凡事不可細究的物理學和數學原理（三）

夢阮

前文一(·測不準原理的愛情版本)侃了量子力學的測不準原理。

前文二(·凡事不可細究的物理學原理)（· 怪不得牛頓晚年去幹這事兒）侃了物理學和數學的關係。

事實上，量子力學的測不準原理有其深刻的數學原理。今天洒家就義務給列位看官分解一二。

首先，海森伯格的測不準原理是說: 

一個運動中粒子的位置，和它的動量，不可以被同時確定。若以Δx代表粒子位置的誤差，Δp代表粒子動量的誤差，則恆有

Δx·Δp ≥ h/4π

其中，h是普朗克常數。

從數學的角度來看，海森伯格的測不準原理可以表述為：

若以f(t)代表均值為零，方差為σ²的正態分布， 以Ff代表f的傅里葉變換。則Ff是一個均值為零，方差為1/σ²的正態分布。換句話說，D(Ff)·D(f) = 1。其中D代表方差。

一般而言，上述結論不可以推廣到任意函數，因為並不是任意函數都可以是一個概率分布函數（p.d.f）。所謂p.d.f 函數，就是滿足兩個條件的函數：

1. f(x) ≥ 0 for all  x: -∞ to ∞;

2. f(x) 從-∞到∞的積分等於1;

但是，根據著名的帕塞瓦爾定理（或稱帕塞瓦爾等式，Plancherel Theorem）傅里葉變換F是一個幺正算符。也就是說，F算子保持函數的平方的積分為一性。

首先，一個p.d.f函數一定只取正值。任意函數f的平方f²就只取正值。如果f²是p.d.f, 則根據上面的帕塞瓦爾定理，Ff²就必為p.d.f.

因此，由上面的傅里葉變換等式就可以推出：

D((Ff)²) D(f²) ≥ 1/2.

眾所周知，在量子力學裡，位置和動量互為“共軛變量”(conjugate variables)。因此， 它們的振幅概率函數，f²和Ff²，之間的關係正是傅里葉變換的關係。基於物理單位的換算，這其中僅僅相差也一個常量倍數： h/2π, h是普朗克常數。

所以，把方差D(f²) 換成Δx，把方差D((Ff²)) 換成Δp，再加上常量倍數 h/2π，我們就得到海森伯格的測不準原理不等式：

D((F²)) D(f²) = Δx·Δp ≥ h/4π = 1/2 · h/2π

附錄

傅里葉變換定理：

設f(t)為一個絕對可積的偶函數（i.e. f(t) = f(-t) for all t），則

其中 

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