“人生就像一场旅行，不必在乎目的地，

    重要的是沿途的风景及看风景时的愉快心情。

《广相论之15·内蕴性几何  》

前面我们说到，对‘空间曲线’（二维）的研究，

是用‘微分几何’的方法，

‘微分几何’比‘欧氏几何公理’要精准得多。

同时，‘微分几何’还可以用在

对‘空间曲面’（三维）的研究上。

一个三角形，沉浸在一个鞍形面上，图上还有两条发散的超平行线。

马鞍面上的几何，就是前面介绍的罗巴切夫斯基几何，又被称为‘双曲几何’。

‘空间曲面’的形状，可以分为两大类：

a.不可展曲面;

b. 可展曲面。

初看 图2 a 和 图2 b  所画的曲面，

也许看不出这两类图有什么区别——

认为不管可展还是不可展，

看起来都是“弯曲”“不平的”。

但是，如果仔细观察，就会发现，

‘可展曲面’的“弯曲”

与‘不可展曲面‘的“弯曲”有着本质的区别。

简单地说，

可展曲面在本质上是“平的”，

它们可以被展开成一个平面。

比如，将图2 b所示的锥面   

     用剪刀剪一条线直到顶点，

就可以没有任何皱褶地将它平摊到桌子上。

柱面也可以沿着与中心线平行的

任何直线剪开，成为一个平面。

但是，图2a所列举的‘不可展曲面’，

就不能展开成平面了。

那是真正的、本质上的“不平”。

一顶做成了近似半个球面的帽子，

你无论怎样剪裁它，

都无法将其没有皱褶地摊成一个平面。

另一方面，你用一张平平的纸，

很容易卷成一个圆筒（柱面）   

或者是做成一顶‘锥形帽子’ 。

但你无法做出一个球面来。

你顶多只能将这张纸剪成许多小纸片，

粘成一个近似的球面！

谈到这儿，

大概已经明白“可展”和“不可展”的区别了。

尽管两类曲面在嵌入3维空间后，

看起来都是弯曲的，但是，

‘可展曲面’的内在本质是“平的”；

不可展曲面的内在本质是“不平”。

区分这两类曲面的“内在本质”，

叫“内蕴性”研究，

研究这种性质的几何，叫‘内蕴几何’。

黎曼几何就是‘内蕴性几何’。

曲面的内蕴性最早被“数学王子”高斯所注意，

后为黎曼所发展，并推广到‘大于3’的n维流形*

【*流形（Manifolds）

    是局部具有‘欧几里得性质’的空间】

黎曼几何就是一种‘内蕴几何’。

换言之，内蕴性指的是

曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入的方式。

也就是说，

内蕴性是曲面某些内在的、本质的几何属性。

高斯用曲率，来表征曲面的这种特性。 

如果一个曲面的曲率为0，

说明它本质上是平的，是可展曲面，

如图3b（淡绿色部分）所示。

如果一个曲面的曲率不为0，

说明它本质上是不平的，是不可展曲面，

如图3 c（粉色部分）所示。

Q 代表曲率符号。

曲率不为0的情形又有两种。

正的高斯曲率对应于球面几何（图3c的下图）；

负的高斯曲率对应于马鞍面（图3c的上图）。

更正：原图（b应该改为c。编者已经改过来了。）

图3：曲面及曲率   

      未完待续