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 《被幻化的应力张量》

亲爱的朋友，民以食为天。

家家都有一个厨房，不是吗？

厨房是个时空，在这香气飘溢的空间，

厨房的主人，正在炉边炒菜

炒锅内的蔬菜（韭菜、香菇、洋葱头）

借着火势，随着炒勺，

左右翻滚、上下飞舞，

借助想象，让我们在这个时空，

画一个想象中的坐标系0XYZ，

在这个隐形坐标系的某点，

有个形同正六面体的向量空间*，

故事里，炒锅好比是向量空间，

（喂，炒锅怎么会是向量空间，

   还是正六面体的 ？！晕……，比喻而已）

话说那些身陷锅内的蔬菜，

（韭菜、香菇、洋葱头）被炒过来、炒过去，

终于那些星级角色‘多阶应力张量’，

被幻化成一些正在翻滚的洋葱头了……哈哈。

亲爱的朋友，

数学上的空间，与物理空间，

（比如定义在一个单元体上的应力所在的空间）

是两码事。并且，张量不是物体。

张量只是个物理量（张量是广义上的数值）。

又，向量空间有狭义和广义之说。

数学上，有立体空间、也有平面空间

（如果时间允许，容稍后再作介绍吧）。

【辨异】

不要混淆张量所在空间的维度和张量本身的阶数

物理学家对张量的概念离不开对坐标系的考虑，

当初‘里奇’Ricci在考虑张量时，

就是从坐标变换角度考虑的，

但是这种定义在数学中推广起来比较困难。

所以后来就把张量定义为

是一种‘多重线性映射’了。

或者可以说，

‘张量’的定义是建立在‘向量空间’基础上的，

而‘向量空间’又是从‘三维空间’抽象出来的

（这有点像‘子空间’是从‘母空间’那里定义的、

而‘母空间’又来自更大的空间）。

理解‘张量’，有点像‘剥洋葱’，

有时需要用层层递进式思维。

让我们先就‘张量’所在的维度空间来理解：

通常将空间的维度，记作n，具体地，

一般用3维空间（也可以是4维或4维以上空间）。

而张量阶数记作m

如果在一个固定的3维空间，

来分析张量的阶数，则：

当张量的阶数m

小于或等于空间维数n时，写作m<=n  

或者记忆为

张量的阶数m与空间的维数n：

（1）张量是有大小和多个方向的量。

这里的方向数，就是指张量的阶数。

（2）空间的维度n：一般我们使用3维空间。

小结：张量的阶数，有时可以是张量的方向数；

张量所在空间的维数与张量的阶数并不是一个概念。

{一个轴上有2个应力、2个轴上有4个应力。}

2阶张量的2个方向、

和二维空间(、曲面)的两个方向x，y，

共有2^2=4个方向。

在三维空间里，

三维二阶张量（空间应力张量）的每个方向，

都可以用三维空间三个方向x，y、z表示。

共有3^2=9个方向。

【二阶张量下标 μ和 下标ν 两者之间是什么关系】

张量可以用坐标系统来表达，

记作标量的数组，

但它又是被定义为“不依赖于参照系的选择的”。

二阶张量含2种矢量

即含2套坐标系的2种矢量的方向），

每种矢量各包含在一套坐标系内，

分别用希腊字母μ 和ν来表示。

2套坐标系合起来，表示一个二阶张量。

举一个（仅在一套坐标系内表达的）普通例子，

例如，地球绕着太阳转，是有2种因素参与的。

就是说地球公转速度是包含

‘角速度’和‘线速度’两种因素的。

‘角速度’是广义上的矢量；‘线速度’是矢量。

这2种矢量合起来，形成整个地球的公转。

就是说，在2种矢量的共同作用下，

才能形成地球的运动。

现在说到张量，也与此有类似之处，

不同的是，张量是一种

在一些向量空间的多重线性映射，

例如，

二阶张量就是在2个向量空间的

2种矢量共同作用下形成的。

2种矢量的具体运算，涉及微分几何等高数内容。

理论物理学家苏士侃说

“二阶张量是描述2个矢量之间关系的。”

李奥纳特·苏士侃（Leonard Susskind，1940年－），

美国理论物理学家，美国斯坦福大学教授，

美国国家科学院院士。

在计算中，2个矢量之间的关系是不变的。

这里再打个比喻，比如，在日常生活中，

人人皆知，有些关系是铁定不会变的，

例如母亲和子女之间的关系是不变的，

即使在人生旅途中，经历多少磨难，

其间的关系是不变的，

变的只是与旅途相关的其它因素。

就是说，在张量运算中，2个矢量的关系是不变，

变的只是在作每一步微分时，

那些被微分的数是可以变的。

张量就是在2种矢量的共同作用下，形成的物理量。

学术上有多种张量定义，

通常数学中的方法，

是把张量定义成某些矢量空间

或其对偶空间*上的多重线性映射。

张量可以表述为一个值的序列，

用一个矢量值的‘定义域’

和一个‘标量值的值域’的函数来表示。

【注：任何向量空间都有对偶空间。

   此‘对偶空间’具有一般向量空间的结构。】

 谢谢阅读。