“人生就像一場旅行，不必在乎目的地，

    重要的是沿途的風景及看風景時的愉快心情。

《廣相論之15·內蘊性幾何  》

前面我們說到，對‘空間曲線’（二維）的研究，

是用‘微分幾何’的方法，

‘微分幾何’比‘歐氏幾何公理’要精準得多。

同時，‘微分幾何’還可以用在

對‘空間曲面’（三維）的研究上。

一個三角形，沉浸在一個鞍形面上，圖上還有兩條發散的超平行線。

馬鞍面上的幾何，就是前面介紹的羅巴切夫斯基幾何，又被稱為‘雙曲幾何’。

‘空間曲面’的形狀，可以分為兩大類：

a.不可展曲面;

b. 可展曲面。

初看 圖2 a 和 圖2 b  所畫的曲面，

也許看不出這兩類圖有什麼區別——

認為不管可展還是不可展，

看起來都是“彎曲”“不平的”。

但是，如果仔細觀察，就會發現，

‘可展曲面’的“彎曲”

與‘不可展曲面‘的“彎曲”有着本質的區別。

簡單地說，

可展曲面在本質上是“平的”，

它們可以被展開成一個平面。

比如，將圖2 b所示的錐面   

     用剪刀剪一條線直到頂點，

就可以沒有任何皺褶地將它平攤到桌子上。

柱面也可以沿着與中心線平行的

任何直線剪開，成為一個平面。

但是，圖2a所列舉的‘不可展曲面’，

就不能展開成平面了。

那是真正的、本質上的“不平”。

一頂做成了近似半個球面的帽子，

你無論怎樣剪裁它，

都無法將其沒有皺褶地攤成一個平面。

另一方面，你用一張平平的紙，

很容易捲成一個圓筒（柱面）   

或者是做成一頂‘錐形帽子’ 。

但你無法做出一個球面來。

你頂多只能將這張紙剪成許多小紙片，

粘成一個近似的球面！

談到這兒，

大概已經明白“可展”和“不可展”的區別了。

儘管兩類曲面在嵌入3維空間後，

看起來都是彎曲的，但是，

‘可展曲面’的內在本質是“平的”；

不可展曲面的內在本質是“不平”。

區分這兩類曲面的“內在本質”，

叫“內蘊性”研究，

研究這種性質的幾何，叫‘內蘊幾何’。

黎曼幾何就是‘內蘊性幾何’。

曲面的內蘊性最早被“數學王子”高斯所注意，

後為黎曼所發展，並推廣到‘大於3’的n維流形*

【*流形（Manifolds）

    是局部具有‘歐幾里得性質’的空間】

黎曼幾何就是一種‘內蘊幾何’。

換言之，內蘊性指的是

曲面（或曲線）不依賴於它在三維空間中嵌入的方式。

也就是說，

內蘊性是曲面某些內在的、本質的幾何屬性。

高斯用曲率，來表徵曲面的這種特性。 

如果一個曲面的曲率為0，

說明它本質上是平的，是可展曲面，

如圖3b（淡綠色部分）所示。

如果一個曲面的曲率不為0，

說明它本質上是不平的，是不可展曲面，

如圖3 c（粉色部分）所示。

Q 代表曲率符號。

曲率不為0的情形又有兩種。

正的高斯曲率對應於球面幾何（圖3c的下圖）；

負的高斯曲率對應於馬鞍面（圖3c的上圖）。

更正：原圖（b應該改為c。編者已經改過來了。）

圖3：曲面及曲率   

      未完待續