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| 【韦东奕】出的一道有趣的数学题 如图示： 
【注】 图中把几个长方形组合起来，一共可以组成边长不同的9个长方形。9个长方形的9个周长，恰是9个连续的正整数。 网上已有人做出来了，但是其结果是错误的。
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| 作者：菓趣 |
| 留言时间：2026-09-02 07:23:05 |
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| 这道题有相当的复杂度，但是并无太大的难度（如果题目没有错误的话）。主要是很多元的线性代数的问题，是否碰到高维我不做看不出来。这个题目我解出答案需要的只是时间和精力（可能需要计算机的辅助，因为计算量可能有点太大），有谁给出答案我有能力批阅。但是我不想动手解答它，因为我有更多的事情要做。 我打算征求海量的这种课外数学题，建立一个课外数学题库。等到我自身条件具备就开始筹划（我被美帝国法西斯变相绑架３１年的待遇可能外加赔偿兑现后我将具有足够的财力做成这件事情）。有兴趣的同行和其他有志之士可以关注我会提出初始方案，请各位提供建议和参与征集这类课外数学题如何建立题库（必要时还可扩展到其他自然科学课外常识题）。我们打算要结合已有的所有人工智能技术，把这个题库建成全球从小学到大学的课外题库。题库要使用多种语言，比如至少英语和汉语，也可以考虑法语和德语等。同时题库初步建立之后也可考虑提供课外的辅助教育和其他事项，比如条件成熟后可以举办竞赛等活动。只是有一点，我本人无法参与太多。因为我还有一个学术职位（领席教授）和一个行政职位（比如美国国家级的某机构理事长）要承担。同时这两个职位足以提供我后半生的全部生活保障，所以我可能把补发的３１年薪水加赔偿的绝大部份用于这个题库的建立。 |
我请Ｃｏｐｉｌｏｔ 解答？
这题挺上头的那种——我能感觉到你已经在琢磨它了 ? 不过现在有个现实问题： 我看到的是“一个大长方形被几条线分成若干小长方形”，但具体怎么分、每条线的位置、哪些组合能拼成那 9 个长方形，在我这边是看不清细节的，只知道题干和大概结构，而这道题的关键恰恰在于图形的具体切分方式。 如果你愿意，我们可以这样继续： 你用文字描述一下图的大致结构，比如： 大长方形的分割方式：是几条竖线、几条横线？ 每一条线是不是把整条边都切到底，还是只切一部分？ 图中有没有明显标出的“9个长方形”的组合示意，还是需要从分割中自己找出 9 种不同的长方形？ 只要我能拿到这些结构信息，我就可以一步步和你一起把： 最小周长对应哪个长方形； 建立边长之间的关系； 解出m； 再算出每个长方形的面积。 这题本身很适合一起推演，你要不要试着先用你自己的话，把图“讲一遍”？
我对Ｃｏｐｉｌｏｔ讲： 给你一个由水平线段和垂直水平线的直线段组成的长方形。 中间加一条水平线段和一条垂直线段分开成四个长方形。然后左边两个长方形合起来构成一个长方形，右边也一样。上面两个长方形也构成一个长方形，下面也一样。一共得到４个由两个长方形构成的长方形。最后开始的那个整体也是一个长方形。所以就有９个长方形。
你刚才那段描述特别清楚——我现在完全能“在脑子里画出来”你说的那个图了 👍 我们先把这个图用符号记下来，方便后面推： W=a+b H=c+d 这样一来，9 个长方形就是： 左上小长方形：边长a,c，周长
P1=2(a+c) 右上小长方形：边长b,c，周长
P2=2(b+c) 左下小长方形：边长a,d，周长
P3=2(a+d) 右下小长方形：边长b,d，周长
P4=2(b+d) 左边两个合起来的长方形（整左边）：边长a,H=c+d，周长
P5=2(a+c+d) 右边两个合起来的长方形（整右边）：边长b,H，周长
P6=2(b+c+d) 上面两个合起来的长方形（整上边）：边长W=a+b,c，周长
P7=2(a+b+c) 下面两个合起来的长方形（整下边）：边长W,d，周长
P8=2(a+b+d) 整个大长方形：边长W,H，周长
P9=2(a+b+c+d) 题目的条件是： 这 9 个周长，恰好是 9 个连续的正整数。
也就是说，存在一个正整数m，使得这 9 个数就是： m, m+1, m+2, …, m+8 接下来，真正的“核心难点”在于：这 9 个表达式之间的大小关系，也就是谁是最小、谁是最大，怎么按顺序排成这 9 个连续整数。
一旦你确定了一个合理的排序，比如假设： 最小的是某个小长方形的周长； 最大的是整个大长方形的周长； 中间按几何直觉排出一个可能的顺序，
就可以把它们分别等于m,m+1,…,m+8，从而得到一组方程，解出a,b,c,d和m，再算出每个长方形的面积。 这个排序本身就是这题最有意思的地方——它考的是你对“长方形尺寸变化对周长的影响”的直觉和推理。 你要不要试着先猜一套“谁大谁小”的顺序？
比如你觉得： 最小的周长会是哪个小长方形？ 最大的周长是不是一定是整个大长方形？
你先说说你的直觉，我们可以一起把它变成方程，往下推到具体的m和各个面积。
我告诉它： 开始那个是最大的长方形，中间一个最小的就是最小的。 好，现在你给了两个关键排序条件： 最大的周长 = 整个大长方形的周长 最小的周长 = 中间那个最小的小长方形的周长（也就是左上、右上、左下、右下四个中最小的那个）
这样一来，整个问题的排序结构就被“钉死”了，我们可以真正开始解方程了。 🧩 先把 9 个周长按大小排好我们仍然用： 并假设你说的“中间最小的那个”就是 左上角的小长方形（因为它通常是最小：宽最小a，高最小c）。 于是： 最小周长P1=2(a+c)=m 最大周长（整个大长方形）P9=2(a+b+c+d)=m+8 🧩 关键观察：所有周长都是 2 ×（某个边长和）所以我们把所有周长除以 2，得到 9 个连续的半整数： a+c, b+c, a+d, b+d, a+c+d, b+c+d, a+b+c, a+b+d, a+b+c+d 它们必须是： k, k+1, k+2, …, k+8 其中k=m/2。 🧩 利用最大与最小的差值最大的是： a+b+c+d=k+8 最小的是： a+c=k 两者相减： (a+b+c+d)−(a+c)=k+8−k b+d=8 这一步非常关键：
👉 右边宽 + 下边高 = 8 🧩 再看第二小的周长是谁？第二小的应该是： b+c=k+1 因为在四个小长方形中，只有把a换成b才可能比a+c稍大。 于是： (b+c)−(a+c)=1 b−a=1 👉 右边宽比左边宽大 1 🧩 再看第三小的周长第三小应该是： a+d=k+2 于是： (a+d)−(a+c)=2 d−c=2 👉 下边高比上边高大 2 🧩 现在我们有三个方程b−a=1 d−c=2 b+d=8 把前两个代入第三个： (a+1)+(c+2)=8 a+c=5 但我们也知道： a+c=k 所以： k=5 于是： m=2k=10 🎉 最终结果：最小周长 = 10，最大周长 = 189 个周长依次是： 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18．
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