圖二十一
命題四之證明：
如圖二十一所示，連結 A 點與圓心 O，則 與 都是等腰三角形。由命題三知
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又因為三角形的三內角和為一平角，所以
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證畢。
泰利斯非常喜爱这个定理，据说他是观察到长方形的对角线互相平分而得到的。他为此而特别宰了头牛庆祝一番。因此这个定理又叫做泰利斯定理，再推广就是圆周角定理。
命题五之证明：
利用移形的方法，可以使两三角形完全叠合在一起，所以它们是全等的，证毕。
命题六之证明：
见前节的「相似三角形基本定理」。
总结上述之证明，所用到的基本原理计有：等量代换法、等量减法、移形叠合法、尺规作中线、两点决定一直线与三角形三内角和为一平角等等。
关于泰利斯将几何定理排成逻辑链条一事，历史上并没有实例。下面我们试举一个例子：
移形叠合公理─→命题三 ↘
三角形三内角和定理───→泰利斯定理（命题四）
泰利斯的生平点滴
泰利斯是爱奥尼亚学派 (Ionian school) 之首，亦是希腊的七贤之一。他是探讨宇宙结构与万物组成的第一人，提出了「万有皆水」(All is water) 的主张。他相信在大自然的「溷沌」中，有「秩序」可寻；并且将希腊人面对大自然所採取的神话诗观（mythopoetic view, 超自然的），转变成以自然的原因来解释自然的科学观，这是了不起的进步。
由于热衷于天文学，泰利斯曾经因为专心天文观测，而掉进水沟裡，被女僕嘲笑说：「泰利斯的眼睛只注视着天上，而看不见身边的美女。」
他预测了西元前585年会发生日蚀──对此，今日有历史学家持怀疑的态度。泰利斯多才多艺，他也是一位商人，经常以一头驴子运盐，渡过一条河。有一次驴子不小心滑倒了，盐在水中溶化掉一部分，当驴子重新站起来时，感觉轻了许多，很高兴；后来驴子常如法泡製。泰利斯为了惩罚牠，改载海绵。这次驴子又故技重施，结果却因海绵吸了很多水，驴子淹死了。
好朋友索龙 (solon) 问泰利斯：为何不结婚？为了回答索龙，他在第二天派专人传话说：索龙锺爱的儿子意外地被杀死了。泰利斯随后赶去安慰这位悲痛欲绝的父亲，并道出真相说：「我只是想告诉你为什麽我不结婚的理由。」
科学哲学家波柏 (K. Popper) 认为泰利斯更重要的贡献是，为古希腊开创了一个自由讨论与批判的传统 (the tradition of critical discussion)，这是学术发展的先决条件。泰利斯意识到真理都不是最终的，必须开放批判，以求进步。我们的知识与学说不过是一种猜测、一种假说而已，而不是确定不移的最后真理，只有批判的讨论才是唯一使我们更接近真理的方法。这就是大胆猜测，然后小心求证，鼓励批判与创新。这个传统开启了理性的或科学的态度。
两、三个世纪之后，亚里斯多德的学说开始盛行，又跟宗教结合，「威权」性格日重，主导西方世界约两千年之久。直到文艺复兴时，才重新回复泰利斯的批判传统，其中伽利略扮演了关键性的角色，因而被尊称为「近代科学之父」。
从泰利斯开始，古希腊哲学家为人类开启了第一道理性文明的曙光，经过两千多年的努力经营，终于照亮大地。
毕氏学派的几何研究纲领
在泰利斯的工作基础上，毕氏学派提出了更深刻的几何研究纲领。毕氏是泰利斯的学生，他採用原子论 (atomism) 的观点来研究几何。
点有多大？
如果採用连续派的观点，主张线段可以经过无穷步骤的分割，最终得到一个点，令其长度为 d，那麽对于 d 可以提出两种假说：
(i) d=0，
(ii) d 为无穷小 (infinitesimal)。
东方的老子说：「至大无外，至小无内」，可为注脚。
如果採用离散派的观点，主张线段只能作有限步骤的分割，线段经过（很大的）有穷步骤分割后，得到一个点，其长度 d 虽然很小很小，但是不等于 0，那麽自然就有第三种假说：
(iii) d>0
毕氏分析(i)与(ii)两个假说：如果 d=0，由于线段是由点组成的，那麽就会产生由没有长度的点累积成有长度的线段；这种「无中生有」(something out of nothing) 是不可思议之事。毕氏无法打开这个困局。如果说 d 是无穷小，那麽什麽是无穷小？显然它不能等于 0，否则又会落入「无中生有」的陷阱。（不过，老子却认为「天下万物生于有，有生于无」。）它可以是某个很小很小而大于 0 的数吗？这也不行，因为这会变成线段是由无穷多个正数加起来的，其长度是无穷大！这也是一个矛盾，换句话说，无穷小不能等于 0，并且要多小就有多小。这简直就是老子所说的「搏之不得名曰微」。因此，无穷小更诡谲深奥。
然而，在实数系中，「不等于 0」与「要多小就有多小」，这两个概念是不相容的。因为一个正数，若是要多小就有多小，那麽它必为 0。另一方面，一个不为 0 的正数，根本不可能要多小就有多小。因此，无穷小不能生存在实数系之中，它像个活生生的小精灵 (demon)，云游于「无何有之乡」，令人困惑。
经过上面的分析，毕氏採用(iii)的大胆假说，叫做
毕氏假说：
点有一定的大小，其长度 d>0。
换言之，在毕氏学派的眼光裡，世界万物是离散的。线段是由具有一定大小的点排列而成的，像一条珍珠项鍊。
任何两线段皆可共度
在毕氏假说之下，可以推导出：
定理一：
任何两线段 a 与 b 都是可共度的 (commensurable)，即存在共度单位 u>0，使得
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且
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，其中 m 与 n 为两个自然数。
定理二：
任何两线段 a 与 b 可共度
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为一个有理数。
上述定理一是显然的，因为至少一个点的长度 d 就是一个共度单位。通常共度单位取其儘可能大，最大共度单位就是 m 与 n 的最大公因数，它可以用辗转相除法求得。
要言之，毕氏学派大胆地（直观地）假设点的长度 d > 0，于是自然得到任何两线段皆可共度。两线段辗转互度时，只需有穷步骤就可以度量得乾淨，不曾没完没了。
在实际作两线段的辗转互度时，由于人类眼睛的精确度有限且误差不可避免，因此原则上有限步骤就会停止，而得到最大共度单位。读者可做一下实验。
我们也可以採用度量的观点来看，什麽是度量？我们人为地取一个单位长度，例如公尺，用它来度量一个线段。如果量三次恰好量尽，那麽我们就说线段长是三公尺。如果量不尽呢？把剩下的部分，用小一点的单位，例如公寸，再去量。如果量七次恰好量尽，那麽我们就说线段长是三公尺七公寸。如果还是量不尽呢？按上述要领，用公分再去量。这样一直做下去，会不会永远没有量完的时候呢？毕氏学派回答说：不会，因为任何两线段皆可共度！
因此，度量只会出现有理数（rational numbers，又叫做比数）。再加上毕氏的另一个神奇发现：乐音的弦长成为简单的整数比，例如两弦长之比为 2:1 时，恰为八度音程；比例为 3:2 时，为五度音程；比例为 4:3 时，为四度音程（毕氏音律）。这使得毕氏欣喜而情不自禁地宣称：
万有皆整数与调和！(All is whole number and harmony)。
这意思是说，所有存在事物最终都可以用自然数及其比值来表达，世界的内在结构是数学的，具有高度的单纯性与规律性。整数是构成宇宙的最终之真实！毕氏不让其师泰利斯的「万有皆水」专美于前。毕氏的天空简单明朗、晴空万里、仙乐飘飘。
物质由原子构成，就像几何图形由点构成一样。行星之间的距离成简单整数比，因此运行时奏出「星球的音乐」(the harmony of spheres)：「哲学是最上乘的音乐」，思想灵动所发出的音乐；以及勾3股4弦5。这一切似乎在诉说着：「万有皆整数与调和」，并且为其作证。
进一步，毕氏学派用整数及其比值的算术，相当成功地建立了几何学，我们不妨称之为几何学的算术化、有理化。其主要的内容是：
(i) 利用「任何两线段皆可共度」推导出长方形的面积公式，从而给出毕氏定理一个算术的证明。
(ii) 利用「任何两线段皆可共度」，推导出相似三角形基本定理。
(iii) 提出平行的概念，证明三角形三内角和定理，从而推导出：用同样的正多边形舖地板只有三种样式，以及正多面体只有五种。
长方形的面积公式
首先注意到，面积是长度的导出量。如果我们取 u 为长度单位，那麽就用 u 为边的正方形面积作为面积单位。于是一个长为 m 单位，宽为 n 单位的矩形
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，其面积就是
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平方单位。对于边长为 a, b 之任意长方形，其面积又如何呢？
定理三：
长方形的面积 ＝ 长 × 宽 ＝
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证明：
由于 a 与 b 可共度，故可取到共度单位 u，使得
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用 u 將長分割成 m 等分，寬分割成 n 等分，立即看出長方形的面積為
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個 u2 單位，恰好就是
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。
如果我們用事先取定的面積單位 v2 來度量長方形 (a,b)，那麼我們可以找到共度單位 u 使得
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已知長方形的面積為
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個 u2 單位，即
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個 v2 單位，而這恰好是 ，證畢。
有了長方形的面積公式，於是平行四邊形、三角形、梯形、……等等的面積公式也都順理成章地推導出來了。
