量子力學首先是從普朗克-愛因斯坦開始，他們提出，光子的能量E等於一個常數hbar乘以其角頻率omega：
E = hbar * omega
為方便起見，我們令hbar=1, 這個光子能量公式簡化為
E=omega
德布羅意在此基礎上推廣，他說即使對於有質量的粒子，這個關係也應該成立，而對於靜止粒子，E=m*c^2（愛因斯坦能量公式），為簡便起見,令 c=1, 我們有
E=m*c^2 = m= omega
因此粒子可以用函數 exp {- i*m*t} 描述。
在x方向運動粒子該用什麼函數描述呢？這可以視為一個參照系變換的問題。m*t可以視為四矢量 (m,0,0,0)與（t,0,0,0)的內積。(m,0,0,0)在經變換後就是(E, px, 0, 0),
（t, 0,0,0)則成為 （t, x, 0,0)。
因此，運動粒子的“波”函數應該為
psi = exp { -i (Et - px*x)}.
以上相當於只是 E = omega的假設，下一步的任務是找到產生上面這個波函數的方程。通常，我們是知道波動方程推導出波，現在是一個反向工程。
波動方程的一般形式是：
（一些算符）psi =0
上面的波函數psi，對時間取偏導得到 -iE * psi，對空間取偏到得到 i*px*psi。
而能量E與動量px之間是有關係的。
能量E與動量p的關係是
E^2 = p^2 + m^2
或者說 E^2 - p^2 - m^2 =0
如果直接套用這個關係，把E換成對時間的偏導，則E^2為對時間的二次偏導，對p^2也進行類似替換，我們得到Klein-Gordon方程。實際上，薛定諤首先採取的就是這個方案，但據說因為其計算結果不能給出正確的氫原子精細結構，被薛定諤放棄了。（在薛定諤之前，泡利已經用海森堡的矩陣力學算出了氫原子的能級）。
薛定諤最終採用的是牛頓力學的近似能量公式
E = p^2/2m
得出其薛定諤方程。
狄拉克採取的方案是對 E^2 = p^2 + m^2 開方
我在一篇博文中已經介紹。由此他推導出狄拉克方程，這個方程要求粒子有自旋，而此之前，泡利的自旋是人為地加入。
