==从数感说起==

伽莫夫《从一到无穷大》中提到过亚马逊森林中某土著部落的数感。这些土著们可以回答展示给他们的一组物品的个数，如果不超过三件的话。然而，一但面对多于三件物品，土著们则束手无策，只能回答“很多”。

这个例子其实是引自丹齐格（Tobias Dantzig）1930年的著作《数：科学的语言》（Number: The Language of Science）。按照丹齐格的描述，某些土著语言中仅有相当于“一个”，“俩”，“仨”的词汇。描述三以上的数字的词汇则是 “很多”（Many）。然而，丹齐格最深刻的见解则是，无论土著词汇中是否有具体数目的词汇，他们往往仅有数感，而没有数的概念。用他著作中一句非常有意思的oxymoron概括（为了易懂，这里的中译已经没有那么oxymoron 了）：土著语言中有对数目的词汇，但却没有“数目”这个词汇。丹齐格反复强调的是数感number sense与计数counting的本质区别。

数感是一种对少量数目直觉判断和匹配多少的天生本能。即使土著人语言中没有数目一二三这些词汇，意识中也毫无计数count知识，他们仍然会具有数感。人类学和心理学家们曾针对某个语言中没有数目词汇的土著部落进行过试验。他们向那些接受试验的土著们展示一组样品，让他们用相等的小石头子去匹配其数目。实验显示，即使这些土著的语言中没有描述具体数目的词汇，他们仍能够匹配出三或四以内的数目，说明他们有三或四以内的数感。

许多动物和昆虫都有这种数感。丹齐格著作中描述了某种鸟类的数感。如果这种鸟的鸟巢中有四颗鸟蛋，偷偷取走其中一颗（还剩下三颗）不会引起雌鸟的警觉。但如果从中一下取走兩个鸟蛋，那么鸟就会感知危险并弃巢而去，说明这种鸟有三以内的数感。

丹齐格讲的另一个例子则更有意思。有位乡绅想要射杀一只在他田园瞭望塔上筑巢的乌鸦。但偷袭了好几次均徒劳而返。只要看见乡绅走进瞭望塔，乌鸦就警觉地马上飞离自己的巢穴，躲到远处观望，直到乡绅离去后才飞回来。某天乡绅心生一计，请一个朋友和他一同走进瞭望塔，少许之后朋友独自一人离去，乡绅自己则埋伏等待。然而乌鸦并未上当受骗，直至等到乡绅不耐烦也离去之后乌鸦才放心回巢。乡绅后来干脆尝试三人，甚至四人一起走进瞭望塔，然后自己偷偷埋伏，乌鸦始终不进圈套。直至最后，乡绅和朋友一同五人走进瞭望塔，然后自己偷偷留下。这次数目五显然超出了乌鸦数感的阈值，和伽莫夫书中的土著一样，它不再能分辩进出的人数，未等最后偷偷留下的乡绅离去，就回巢了中了埋伏。

4岁能分出鸭梨大小5岁就能count到100的同学们先不要马上有优越感。正如丹齐格所说，数感number sense不同于计数counting。心理学研究发现，人类普遍的数感的阈值与前面丹齐格描述的原始土著和鸟类及乌鸦的数感阈值所差无几。研究者们发现，对于大多数人来说，包括5岁能count到100的牛蛙预科生们，说出不特意摆设的四件以上物品的数目所需的反应时间要数倍于报出四件以内数目的时间。其背后的原因是，人类先天对数目的本能直觉的阈值也不过仅仅是4。心理学家（Kaufman，1949）将这种人类先天对数目的直觉称之为“瞬时数感”或“数觉”subitizing（源自拉丁词subitus，相当于sudden的意思）。人类的瞬间数感或数觉让我们的感官可以不加思索，心中不做计数（count）而直接“反应”出所面对事物集合中单元的数目，如果该数目没有超过我们的数觉阈值4。

古人数千年前就领悟到人类的瞬间数感。从古罗马到现代，绝大多数10进制算盘都采用上下两排算珠，逢5向上排进位的设计。这个设计恰好符合现代心理学和认知科学给出的最优化方案，确保珠算演算中任何一次拨动均避开四颗以上算珠的魔咒，让打算盘尽量成为下意识瞬间动作，甚至达到一心二用盲打的程度。

对于四以上的数目，现代社会的人们并不像伽莫夫所说的亚马逊部落土著那样一筹莫展。虽然我们对这些数目没有先天脑回路提供本能的直觉，但人类社会几千年的文明发展已经掌握了对超过数目4的计数知识counting，并建立了数字进位系统。然而，与先天数感直观的一二三四有本质不同，计数概念中的数，包括那些被5岁儿童们从1，2，3一直数到的100，以及“数”这个词汇本身，已经是人类思维创造和后天认知的抽象概念。正像现代心理学所揭示的，我们这种借助于内心思考的“软件”或外挂设备（算盘，算筹）的计数速度要远远慢于我们感性直观本能的“硬件”。

从大脑对计数能力的进化程度上说，与伽莫夫讲述的那些落后现代社会一万年的土著们相比，我们并无可见的先天优越。我们与他们的差别仅仅在于我们后天学习掌握了计数的额外知识和辅助技能。

==颜色是真实的吗==

在继续讨论数的本质之前，先说一下色觉。丹齐格那句有趣的oxymoron还有上半句：土著的语言中往往有对彩虹中所有颜色的词汇，但却没有“颜色”这个词汇。人类对颜色和数目的认知其实具有相似性。

人们往往以为颜色是光波中某种能被我们看到的客观属性，比如例如光的频率（或波长）。这个认知其实沿袭了牛顿的“色素说”的概念，200多年前就已经被托马斯-杨（就是双缝干涉实验那个杨）的三原色理论所推翻。杨的学说最具颠覆性的观点是，颜色不是光波的客观属性，而是人类视觉赋予光波的主观意识。这就是现代医学仿生眼（bionic eye，visual prosthesis）的基本思想。仿生眼并不是将光波中的“颜色”或者“频率”输入盲人的大脑，而是依据光波组合，对大脑皮层或者视觉神经系统施以生理电压产生“光幻觉”。这些生理电压不但不携带颜色（或者对应的光波频率），也甚至可以人为地与外界光的颜色（频率）毫不相干，比如根据颜色刺激嗅觉神经或根据气味刺激视觉神经，让你“闻”到颜色，“看”到气味（“联觉”机能Synesthesia）。

换句话说，类似于酸甜苦辣冷暖疼累等等主观感觉，颜色也只存在于人类主观意识之中。如果没有人类存在（比如在人类出现之前），人类意识中的颜色根本不存在，毫无讨论的意义。当然，我们可以讨论恐龙年代天空或森林的颜色，但这一讨论的含义是那时大自然阳光下的客观光谱能在我们现在的意识表象中产生什么主观颜色。这类似于讨论恐龙年代阳光照耀会不会令人感觉温暖或炎热，并不等于说恐龙年代就存在人类的冷暖感觉。

即使有我们人类的存在，很多“存在”的颜色对于我们很多人来说也不存在。以绿色为例，它既可以是来自～550纳米的单一绿色光源，也可以是～580纳米的黄色和～490纳米的蓝色光的混合，甚至还可以是上面黄绿蓝三种单一色的混合。这三种“绿色”在分色棱镜之下具有不同的光谱，单一的绿，黄蓝混合，黄绿蓝混合。对于三色视觉者来说，人的视觉赋予这三种客观光源同样的主观颜色，都是绿色，不分彼此。但是，对于四色视觉者们来说，他们的视觉中上面第三种光源（黄绿蓝混合）既不是绿色，也不是分别的黄绿蓝三色，而是一种独特的，在三色视觉者意识中不存在的颜色。实际上，四色视觉者（或10几色觉的昆虫）们意识中绝大多数的颜色，在人类三色视觉者们的意识中都不存在。对于这些颜色的光源，我们可以用分色仪或三棱镜客观地分辨其频率光谱（比如对前面的第二中光源辨别出是黄蓝混合），获得其全息客观知识，并对其进行客观分析和抽象表达。但我们三色视觉者并不能直观想像出这个光谱组合（比如黄蓝组合的绿色）在四色视觉者意识中的感觉。这类似于色盲者虽然能理解光波的频率概念，也能够使用三棱镜，但他们完全不能想象和理解我们谈论的颜色。

不仅颜色只是人类主观意识中的存在，颜色学所显示的“客观”规律和法则，其实也不过仅仅是人类主观意识中的“存在”。人们往往以为对三色视觉者的黄蓝色混合成为绿色不过是遵循了简单“波长平均”的客观法则而已（580纳米黄+490纳米蓝，平均出接近550纳米绿）。然而，如前面所说，这条法则对四色视觉者来说毫无意义。即使对三色视觉者来说，这条法则也仅仅对黄蓝混合凑巧的结果，并无意义，也不普遍成立。以红色（波长～700纳米）和蓝色（～500纳米）的混合为例，如果按波长平均，其结果应该是接近～600纳米的黄色。然而令人很多人大跌眼镜的是，红蓝混合的结果是光谱中并不存在的一种颜色，绛紫色（英女王穿衣酷爱的颜色），其感观更接近于光谱中波长比红蓝均短的紫色（～400纳米），而不是介于红蓝波长之间（平均）的黄色。

颜色学所揭示的规律和法则，不过是人类视觉系统按自己的结构（演化的结果）在人类意识中加注的直观标记方式。人类意识之外的大自然根本不需要这套规律和法则。大自然造物主也并没有为大自然的“颜色”设计这些规律，制定这些法则。这些规律和法则与人们意识中的颜色本身一样，在人类意识之外并不存在，没有意义。

==数的本质==

回到前面对数的讨论。一个类似颜色的直接问题就是：数目是事物的客观属性还是人类意识中的主观概念？或者问，人类意识之外，数目是否有意义，数目是否存在，在哪里存在？这个问题是胡塞尔现象学的起点，甚至也是理解康德“数学是先天综合判断”的关键。

科学家和科学盲们，唯物论和形而上学唯心论们，都不约而同的共同观点是，数目表现的是不依赖人类意识的客观事物的属性，是客观规律的“语言”，也是不依赖人类意识的“真实”的客观的（或柏拉图空间的）存在。然而，这种常识和唯物唯心的默契一致却被胡塞尔现象学所颠覆。胡塞尔深刻地揭示了，数目的这种“真实”，其实是已经被我们忘记是虚幻的虚幻（尼采语）。胡塞尔考察数的本质的方式类似于丹齐格，直接回到人类意识中数目概念的起源。其区别是，胡塞尔侧重于心理学解释，而丹齐格更接近康德，从人类先天直觉和认知结构“数感”出发。

90年代和本世纪不断发展和出现的现代心理学和认知科学的发现支持了丹齐格数感的学说，人类观念中抽象的数字概念源自人类的原始“数感”，类似于人类对颜色（以及康德学说中人类对时空）的直觉。这种数感的根基则是将外界世界单元化和同一性的感知能力。只有将外界事物视为诸多相互可分彼此，自我同一的单元，比如一支船，一条河，一块蜂蜡，一支粉笔，等等，数感才能够产生，也才有意义。这种事物单元化和同一性绝非事物本身的绝对属性，而是相对于人的认知时空尺度，人的认知中的概念化，是人类的认知表象。胡塞尔曾经举例一支粉笔。在人的意识之外，一支粉笔没有绝对意义，因为不久它就会成为一堆粉末。对于人的时空尺度，这个“不久”也许很长（例如，被胡塞尔在黑板上用了一堂课后），然而换成其他认知主体的时间观，这个“不久”也许是瞬间，短到将粉笔视为粉笔已经没有意义。同样，笛卡尔讨论了一块蜂蜡，赫拉克利特说人不能两次踏入同一条河，他的学生克拉底鲁干脆说，人一次也不能踏入同一条河。对同一性最著名的悖论则是忒修斯之船。这些看似诡辩的悖论所揭示的都是，单元化和同一性都是相对于人类认知的时空尺度才有意义。大自然并不需要，也不必遵守，更不会有造物主去设计这种单元化和同一性法则。

与颜色和色彩学规律一样，将事物视为可分彼此自我同一的单元，是人类（和很多动物）先天的感观直觉和认知本能和认知方式，这种认知是人类（即那些动物）数感的基础。数感，单元化和同一性，都不是客观事物的属性和法则，而是人类感知和认知结构赋予自然的法则。那么由此产生的抽象数目和计数的概念和知识，都是建筑在数感这个已经被忘记是虚幻的虚幻之上的“真实”。