“选民关注的事情越广泛，或者选举进行得越频繁，那么市场和效率就会受到越大的伤害。并且，在处理公共事务中，投票产生的政府、政府组织的投票不可能提供绝对公平，也未必比市场更有效率，投票因其过程充满“灰色地带”，其结果也绝不是正与邪、黑与白那么简单。”

——布坎南（James M. Buchnan），塔洛克（Gordon Tullock），《同意的计算》（The Calculus of Consent）

我的中小学教育是在七十年代的中国大陆接受的，因此有很多先天不足。于是，上大学后就读了很多杂书，文史哲都涉猎了一些，谈不上深刻，不过学到了不少东西，了解到了科学的发展其实就是人类认知的进步。也懂得了人类自身的很多局限性，无论是在实践上还是在理论上，人的局限性无处不在。人类自身运用其理性发展出的最理性、最精确的科学——数学，也存在着很大的局限性。数学基础的三次危机，就是人类认知和理性的局限。数学就在突破这些局限中向前发展。其中最有趣的是第三次的数学危机，现在看来就是逻辑系统的自洽问题，最后由哥德尔（Ｋｕｒｔ　Ｇｏｄｅｌ）做出了结论：任何数学的公理系统都不能排除逻辑悖论。在数学这么精确的科学中，都存在逻辑悖论，那在各国现有的政治制度的运作中是否也存在悖论？回答是肯定的，悖论存在于各种政治系统中。现代社会中，人们普遍认可的选举中就存在着悖论。选举本身是一个数学问题，不管你信不信，一旦选举在一个巨大的、复杂的系统中进行，如何进行合理的选举并保证其能正常运作的程序就是一个非常困难的数学问题。数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面起着至关重要的作用。说得极端一点，寻求合理的制度、建立有效的政治体制，本质上是一个纯数学问题。

民主的主要形式是选举。选举本身很简单，然而也不是仅仅是让选民们举手、画圈那么简单。成功的民主政治是一部精致的决策机器。因其精致，就容易发生故障，因而需要精心维护；因其像机器，就要求操作该机器的人能熟练地把握其操作的程序、规则。即使在只须进行合计票数的加减法的简单场合，要是没有理性而成熟的选民及法院来把关，就很容易诱发社会分裂和宪法危机。

在这里介绍一下，历史上四个有名的选举悖论。第一个选举悖论，是法国百科全书派哲学家孔多塞（Ｍａｒｑｕｉｓ　ｄｅ　Ｃｏｎｄｏｒｃｅｎｔ），在一七八五年给出的。这一悖论可以用下面的例子加以说明：假设有三个选民，张三、李四和王五，他们要从三个候选人Ｘ，Ｙ，Ｚ中选一个。当三人对候选人喜好的选择排序是

于是，选举结果就是Ｘ，Ｙ，Ｚ的三人循环。也就是说，每人都有自己的选择排序，但得不出一个社会整体的排序。就是说要把所有的个人的偏好转变为一种确定的社会选择，在一定情况下是不可能的。在对选举做出严格的数学分析之前，人们对多数人准则的本质，其实并不清楚。一旦选举是连续不断的，很多情况下，多数人的偏好是循环的。这个悖论说明，选举在一定的情况下是给不出一个确定的结果的。

第二个选举悖论是波达投票（Ｂｏｒｄａ　Ｃｏｕｎｔ）悖论。十八世纪，法国数学家、统计学家波达（Ｊｅａｎ－Ｃｈａｒｌｅｓ　ｄｅ　Ｂｏｒｄａ）的投票法是用数值表示选民对候选人的偏好顺序，如１最好，２次之，依此类推。把全体选民对候选人的偏好的顺序数加起来，得出的总数值即该候选人的波达数。通过比较候选人的波达数（波达数小对应优先度高），得出社会对全部候选人的偏好序列。在上面的例子中，３名候选人的波达数都是６，因此社会对他们的偏好一样的。波达投票法避免了孔多塞投票悖论。但也产生了新的悖论。假设在上面的例子中，候选人Ｚ由于某种原因退出竞选，选举只在Ｘ与Ｙ之间进行。而人们对Ｘ和Ｙ保持各自的偏好序列不变，则有下面的结果：

根据波达数，则Ｘ优于Ｙ，这与候选人Ｚ没有退出时Ａ和Ｃ没有差别的结果不同。可见，波达投票法的最终结果与候选人的数目有关。这就是波达投票悖论。这一悖论告诉我们，改变候选人数目，选举结果就会改变，人们可以通过这一手段来操纵选举。

第三个选举悖论又称阿拉巴马悖论（Ａｌａｂａｍａ　Ｐａｒａｄｏｘ）。该悖论来自美国宪法的比例代表制。美国宪法第一条第二款规定每州的联邦众议员人数与本州人口成比例。这条看上去简单、合理的规定其实很容易产生逻辑悖论。今天的美国现有五十个州，各州的人口数量之间不可能是整数倍，在一定规模的众议院内，每州的联邦众议员人数应该是该州人口数与总人口数之比乘上联邦众议员总数。该数字在很多情况下是分数，但各州产生的联邦众议员数必须是整数，于是就要有一套合理的分配方案，来产生联邦众议员。

建国初期的美国政治家亚力山大•汉密尔顿（Ａｌｅｘａｎｄｅｒ　Ｈａｍｉｌｔｏｎ）、托马斯•杰佛逊（Ｔｈｏｍａｓ　Ｊｅｆｆｅｒｓｏｎ）及后来的丹尼尔•韦伯斯特（Ｄａｎｎｉｅｌ　Ｗｅｂｓｔｅｒ）等，都提出过他们的解决方案，但汉密尔顿的方案最简单，被一七九二年的美国国会通过，但后来被华盛顿否决。一八五二年，美国国会又采用了汉密尔顿方案。

汉密尔顿的方案就是，开始时每州的众议员人数，与理想的众议员人数的整数部分相等，分数不计。一个州的理想代表数为３.６２它就有３个众议员。然后，计算众议员总数，若总数没达到众院要求的议员人数，就按那些舍弃了的分数大小排序，再分配剩下的议员数。直到分配完所有的众议院议员席位。
根据汉密尔顿的按比例分配方案，可以虚构如下例子：在一个拥有５个州的国家中，要成立一个有２６个席位的众议院。下表是各州的人口和根据汉密尔顿的方案每州所能获得的众议员人数。

汉密尔顿方案符合一个公平原则：它给每个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果Ｄ州的理想代表数为３.３１9。他的方法会分给Ｄ州３个或４个代表，但不会是２个或５个代表。符合这个准则的方案能满足定额，并且是人们期望的一种公平的按比例分配方案的最低定额。

可是，汉密尔顿的方法违背另一个公平原则。在上述５个州的例子里，在众议院的规模由２６个席位增加到２７个的时候：在２７席位的众议院，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ和Ｅ各州分别获得9、8、6、3和1个代表数。不可思议的是，总人口和Ｄ州人口都没有变，众议院议员人数增加了，但Ｄ州的议员数反而减少了，Ｄ州处于双重的不利境地。

该悖论是在一八八零年，联邦众议员总数增加的情况下，但美国阿拉巴马州的联邦众议员配额反而减少，而得名的。该悖论在一九零七年的俄克拉荷马州又发生了一次。尽管这一悖论出人意料，但它来自实践，不是纯逻辑的产物。看似公平的最简单的比例代表制，在实践中都会产生逻辑悖论，看来社会公平还真是一个纯数学的问题。

第四个选举悖论是“扩大委员会悖论”与“离任委员悖论” （Ｐａｒａｄｏｘｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｉｔｔｅｅ　ｅｌｅｃｔｉｏｎｓ）。荷兰数学家斯大林（Ｍｉｋｅ　Ｓｔａｒｉｎｇ），于一九八六年发表了论文“委员会选举的两个悖论”，给出了两个有关选举委员会的悖论：１２个选民（编号１到１２），要从9位候选人（Ａ至Ｉ）中选出一个委员会，在只有两个空缺时，每位选民投票给对他（她）来说排在最前面的两位候选人。当每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示时，投票总数将有如下结果：

Ａ、Ｂ得四票，Ｈ、Ｉ得三票，其余每人两票，Ａ和Ｂ当选。然而，如果空缺有三个，于是每个选民必须投三票。结果被选上的将是Ｃ，Ｄ和Ｅ，因为他们每人都得五票，其余每个候选人都只得四票或三票。类似的计算导致这样的结论：如果有四个空缺，那么既没有二人委员会中的成员、也没有三人委员会中的成员能够当选；事实上，当选者将是Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ。因此，该悖论被称为“扩大委员会悖论”：一个候选人可以被选进一个由Ｎ个成员组成的委员会，当这个委员会由Ｎ＋１个成员组成时他却未必能当选。事实上，Ｎ人委员会与Ｎ＋１人委员会的成员毫不相关。
当委员会的一个已当选委员在两次相继的选举期间退出了，则会发生另一个现象。一般情况下，在一个已当选的委员退出时，并不举行选举，而是指定在上次选举票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这看上去很合理，但是它也能产生悖论。假设有１２位选民，他们要从５位候选人中逃出一个由两人组成的委员会。每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示。

如果每位选民必须投两票，投票结果是Ａ（12票）和Ｂ（5票）当选，Ｃ（3票）以及Ｄ和Ｅ（2票）落选。几天后Ａ退出委员会，所有选民对候选人的偏好不变，一轮新的投票结果则是Ｄ和Ｅ当选，两人各得８票。但是，指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的落选者以代替离任委员Ａ的办法，将导致Ｃ当选。于是委员会则由Ｂ和Ｃ组成，而不是Ｄ和Ｅ。这一结论就是“离任委员悖论”：当一名当选委员退出委员会时（此时，他不再是候选人）指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人当选的程序，会产生一个委员会，它与让选民有机会再次投票而将产生的委员会毫不相关。

综上所述，投票机制在候选人达到“三”时，就很容易出现悖论。有人用蒙特卡罗来计算投票悖论产生的概率，他们的结论是，投票人数量或候选人越多，产生悖论的可能性就越大。在投票者为3人，候选人也为3人的情况下，产生悖论的概率约为５.７％，当投票人增加至１５人，候选人增加至１１人时，产生悖论的概率就会到５０％。也就是说，两次投票中就会有一次悖论现象出现。

从以上的分析不难看出：数学方法对合理设计各种政治系统并保证其正常运作关系重大。一种选举方案存在问题，就会有新的方案替代它。新的方案会暂时消除悖论。但新方法又会带来新问题，新问题又需要解决。于是更新的方案，更加公正合理的方案又出现了，更新的方案也可能存在问题。很多优秀的数学家、政治家一直在探索着人类心目中的“完美制度”。到底哪一种制度才是合理的，公平的呢？

一九八二年，问题有了真正的转机。这一年，迈克尔·巴林斯基（Ｍｉｃｈｅｌ　Ｂａｌｉｎｓｋｉ）和佩顿·扬（Ｐｅｙｔｏｎ　Ｙｏｕｎｇ）两人证明了一个令人沮丧的结论。他们证明了，“不产生悖论”、“不违反公平分配原则”等五条合理的选举公理在逻辑上是不相容的。也就是说，大多数民主国家采用的比例代表制中，存在着某种自相矛盾。也就是说完美的选举制并不存在。这一里程碑式的结论改变了人们对于公正的理解，人们对于“完美制度”的探索有了一个了结。

这一结论，对一些人来说多少有些悲观。实际上，尽管绝对公正的民主选举在理论上是逻辑不自洽的，但我们完全可以找到相对来说足够公正的制度来替代。作为一种人人平等、人人有尊严的价值观，完全的公平公正仍然是人类的理想和努力的方向。自由、真理、至善，是人类价值观的产物，尽管在现实中不存在，但却是人类从童年就开始追求和向往的美好理想。