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《引力場方程》

親愛的朋友，

今天我們要對引力場方程作個總結：

引力場方程描述了時空的幾何性質。

這是一個張量方程。

引力場方程的性質是屬於‘非線性偏微分方程’。

場方程的“張量”，都有2個希臘字母來作下標，

如，Guv （愛因斯坦張量） 等。

這種帶2個字母下標的張量，叫“二階張量”。

μ  近似音讀  繆/mju:/， ‘繆斯’的‘繆’；

ν  近似音讀  妞  /nju/ 。‘妞’當女孩講。

在古代，繆斯是主管藝術和科學的九位女神的總稱。

G，也是Grace (優美)的第1個字母，

我們可以用‘Grace科學女神’來幫助記憶。

如上述，作為引力場符號的G μν ，學名叫

‘愛因斯坦張量’。引力：Gravitation ，頭一個字母，是G。

愛因斯坦張量 G μ ν是個大概念。

大概念下又有 7 個小概念：

第1小概念：

“曲率張量” R (μ ν)  ：

“曲率張量”用來描述彎曲空間的曲率。

在微分幾何中，它的學名叫“黎曼張量”

或叫“里奇張量”。

【曲率，即，彎曲程度。就是說，

   彎曲空間偏離 平直空間 的程度，用曲率表示。】

“黎曼（里奇）張量”是說，

在某種邏輯推演中，

空間曲率的數學描述是可以得到簡化或‘縮並’的。

 意大利數學家裡奇（1853～1925）

註：縮並是一種有關簡化的運算。

縮並，可以在某種邏輯推演中，將一種複雜的張量，

經過推演而等價於一種較為簡單的張量。

第2小概念：

 “ 里奇標量（R） ”：

“ 里奇標量（R） ”代表純量曲率，

它是從“里奇張量”簡化形成的；

所謂標量（即數量）是不涉及方向的量。

“里奇標量  “R”也是一種曲率，

只不過這種空間曲率，

是在特殊條件下的空間曲率。      

第3小概念：

“ 度量張量  ” ：

“度量張量  ”，也叫度規張量，

是用來衡量4維空間的距離和角度的。

在引力場方程中，

度量張量與里奇標量 乘積的二分之一

1/2 R  

自然也是一種張量，

這個張量同樣也可看作是

彎曲空間曲率的數學描述。

第4個小概念：

“能量-動量-應力張量

能量-張量-應力，也稱 ‘能、動張量’，等。

“能-動-應力張量  ”

代表空間的能量密度和動量密度等。

這個張量也是二階的。

第5個小概念：

G（Gravitational constant）是“引力常數” ；

第6個小概念：

C是真空中的光速。

第7個小概念

π是圓周率，是基本的幾何常數之一。

好了，寫到這兒里，

我們是否可以對場方程有些印象了。

綜上所述，愛因斯坦場方程，

表述的是“空間彎曲”的情況。

數學上的空間彎曲，從何而來？

就是從‘愛因斯坦場方程’推演而來的。

註：空間彎曲，

已經得到天文觀測的驗證。

再釋愛因斯坦引力場方程

愛因斯坦場方程，是廣義相對論的核心，

它使用數學語言精確地描述了

物質的性質與時空的聯繫。

場方程使用了黎曼幾何中的概念和方法。

在黎曼幾何中，

空間（或時空）的幾何性質

被一個叫做'度規張量'  

                      的概念所描述。

眾所周知，簡單的坐標

不能提供足夠的信息，

來描述球面或更複雜空間的幾何性質。

這些信息，只能由“度量張量”等來描述。

“度量張量”是定義在曲面空間中所有點的函數。

所有與幾何相關的量，

比如曲線的長度、兩條曲線相交的

角度等，都能通過“度量張量”計算出來。

我們知道，時空、物質等都是互相聯繫的。

愛因斯坦通過用一些較小概念（曲率張量等），

來推演另一個較大概念  G μν，

以這種方法來表示這些聯繫。

引力場方程可以簡化成，如下形式：

愛因斯坦場方程的意義

這個方程

一邊是幾何量；一邊是物理量

即，

左邊是描寫時空性質的幾何量；

右邊是描寫物理性質的物理量。

就是說，愛因斯坦引力場方程

是用等號連結了‘空間結構’

和‘空間中物質、能量的分布’，

或者說，彎曲時空

等於空間中的物質、能量的分布

憑這個方程，

可以對時空和物質

是如何相互影響的在數學領域有了了解。

 《有關‘應力分量’的正負值問題》

應力分量是能確定物體中

某一點應力狀態的3個相互垂直面上的

正應力和剪應力，共9個應力量。

為了計算應力分量，

首先要確定該應力

所在‘截面的（坐標軸的）方向’，

然後再確定‘應力作用的方向’。

具體的說，是要找出：

‘應力分量’的法向。法向即法線的方向。

習慣上，我們取三個正交截面的應力向量

（即x軸、y軸或z軸），

分別為三個截面各自的法向。

就是說，

為規定應力分量的正負號，

首先假設：法向

與坐標軸正向一致的面為正面；

與坐 標軸負向一致的面為負面。

進而規定：

正面上指向坐標軸正向的應力為正，反之為負；

負面上指向坐標軸負向的應力為正，反之為負。

三個正面上共有九個應力分量

（包括三個正應力和六個切應力）。

在標準空間直角坐標系里，

分別將X軸、Y軸或Z軸箭頭所指方向，稱為正向；

反之則是負向。 

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