数学? 三分钟!(29)

    上一则讲了根号2，由此引出了无理数，复合数，超越数等等。我们接着谈2。在前面的几何学系列中，我们讲过古希腊雅典的三道数学问题，即以园规直尺铅笔为基本工具，划园为方，三等分任意角和倍立方。重提这三个问题，是因为这几个问题，对几何学的发展至关重要，对代数学的发展也有充分的影响。其中的第三个问题就是有关于2的，直观一点说，就是用直尺和园规，求解一个新立方体的边长，使新立方体的体积为原立方体的2倍。更简单一点说，已知单位长度1，用直尺和圆规，找出2的立方根。

    问题看似简单，由于限制了工具，所指定的直尺是没有刻度的，问题提出之后，两千多年都没有得到真正的解决。

我们知道，数学是一门演译学科，需要严格的逻辑推理。同时，对于任何一个数学问题，也有其自身的特点，一个问题可能是解决了，或者是还没解决。对于没解决的问题，要区别两种情况。一种是可能有解，但还没解决。另一种则是无解，如果能证明其无解，也算是一种解决。

     这个看似简单的问题，直到1900年代，才真正解决。这里要提到一个人，就是法国数学家伽罗瓦（Evariste Galois,1811-1832)。按传统的思维，伽罗瓦走的是旁门左道，他异想天开，以巧妙的构思，提出了两个全新的概念，

一个是域的代数学概念，所谓域就是一类数，对加减乘除这样的数学运算封闭，即运算后的结果，仍然属于这类数，如有理数，实數等等。另一个概念是可构造数的几何概念。所谓可构造数，就是给定一个单位长度1，如果能用直尺和圆规得到的数，就是可构造数，如2，3，4，根号2等等，都是可构造数。从而，倍立方的问题，可转换为另一个问题：如果证明2的立方根不是一个可构造数，那么，倍立方问题就是无解的。这就是用伽罗瓦理论解倍立方问题的基本思路（概念并不复杂，八年级以上的学生，理解并不难，网上很容搜索到）。

    伽罗瓦并没有享受很高深的教育，十二岁前，只是在家里跟着母亲学习。十八岁时，伽罗瓦写了一篇论文，交给了当时的法国科学院，由著名的数学大师柯西评审。结果，柯西将论文給遗失了。第二年，伽罗瓦又做了一次尝试，将另一篇关于代数方程解的论文交给科学院，由著名的数学大师傅立叶主审，还没审查完论文，傅立叶就死了，底稿也被丢失了。1831年，他再次将论文呈交给科学院，这次由数学大师泊松主审，情况略有不同，得到了一个极其简短的评语：俺泊松看不懂。

    真是命运弄人，伽罗瓦二十岁零七个月的时候，因一位女人而与人决斗，明知生还的希望渺茫，还是接受了挑战。决斗前，在给一位朋友的信中，阐述了他有关代数学的新思想。信的内容在他死之后几个月得到了发表。这就是第一篇有关群论，称之为伽罗瓦理论的论文。今天，群作为数学的一个核心概念，在几何学，分析学，代数学，概率论，以及许多应用科学分支中，都发挥着重大的作用。伽罗瓦的思想，是数学思想的飞跃，是近世代数学的开端。

     伽罗瓦所解决的，是人类历史上两千多年没能解决的难题，不可谓不才；他遇到了人类历史上屈指可教的数学大师与科学家，也不可谓不遇。可是，怀才又如何？遇了又如何呢？生活中，我们常常会遇到怀才不遇玩世不恭的人，我们自己，或多或少，有时也会感到怀才不遇而玩世不恭。想想伽罗瓦，还有什么样的才可称之为才呢？怀才又如何？遇了又如何？

    伽罗瓦的境遇，并不只是个案。另一位现世代数学的开拓者，与伽罗瓦同时代的挪威数学家阿贝尔（），也有类似的命运。这位年轻的天才数学家，继塔尔塔利亚解决了三次方程，费拉里解决了四次方程之后，阿贝尔证明了人们长期探索的五次方程的一般解不存在。这正是当时最前沿的数学问题之一。阿贝尔将自己的发现印成小册子出版，并将册子寄给了高斯。高斯是数学史上，最有成就的數学家，因证明了代数基本定理而名垂青史，最有资格鉴定阿贝尔发现的难度与价值。令人费解的是，高斯对阿贝尔的成就亳无兴趣，也沒有对阿贝尔给予任何帮助或引荐。阿贝尔债台高筑，艰难地做着数学研究。不久，他的数学成就传遍了法国和德国的主要数学中心，有人帮他寻求教职，可惜为时已晚，阿贝尔在贫困中死去，27岁。

一一一一

     两位天才数学家的境遇，令人唏嘘，也让我们从数学的迷宫中回到现实：数学是人的活动，数学家是人。既然是人，就免不了有丑陋与美好。人真正美好的属性与精神，是纯洁与高尙的，美就是美，不需要歌颂。丑就是丑，用不着批判。有多少人不是在歌颂中欢呼邪恶，批判中传播丑陋呢？（下则预告：数学将人引向哪里？）