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796、地藏菩薩說:地獄不空 誓不成佛;廣義相對論37
   



 25分


 地藏菩薩說 :


地獄不空誓不成佛

   眾生度盡,方證菩提。”




image.png



 場方程和微分幾何· 廣相論37》


  6、場方程和微分幾何

 

場方程是建立在微分幾何Differential Geometry基礎上的,

微分幾何水平不行,

對一些概念是難以理解的。

微分幾何

愛因斯坦也是在創立場方程過程中,

向他的數學家朋友現學的。


微分幾何是運用微積分

來研究空間幾何性質的數學


古典微分幾何起源於微積分

內容是曲線論曲面論

歐拉、蒙日和高斯,是古典微分幾何的奠基人;

近代微分幾何的創始人是黎曼。


黎曼在1854年創立了黎曼幾何

黎曼幾何近代微分幾何的主要內容 



image.png

歐拉(Euler,1707-1783),瑞士數學家。



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蒙日(Monge,1746~1818),法國數學家、化學家和物理學家。



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高斯(英語:Gauss 1777-1855), 德國數學家、物理學家、天文學家。



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黎曼 ( 1826—1866 ),德國數學家

 

通過學習,我們了解到,

場方程的計算,離不開黎曼幾何

(黎曼幾何就是彎曲空間幾何)。

1916年愛因斯坦創立了‘引力場方程’,

引力場方程是一個二階張量方程,

或者說,引力場方程是一個

二階非線性偏微分方程*

場方程是用‘張量微積分’表述的。


所謂‘張量微積分’


就是用張量場表述的微分方程



image.png

 【回顧與複習】


假設彎曲空間,有兩個點靠的很近,

就可以把它寫成微分形式

(例如,可以把微小距離寫成ds 形式。

就是說,數學符號ds表示空間彎曲程度的極小距離)。

在微分幾何中,


彎曲空間曲線的長度(弧長),


需要先定義


某一點的‘切向量’長度(參看下面3幅圖),


然後把這條‘切向量’所經過的


所有‘微元距離’ds,用微積分算一下,

就可以求出特定的線段或角度來。


就是說, 場方程


包含了運用曲線坐標的微分計算


從而得出彎曲時空的曲率


曲線在某點的切向量可以理解為


沿曲線在該點的切線方向的向量。


切向量是與曲線相切的向量。


可以通俗理解為


切向量是與法線相互垂直的線,


即曲線的法線是垂直於切線的。




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    謝謝閱讀。




 
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