生日問題二

問題一：

在一次有50位客人的生日聚會上，出現至少有兩人同一天生日（即同月同日，年不必相同）的概率是多少？

首先，當只有1個人時，概率為0%；當人數大於365時，根據鴿子籠原理，概率是100%。於是，在1到365這個區間內，我們直覺地認為，對應的概率是線性地從0％增長到100%。哪怕不線性，也不會陡峭得太離譜。所以對於50人來說，該概率應該在50/365，即七分之一左右。但事實上，這條曲線的增長勁頭卻是十分可怕。

圖中p(n) = n個人中至少有兩人同一天生日的概率

綠色的曲線，就是在不同的人數時，對應的存在相同生日的概率。它就像坐了直升機一樣迅猛竄升，在50人時就已相當接近100%，與我們想象中的線性曲線有天壤之別。事實上，p(57) = 100%。如果把問題一，稍作改動，就能得到啟發。

問題二：

在一次有50位客人（你是其中之一）的聚會上，至少有一人與你同一天生日（即同月同日，年不必相同）的概率有多大？

上圖中q(n) = n個人（你是其中之一）里至少有一人和你同一天生日的概率。

同樣地，我們把概率曲線描出來（即上圖藍色線），可以看到，它是十分平緩的。所以生日悖論的本質就是，隨着集合里元素的增多，出現重複元素的概率會以驚人速度增長，而我們的直覺常常低估了它增長的速度。

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參考文獻：

[1] Paul Halmos. Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Halmos

[2] Birthday Problem. Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_Paradox

[3] M. Klamkin and D. Newman Extensions of the Birthday Surprise, Journal of Combinatorial Theory 3, 279–282. 1967

[4] D. Bloom. A Birthday Problem, American Mathematical Monthly 80, 1141–1142. 1973

[5] D. E. Knuth; The Art of Computer Programming. Vol. 3, Addison-Wesley, 1973

[6] Toobaz. Image. http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Birthday_paradox.svg