2*(100+k+100) + 100^2*(100+k+100-k)

=(100+k)^2*(200-k) + (100-k)^2*(200+k) + 100^2*(200)

=6,000,000

這是一個恆等式。就是說，由於k是非負整數【題設】，因此0≤k≤200【由算式中(200-k)可以看出】。

算出二元數組(a,b)的組數，舉一反三，就可以算出(b,c)和(a,c)的同樣數目的組數，再減去兩組(100,100,100)，得到601。

另外，三個變量中，其中兩個變量不可能同時為0：這時第二個方程也是0了。

3個變量之和是300，故決定了其中2個的數據，第三個數就是300-前兩數之和，是可以定了的。

你的表中，計算二元數組(a,b)的個數就可以了，然後把結果乘以3，……。這個思路就是我寫的思路。

你把a和b兩個數繼續寫下去，直到最右邊的數不是6百萬為止；

然後a從201開始向上走：202，203，……，也直到最右邊的數不是6百萬為止。

除去重複的數據，再看結果。

以下這道題仍然與Fibonacci數列有着隱形的聯繫。

二次方程x^-x-1=0有兩個共軛根：

(1+√5)/2 和 (1-√5)/2

一般把前者記為φ，後者記為ψ（或者其他的符號）。

兩者關係根據韋達定理，有

φ*ψ = -1, φ+ψ=1。

求：

φ^10，以及

φ^10 - ψ^10.

老顧：我疏忽了。我把表重作一下。答案不變，仍是1201。

我知道你錯在哪兒了。

a+b+c=300，不是600.

你那個(201,200,199)，計算第二個方程時，結果是48,000,000.

我也是用excel算的。

這題當時我是這麼想的：

3個數的平衡點是（100, 100, 100），這時也滿足第二個方程（6百萬）。

現在固定3個變量中的一個（例如c）保持100不變，讓a增加1，同時b減少1，這時第二個方程（6百萬）也仍然成立。

直到a=200，b=0，c=100（c一直保持100不變），第二個方程（6百萬）仍然滿足。即a從100到200，b從100到0，是101種三元數組(a,b,c)。【三個變量之一超過200，第二個方程就不會成立了】

然後，讓a從100開始減少1，同時b從100開始增加1，c仍然保持100不變，這時第二個方程（6百萬）也仍然成立。

直到a=0，b=200，c=100（c一直保持100不變），第二個方程（6百萬）仍然可以滿足。即a從100到0，b從100到200，也是101種三元數組(a,b,c)。

合起來，a從0到 200（同時b從200到0），是201種組合。

由於a、b和c在兩個方程里地位相同，上述情況中的a換成c，b換成c，也可以成立。

(a,b)、(b,c)、(a,c)【其中第三個變量保持100不變】三種情況下

，共為201*3=603種組合。

但是（100, 100, 100）在中間出現了3次，故要減去2個，總計：

603-2=601種組合。

老顧：我認為您提供的答案601錯了，或者說您看到的標準答案 錯了。正確答案是1201.

我下面的兩個圖表符合第二個方程的要求。並沒有重複的數字組。除非您能指出什麼地方重複了。

另那道複數題，我看不清寫的啥。請另外出一題吧！

除了三數之和為600外，還要符合第二個方程的限制。

老顧: 如果把0包括進去，一共201組對稱數，（200，200，200）組只有一個答案。

其餘200組，每組都有 6個答案， 所以最終大案應該是1201

以（201，200， 199）組為例，a, b, c 數值分布組如下。

看看有沒有重複的數字？

3個字母各201種數（0-200），為603種，再減去兩組（100，100，100）重複組，即為601組。

再來一題單位圓/根-複數開方。

w是13次單位根【即w^13=1】，但w≠1.

求：

(2 - 2*w^0 + w^(2*0))*(2 - 2*w^1+ w^(2*1))*(2 - 2*w^2 + w^(2*2))*...*(2 - 2*w^11 + w^(2*11))*(2 - 2*w^12 + w^(2*12)