圖二十一
命題四之證明：
如圖二十一所示，連結 A 點與圓心 O，則 與 都是等腰三角形。由命題三知
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又因為三角形的三內角和為一平角，所以
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證畢。
泰利斯非常喜愛這個定理，據說他是觀察到長方形的對角線互相平分而得到的。他為此而特別宰了頭牛慶祝一番。因此這個定理又叫做泰利斯定理，再推廣就是圓周角定理。
命題五之證明：
利用移形的方法，可以使兩三角形完全疊合在一起，所以它們是全等的，證畢。
命題六之證明：
見前節的「相似三角形基本定理」。
總結上述之證明，所用到的基本原理計有：等量代換法、等量減法、移形疊合法、尺規作中線、兩點決定一直線與三角形三內角和為一平角等等。
關於泰利斯將幾何定理排成邏輯鏈條一事，歷史上並沒有實例。下面我們試舉一個例子：
移形疊合公理─→命題三 ↘
三角形三內角和定理───→泰利斯定理（命題四）
泰利斯的生平點滴
泰利斯是愛奧尼亞學派 (Ionian school) 之首，亦是希臘的七賢之一。他是探討宇宙結構與萬物組成的第一人，提出了「萬有皆水」(All is water) 的主張。他相信在大自然的「溷沌」中，有「秩序」可尋；並且將希臘人面對大自然所採取的神話詩觀（mythopoetic view, 超自然的），轉變成以自然的原因來解釋自然的科學觀，這是了不起的進步。
由於熱衷於天文學，泰利斯曾經因為專心天文觀測，而掉進水溝裡，被女僕嘲笑說：「泰利斯的眼睛只注視着天上，而看不見身邊的美女。」
他預測了西元前585年會發生日蝕──對此，今日有歷史學家持懷疑的態度。泰利斯多才多藝，他也是一位商人，經常以一頭驢子運鹽，渡過一條河。有一次驢子不小心滑倒了，鹽在水中溶化掉一部分，當驢子重新站起來時，感覺輕了許多，很高興；後來驢子常如法泡製。泰利斯為了懲罰牠，改載海綿。這次驢子又故技重施，結果卻因海綿吸了很多水，驢子淹死了。
好朋友索龍 (solon) 問泰利斯：為何不結婚？為了回答索龍，他在第二天派專人傳話說：索龍鍾愛的兒子意外地被殺死了。泰利斯隨後趕去安慰這位悲痛欲絕的父親，並道出真相說：「我只是想告訴你為什麽我不結婚的理由。」
科學哲學家波柏 (K. Popper) 認為泰利斯更重要的貢獻是，為古希臘開創了一個自由討論與批判的傳統 (the tradition of critical discussion)，這是學術發展的先決條件。泰利斯意識到真理都不是最終的，必須開放批判，以求進步。我們的知識與學說不過是一種猜測、一種假說而已，而不是確定不移的最後真理，只有批判的討論才是唯一使我們更接近真理的方法。這就是大膽猜測，然後小心求證，鼓勵批判與創新。這個傳統開啟了理性的或科學的態度。
兩、三個世紀之後，亞里斯多德的學說開始盛行，又跟宗教結合，「威權」性格日重，主導西方世界約兩千年之久。直到文藝復興時，才重新回復泰利斯的批判傳統，其中伽利略扮演了關鍵性的角色，因而被尊稱為「近代科學之父」。
從泰利斯開始，古希臘哲學家為人類開啟了第一道理性文明的曙光，經過兩千多年的努力經營，終於照亮大地。
畢氏學派的幾何研究綱領
在泰利斯的工作基礎上，畢氏學派提出了更深刻的幾何研究綱領。畢氏是泰利斯的學生，他採用原子論 (atomism) 的觀點來研究幾何。
點有多大？
如果採用連續派的觀點，主張線段可以經過無窮步驟的分割，最終得到一個點，令其長度為 d，那麽對於 d 可以提出兩種假說：
(i) d=0，
(ii) d 為無窮小 (infinitesimal)。
東方的老子說：「至大無外，至小無內」，可為註腳。
如果採用離散派的觀點，主張線段只能作有限步驟的分割，線段經過（很大的）有窮步驟分割後，得到一個點，其長度 d 雖然很小很小，但是不等於 0，那麽自然就有第三種假說：
(iii) d>0
畢氏分析(i)與(ii)兩個假說：如果 d=0，由於線段是由點組成的，那麽就會產生由沒有長度的點累積成有長度的線段；這種「無中生有」(something out of nothing) 是不可思議之事。畢氏無法打開這個困局。如果說 d 是無窮小，那麽什麽是無窮小？顯然它不能等於 0，否則又會落入「無中生有」的陷阱。（不過，老子卻認為「天下萬物生於有，有生於無」。）它可以是某個很小很小而大於 0 的數嗎？這也不行，因為這會變成線段是由無窮多個正數加起來的，其長度是無窮大！這也是一個矛盾，換句話說，無窮小不能等於 0，並且要多小就有多小。這簡直就是老子所說的「搏之不得名曰微」。因此，無窮小更詭譎深奧。
然而，在實數系中，「不等於 0」與「要多小就有多小」，這兩個概念是不相容的。因為一個正數，若是要多小就有多小，那麽它必為 0。另一方面，一個不為 0 的正數，根本不可能要多小就有多小。因此，無窮小不能生存在實數系之中，它像個活生生的小精靈 (demon)，雲遊於「無何有之鄉」，令人困惑。
經過上面的分析，畢氏採用(iii)的大膽假說，叫做
畢氏假說：
點有一定的大小，其長度 d>0。
換言之，在畢氏學派的眼光裡，世界萬物是離散的。線段是由具有一定大小的點排列而成的，像一條珍珠項鍊。
任何兩線段皆可共度
在畢氏假說之下，可以推導出：
定理一：
任何兩線段 a 與 b 都是可共度的 (commensurable)，即存在共度單位 u>0，使得
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且
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，其中 m 與 n 為兩個自然數。
定理二：
任何兩線段 a 與 b 可共度
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為一個有理數。
上述定理一是顯然的，因為至少一個點的長度 d 就是一個共度單位。通常共度單位取其儘可能大，最大共度單位就是 m 與 n 的最大公因數，它可以用輾轉相除法求得。
要言之，畢氏學派大膽地（直觀地）假設點的長度 d > 0，於是自然得到任何兩線段皆可共度。兩線段輾轉互度時，只需有窮步驟就可以度量得乾淨，不曾沒完沒了。
在實際作兩線段的輾轉互度時，由於人類眼睛的精確度有限且誤差不可避免，因此原則上有限步驟就會停止，而得到最大共度單位。讀者可做一下實驗。
我們也可以採用度量的觀點來看，什麽是度量？我們人為地取一個單位長度，例如公尺，用它來度量一個線段。如果量三次恰好量盡，那麽我們就說線段長是三公尺。如果量不盡呢？把剩下的部分，用小一點的單位，例如公寸，再去量。如果量七次恰好量盡，那麽我們就說線段長是三公尺七公寸。如果還是量不盡呢？按上述要領，用公分再去量。這樣一直做下去，會不會永遠沒有量完的時候呢？畢氏學派回答說：不會，因為任何兩線段皆可共度！
因此，度量只會出現有理數（rational numbers，又叫做比數）。再加上畢氏的另一個神奇發現：樂音的弦長成為簡單的整數比，例如兩弦長之比為 2:1 時，恰為八度音程；比例為 3:2 時，為五度音程；比例為 4:3 時，為四度音程（畢氏音律）。這使得畢氏欣喜而情不自禁地宣稱：
萬有皆整數與調和！(All is whole number and harmony)。
這意思是說，所有存在事物最終都可以用自然數及其比值來表達，世界的內在結構是數學的，具有高度的單純性與規律性。整數是構成宇宙的最終之真實！畢氏不讓其師泰利斯的「萬有皆水」專美於前。畢氏的天空簡單明朗、晴空萬里、仙樂飄飄。
物質由原子構成，就像幾何圖形由點構成一樣。行星之間的距離成簡單整數比，因此運行時奏出「星球的音樂」(the harmony of spheres)：「哲學是最上乘的音樂」，思想靈動所發出的音樂；以及勾3股4弦5。這一切似乎在訴說着：「萬有皆整數與調和」，並且為其作證。
進一步，畢氏學派用整數及其比值的算術，相當成功地建立了幾何學，我們不妨稱之為幾何學的算術化、有理化。其主要的內容是：
(i) 利用「任何兩線段皆可共度」推導出長方形的面積公式，從而給出畢氏定理一個算術的證明。
(ii) 利用「任何兩線段皆可共度」，推導出相似三角形基本定理。
(iii) 提出平行的概念，證明三角形三內角和定理，從而推導出：用同樣的正多邊形舖地板只有三種樣式，以及正多面體只有五種。
長方形的面積公式
首先注意到，面積是長度的導出量。如果我們取 u 為長度單位，那麽就用 u 為邊的正方形面積作為面積單位。於是一個長為 m 單位，寬為 n 單位的矩形
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，其面積就是
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平方單位。對於邊長為 a, b 之任意長方形，其面積又如何呢？
定理三：
長方形的面積 ＝ 長 × 寬 ＝
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證明：
由於 a 與 b 可共度，故可取到共度單位 u，使得
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用 u 將長分割成 m 等分，寬分割成 n 等分，立即看出長方形的面積為
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個 u2 單位，恰好就是
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。
如果我們用事先取定的面積單位 v2 來度量長方形 (a,b)，那麼我們可以找到共度單位 u 使得
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已知長方形的面積為
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個 v2 單位，而這恰好是 ，證畢。
有了長方形的面積公式，於是平行四邊形、三角形、梯形、……等等的面積公式也都順理成章地推導出來了。
