“選民關注的事情越廣泛，或者選舉進行得越頻繁，那麼市場和效率就會受到越大的傷害。並且，在處理公共事務中，投票產生的政府、政府組織的投票不可能提供絕對公平，也未必比市場更有效率，投票因其過程充滿“灰色地帶”，其結果也絕不是正與邪、黑與白那麼簡單。”

——布坎南（James M. Buchnan），塔洛克（Gordon Tullock），《同意的計算》（The Calculus of Consent）

我的中小學教育是在七十年代的中國大陸接受的，因此有很多先天不足。於是，上大學後就讀了很多雜書，文史哲都涉獵了一些，談不上深刻，不過學到了不少東西，了解到了科學的發展其實就是人類認知的進步。也懂得了人類自身的很多局限性，無論是在實踐上還是在理論上，人的局限性無處不在。人類自身運用其理性發展出的最理性、最精確的科學——數學，也存在着很大的局限性。數學基礎的三次危機，就是人類認知和理性的局限。數學就在突破這些局限中向前發展。其中最有趣的是第三次的數學危機，現在看來就是邏輯系統的自洽問題，最後由哥德爾（Ｋｕｒｔ　Ｇｏｄｅｌ）做出了結論：任何數學的公理系統都不能排除邏輯悖論。在數學這麼精確的科學中，都存在邏輯悖論，那在各國現有的政治制度的運作中是否也存在悖論？回答是肯定的，悖論存在於各種政治系統中。現代社會中，人們普遍認可的選舉中就存在着悖論。選舉本身是一個數學問題，不管你信不信，一旦選舉在一個巨大的、複雜的系統中進行，如何進行合理的選舉並保證其能正常運作的程序就是一個非常困難的數學問題。數學方法在合理地設計各種政治系統並保證其正常運作方面起着至關重要的作用。說得極端一點，尋求合理的制度、建立有效的政治體制，本質上是一個純數學問題。

民主的主要形式是選舉。選舉本身很簡單，然而也不是僅僅是讓選民們舉手、畫圈那麼簡單。成功的民主政治是一部精緻的決策機器。因其精緻，就容易發生故障，因而需要精心維護；因其像機器，就要求操作該機器的人能熟練地把握其操作的程序、規則。即使在只須進行合計票數的加減法的簡單場合，要是沒有理性而成熟的選民及法院來把關，就很容易誘發社會分裂和憲法危機。

在這裡介紹一下，歷史上四個有名的選舉悖論。第一個選舉悖論，是法國百科全書派哲學家孔多塞（Ｍａｒｑｕｉｓ　ｄｅ　Ｃｏｎｄｏｒｃｅｎｔ），在一七八五年給出的。這一悖論可以用下面的例子加以說明：假設有三個選民，張三、李四和王五，他們要從三個候選人Ｘ，Ｙ，Ｚ中選一個。當三人對候選人喜好的選擇排序是

於是，選舉結果就是Ｘ，Ｙ，Ｚ的三人循環。也就是說，每人都有自己的選擇排序，但得不出一個社會整體的排序。就是說要把所有的個人的偏好轉變為一種確定的社會選擇，在一定情況下是不可能的。在對選舉做出嚴格的數學分析之前，人們對多數人準則的本質，其實並不清楚。一旦選舉是連續不斷的，很多情況下，多數人的偏好是循環的。這個悖論說明，選舉在一定的情況下是給不出一個確定的結果的。

第二個選舉悖論是波達投票（Ｂｏｒｄａ　Ｃｏｕｎｔ）悖論。十八世紀，法國數學家、統計學家波達（Ｊｅａｎ－Ｃｈａｒｌｅｓ　ｄｅ　Ｂｏｒｄａ）的投票法是用數值表示選民對候選人的偏好順序，如１最好，２次之，依此類推。把全體選民對候選人的偏好的順序數加起來，得出的總數值即該候選人的波達數。通過比較候選人的波達數（波達數小對應優先度高），得出社會對全部候選人的偏好序列。在上面的例子中，３名候選人的波達數都是６，因此社會對他們的偏好一樣的。波達投票法避免了孔多塞投票悖論。但也產生了新的悖論。假設在上面的例子中，候選人Ｚ由於某種原因退出競選，選舉只在Ｘ與Ｙ之間進行。而人們對Ｘ和Ｙ保持各自的偏好序列不變，則有下面的結果：

根據波達數，則Ｘ優於Ｙ，這與候選人Ｚ沒有退出時Ａ和Ｃ沒有差別的結果不同。可見，波達投票法的最終結果與候選人的數目有關。這就是波達投票悖論。這一悖論告訴我們，改變候選人數目，選舉結果就會改變，人們可以通過這一手段來操縱選舉。

第三個選舉悖論又稱阿拉巴馬悖論（Ａｌａｂａｍａ　Ｐａｒａｄｏｘ）。該悖論來自美國憲法的比例代表制。美國憲法第一條第二款規定每州的聯邦眾議員人數與本州人口成比例。這條看上去簡單、合理的規定其實很容易產生邏輯悖論。今天的美國現有五十個州，各州的人口數量之間不可能是整數倍，在一定規模的眾議院內，每州的聯邦眾議員人數應該是該州人口數與總人口數之比乘上聯邦眾議員總數。該數字在很多情況下是分數，但各州產生的聯邦眾議員數必須是整數，於是就要有一套合理的分配方案，來產生聯邦眾議員。

建國初期的美國政治家亞力山大•漢密爾頓（Ａｌｅｘａｎｄｅｒ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ）、托馬斯•傑佛遜（Ｔｈｏｍａｓ　Ｊｅｆｆｅｒｓｏｎ）及後來的丹尼爾•韋伯斯特（Ｄａｎｎｉｅｌ　Ｗｅｂｓｔｅｒ）等，都提出過他們的解決方案，但漢密爾頓的方案最簡單，被一七九二年的美國國會通過，但後來被華盛頓否決。一八五二年，美國國會又採用了漢密爾頓方案。

漢密爾頓的方案就是，開始時每州的眾議員人數，與理想的眾議員人數的整數部分相等，分數不計。一個州的理想代表數為３.６２它就有３個眾議員。然後，計算眾議員總數，若總數沒達到眾院要求的議員人數，就按那些捨棄了的分數大小排序，再分配剩下的議員數。直到分配完所有的眾議院議員席位。
根據漢密爾頓的按比例分配方案，可以虛構如下例子：在一個擁有５個州的國家中，要成立一個有２６個席位的眾議院。下表是各州的人口和根據漢密爾頓的方案每州所能獲得的眾議員人數。

漢密爾頓方案符合一個公平原則：它給每個州能夠就近上下浮動的理想的代表數。換句話說，如果Ｄ州的理想代表數為３.３１9。他的方法會分給Ｄ州３個或４個代表，但不會是２個或５個代表。符合這個準則的方案能滿足定額，並且是人們期望的一種公平的按比例分配方案的最低定額。

可是，漢密爾頓的方法違背另一個公平原則。在上述５個州的例子裡，在眾議院的規模由２６個席位增加到２７個的時候：在２７席位的眾議院，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ和Ｅ各州分別獲得9、8、6、3和1個代表數。不可思議的是，總人口和Ｄ州人口都沒有變，眾議院議員人數增加了，但Ｄ州的議員數反而減少了，Ｄ州處於雙重的不利境地。

該悖論是在一八八零年，聯邦眾議員總數增加的情況下，但美國阿拉巴馬州的聯邦眾議員配額反而減少，而得名的。該悖論在一九零七年的俄克拉荷馬州又發生了一次。儘管這一悖論出人意料，但它來自實踐，不是純邏輯的產物。看似公平的最簡單的比例代表制，在實踐中都會產生邏輯悖論，看來社會公平還真是一個純數學的問題。

第四個選舉悖論是“擴大委員會悖論”與“離任委員悖論” （Ｐａｒａｄｏｘｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｉｔｔｅｅ　ｅｌｅｃｔｉｏｎｓ）。荷蘭數學家斯大林（Ｍｉｋｅ　Ｓｔａｒｉｎｇ），於一九八六年發表了論文“委員會選舉的兩個悖論”，給出了兩個有關選舉委員會的悖論：１２個選民（編號１到１２），要從9位候選人（Ａ至Ｉ）中選出一個委員會，在只有兩個空缺時，每位選民投票給對他（她）來說排在最前面的兩位候選人。當每位選民對於候選人的個人偏好如下表所示時，投票總數將有如下結果：

Ａ、Ｂ得四票，Ｈ、Ｉ得三票，其餘每人兩票，Ａ和Ｂ當選。然而，如果空缺有三個，於是每個選民必須投三票。結果被選上的將是Ｃ，Ｄ和Ｅ，因為他們每人都得五票，其餘每個候選人都只得四票或三票。類似的計算導致這樣的結論：如果有四個空缺，那麼既沒有二人委員會中的成員、也沒有三人委員會中的成員能夠當選；事實上，當選者將是Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ。因此，該悖論被稱為“擴大委員會悖論”：一個候選人可以被選進一個由Ｎ個成員組成的委員會，當這個委員會由Ｎ＋１個成員組成時他卻未必能當選。事實上，Ｎ人委員會與Ｎ＋１人委員會的成員毫不相關。
當委員會的一個已當選委員在兩次相繼的選舉期間退出了，則會發生另一個現象。一般情況下，在一個已當選的委員退出時，並不舉行選舉，而是指定在上次選舉票數僅次於最後一名當選者的候選人入選。這看上去很合理，但是它也能產生悖論。假設有１２位選民，他們要從５位候選人中逃出一個由兩人組成的委員會。每位選民對於候選人的個人偏好如下表所示。

如果每位選民必須投兩票，投票結果是Ａ（12票）和Ｂ（5票）當選，Ｃ（3票）以及Ｄ和Ｅ（2票）落選。幾天后Ａ退出委員會，所有選民對候選人的偏好不變，一輪新的投票結果則是Ｄ和Ｅ當選，兩人各得８票。但是，指定第一次選舉時票數僅次於最後一名當選者的落選者以代替離任委員Ａ的辦法，將導致Ｃ當選。於是委員會則由Ｂ和Ｃ組成，而不是Ｄ和Ｅ。這一結論就是“離任委員悖論”：當一名當選委員退出委員會時（此時，他不再是候選人）指定第一次選舉時票數僅次於最後一名當選者的候選人當選的程序，會產生一個委員會，它與讓選民有機會再次投票而將產生的委員會毫不相關。

綜上所述，投票機制在候選人達到“三”時，就很容易出現悖論。有人用蒙特卡羅來計算投票悖論產生的概率，他們的結論是，投票人數量或候選人越多，產生悖論的可能性就越大。在投票者為3人，候選人也為3人的情況下，產生悖論的概率約為５.７％，當投票人增加至１５人，候選人增加至１１人時，產生悖論的概率就會到５０％。也就是說，兩次投票中就會有一次悖論現象出現。

從以上的分析不難看出：數學方法對合理設計各種政治系統並保證其正常運作關係重大。一種選舉方案存在問題，就會有新的方案替代它。新的方案會暫時消除悖論。但新方法又會帶來新問題，新問題又需要解決。於是更新的方案，更加公正合理的方案又出現了，更新的方案也可能存在問題。很多優秀的數學家、政治家一直在探索着人類心目中的“完美制度”。到底哪一種制度才是合理的，公平的呢？

一九八二年，問題有了真正的轉機。這一年，邁克爾·巴林斯基（Ｍｉｃｈｅｌ　Ｂａｌｉｎｓｋｉ）和佩頓·揚（Ｐｅｙｔｏｎ　Ｙｏｕｎｇ）兩人證明了一個令人沮喪的結論。他們證明了，“不產生悖論”、“不違反公平分配原則”等五條合理的選舉公理在邏輯上是不相容的。也就是說，大多數民主國家採用的比例代表制中，存在着某種自相矛盾。也就是說完美的選舉制並不存在。這一里程碑式的結論改變了人們對於公正的理解，人們對於“完美制度”的探索有了一個了結。

這一結論，對一些人來說多少有些悲觀。實際上，儘管絕對公正的民主選舉在理論上是邏輯不自洽的，但我們完全可以找到相對來說足夠公正的制度來替代。作為一種人人平等、人人有尊嚴的價值觀，完全的公平公正仍然是人類的理想和努力的方向。自由、真理、至善，是人類價值觀的產物，儘管在現實中不存在，但卻是人類從童年就開始追求和嚮往的美好理想。