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親愛的朋友，根據常識，幾乎人人皆知，

過某點可以作無數平面，

那麼，是否要用無數平面上的應力，

才能描述某點的應力狀況呢？回答是不需要。

物理上規定，只需用過一點的

‘任意一組’相互垂直的三個平面上的應力，

就可以代表某一點的應力狀態了。

而其它面的應力可以用與被考察面的方位關係來決定。

就是說，只要在無數可能產生的平面中

海選出一組做代表就可以了。

（圖中的F 代表合力F）

應變有‘線應變’、有‘角應變’兩大類。

（1）‘線應變’，又叫‘正應變’，

（‘正應變’用一個長得像短尾巴小蝌蚪的

     希臘字母Sigma 西格瑪 σ來表示       ）

‘正應變’是在某一方向上的

微小線段因變形產生的長度增量與原長度的比值 ；

（2）‘角應變’又叫‘切應變’或‘剪應變’。

‘切應變’用希臘字母τ(tau 套)表示。

‘切應變’是兩個相互垂直方向上的微小線段

在變形後所形成的夾角的改變量（以弧度表示）。

從宏觀角度說，

有關應力的彈性是衡量物體抵抗變形的能力，

從微觀角度來說，

則是原子、離子或分子之間鍵合強度的反映。

想象在某個‘假想截面’的P點處，

切開物體，如下圖所示。

根據定義，可以得到P點的

1 個‘正應力’和2個‘切應力’（剪應力）。

以上這3個分量

（1個正應力、2個切應力）的合成,

叫全應力，

‘全應力’用大寫希臘字母 T (Tau 套) 表示。

我們可以用蟾蜍（英語Toad）

第一個字母T來幫助記憶。

如前述，我們知道

實際情況是，過某一點的受力，常常是複雜的，

那麼如何能描述某一點的應力狀態呢？

用向量顯然不行，

物理上規定，在遇到具有多種方向的應力時，

需要使用‘具有多種方向’的物理量，

即使用一個叫‘張量’的東西來描述，

這就好像需要把‘粉條’換成‘洋蔥頭’。

粉條若是一維的；

洋蔥頭就是多維的（即蔥頭具有多重方向性）。

現在重點來了——

（3）什麼是‘應力張量’（ Stress tensor）？

如圖所示，P 為直角坐標系0XYZ中，

某一（受壓）變形體內的任意一點，

在該點附近    切取一個‘各平面’都平行於

‘原坐標平面’的六面體（或叫單元體、微元體）。

此六面體上互相垂直的三個平面上的應力分量，

即可表示該點的應力狀態

（實際上凡是‘正六面體’，

    任意相鄰的2個面，都是彼此垂直的）。

應力，即某點單位面積上受到的力。 

應力可分解為 

“正應力”（ 即 法向應力 ）和切應力。 

【單元體的概念】

何謂“單元”？我們可以將單元體定義為：

具有相同形狀、體積或結構的

一個獨立體或多個空間形體組合體，

由單元體生成整體。

一個應力分量，由

‘截面方向’和 ‘分量方向’準確決定。

在數學上的表徵就是，

某點的應力狀態用一個‘二階張量’來表示。

簡單來說，應力張量是一個二階物理量。

這種二階狀態可以理解為：

要把空間內某一點的所有面的方向說清楚，

需要三個‘面元方向’作基底，

【在數學中，用很多小的平面描述一個曲面。

   這些小的平面就叫“面元”，可理解為曲面上的小單元。

    基 (basis)（即基底）是描述向量空間的基本概念。

   向量空間‘基’的元素，稱為基向量。】

而要把其中每一個‘面元方向’受力情況說清楚，

又各需要力的三個分量作基底，

如此一來，3 乘 3 就得到 9 個分量了。

【複習】

如圖所示，P為‘直角坐標系’OXYZ中

一個（受壓而變形的）‘變體’內的任意一點，

在‘P ’點動手術, 切取一個各面都平行於

‘原坐標面’的‘新六面體’，

這個新的‘六面體’，呱呱落地後，

自然會帶來 3 個相互垂直的面，

但是在實際計算中，根本不用取所有的面，

而只取1組 3個相互垂直的面做代表即可，

這個作為代表的3個互相垂直的面上的‘應力量’，

即是該點的‘應力狀態’ ，

就是說，人們可以在這個‘六面單位元’上，

取1組作為代表，

而這個‘代表組’所擁有的應力，就叫‘應力張量’。

【關於下標】

應力分量的

第一個下標表示作用平面的法向；

第二個下標表示應力作用的方向。

正應力的兩個下標是一樣的，故用一個下標簡寫之。

【小結】

場方程的“應力”，

是一個叫“應力張量”的二階張量

（stress tensor 應力張量）。

概略地說，應力描述了物質內各部分之間通過力

（且是通過近距離接觸的作用力）

進行相互作用的強度。

就是說，

相對論中，應力是二階的，全稱“應力張量” 。

三維空間中，‘某點’需九個分量來確定這個張量，

即三維空間的某一點需要用

3個‘正應力’和 6個‘剪應力’來確定。待續。

  謝謝。