維基百科，自由的百科全書 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98%E6%9C%80%E4%BC%98  Example of Pareto frontier, given that lower values are preferred to higher values. Point C is not on the Pareto Frontier because it is dominated by both point A and point B.
帕雷托最優（英語：Pareto optimality），或帕雷托最適，也稱為帕雷托效率（英語：Pareto efficiency），是經濟學中的重要概念，並且在博弈論、工程學和社會科學中有着廣泛的應用。與其密切相關的另一個概念是帕雷托改善。 帕雷托最優是指資源分配的一種理想狀態。給定固有的一群人和可分配的資源，如果從一種分配狀態到另一種狀態的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個人變得更好，這就是帕雷托改善。帕雷托最優的狀態就是不可能再有更多的帕雷托改善的狀態；換句話說，不可能再改善某些人的境況，而不使任何其他人受損。 需要指出的是，帕雷托最優只是各種理想態標準中的“最低標準”。也就是說，一種狀態如果尚未達到帕雷托最優，那麼它一定是不理想的，因為還存在改進的餘地，可以在不損害任何人的前提下使某一些人的福利得到提高。但是一種達到了帕雷托最優的狀態並不一定真的很“理想”。比如說，假設一個社會裡只有一個百萬富翁和一個快餓死的乞丐，如果這個百萬富翁拿出自己財富的萬分之一，就可以使後者免於死亡。但是因為這樣無償的財富轉移損害了富翁的福利（假設這個乞丐沒有什麼可以用於回報富翁的資源或服務），所以進行這種財富轉移並不是帕雷托改進，而這個只有一個百萬富翁和一個餓死乞丐的社會可以被認為是帕雷托最優的。（這裡可以與古典功利主義的標準做一比較。按功利主義的標準，理想的狀態是使人們的福利的總和最大化的狀態。如果一個富翁損失很少的福利，卻能夠極大地增加乞丐的福利，使其免於死亡，那麼社會的福利總和就增加了，所以從功利主義的角度看，這樣的財富轉移是一種改善，而最初的極端不平等狀態則是不理想的，因為它的福利總和較低。可以看到，帕雷托改進要求在提高某些人福利的時候不能減少任何一個人的福利，而功利主義則允許為了提高福利總和而減少一些人的福利。） 經濟學理論認為，如果市場是完備的和充分競爭的，市場交換的結果一定是帕雷托最優的，並且會同時滿足以下3個條件： 交換最優：即使再交易，個人也不能從中得到更大的利益。此時對任意兩個消費者，任意兩種商品的邊際替代率是相同的，且兩個消費者的效用同時得到最大化。 生產最優：這個經濟體必須在自己的生產可能性邊界上。此時對任意兩個生產不同產品的生產者，需要投入的兩種生產要素的邊際技術替代率（MRTS）是相同的，且兩個生產者的產量同時得到最大化。 產品混合最優：經濟體產出產品的組合必須反映消費者的偏好。此時任意兩種商品之間的邊際替代率必須與任何生產者在這兩種商品之間的邊際產品轉換率（MRT）相同。
如果一個經濟體不是帕雷托最優，則存在一些人可以在不使其他人的境況變壞的情況下使自己的境況變好的情形。普遍認為這樣低效的產出的情況是需要避免的，因此帕雷托最優是評價一個經濟體和政治方針的非常重要的標準。 但是，如同上面指出的，一個帕雷托最優的經濟系統只是在“最低”的意義上是“理想”的，並不能保證其中沒有貧困或嚴重的貧富差距。 帕雷托最優是以提出這個概念的意大利經濟學家帕雷托的名字命名的，帕雷托在他關於經濟效率和收入分配的研究中使用了這個概念。 另外，著名的帕雷托法則，則是由約瑟夫•朱蘭根據維弗雷多•帕雷托本人當年對意大利20%的人口擁有80%的財產的觀察而得推論出來的。 參考文獻[編輯]
納什均衡點[編輯]維基百科，自由的百科全書 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%8D%E4%BB%80%E5%9D%87%E8%A1%A1%E9%BB%9E 納什平衡（英語：Nash equilibrium），又稱為非合作賽局平衡，是在非合作賽局（Non-cooperative game）狀況下的一個概念解，在博弈論中有重要地位，以約翰·納什命名。 如果某情況下無一參與者可以通過獨自行動而增加收益，則此策略組合被稱為納什均衡點[1]。
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其經典的例子就是囚徒困境。囚徒困境是一個非零和博弈。大意是：一個案子的兩個嫌疑犯被分開審訊，警官分別告訴兩個囚犯，如果你招供，而對方不招供，則你將被立即釋放，而對方將被判刑10年；如果兩人均招供，將均被判刑2年。如果兩人均不招供，將最有利，只被判刑半年。於是兩人同時陷入招供還是不招供的兩難處境。但兩人無法溝通，於是從各自的利益角度出發，都依據各自的理性而選擇了招供，這種情況就稱為納什均衡點。這時個體的理性利益選擇是與整體的理性利益選擇不一致的。 | 囚犯的博弈矩陣 | 囚犯甲 |
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| 招供 | 不招供 |
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| 囚犯乙 | 招供 | 各判刑2年 | 甲判刑10年，乙立即釋放 |
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| 不招供 | 甲立即釋放，乙判刑10年 | 各判刑半年 |
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基於經濟學中“理性經濟人”的前提假設，兩個囚犯符合自己利益的選擇是坦白招供，原本對雙方都有利的策略不招供從而均被判刑半年就不會出現。事實上，這樣兩人都選擇坦白的策略以及因此被判兩年的結局被稱作是“納什均衡”（也叫非合作均衡），換言之，在此情況下，無一參與者可以「獨自行動」（即單方面改變決定）而增加收穫。 學術爭議和批評[編輯] | 本條目中立性有爭議。內容、語調可能帶有明顯的個人觀點或地方色彩。（2007年10月23日）
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第一，納什的關於非合作博弈論的平衡不動點解（equilibrium/fixpoint）學術證明是非構造性的（non-constructive），就是說納什用角谷靜夫不動點定理證明了平衡不動點解是存在的，但卻不能指出以什麼構造算法如何去達到這個平衡不動點解。這種非構造性的發現對現實生活里的博弈的作用是有限的，即使知道平衡不動點解存在，在很多情況下卻找不到，因此仍不能解決問題。[來源請求] 第二，納什的非合作博弈論模型僅僅是突破了博弈論中的一個局限。一個更大的局限是，博弈論面對的往往是由幾十億節點的龐大對象構成的社會、經濟等複雜行為，但馮·諾伊曼和納什的研究是針對兩三個節點的小規模博弈論（有人稱之為tiny-scale toy case）。[來源請求] 這個假設的不完善處，可能比假設大家都是合作的更嚴重。因為在經濟學里，一個龐大社會裡的人極不可能全部都是合作的，非合作的情況通常在龐大對象的情形中更普遍，而在兩三個節點的小規模經濟中倒反而影響較小。既然改了合作前提為非合作前提，卻仍然停留在兩三個節點的小規模博弈論中，這是一個不可忽視的缺陷。MIT的一位計算機科學博士生的博士論文[2]——獲得2008年度美國計算機協會學位論文獎——認為經濟學家的推測是錯誤的，找到納什均衡點是幾乎不可能的事。 目前擔任MIT電機工程和計算機科學系助理教授的Constantinos Daskalakis與 UC伯克利的Christos Papadimitriou、英國利物浦大學的Paul Goldberg合作，證明對某些博弈來說，窮全世界所有計算機之力，在整個宇宙壽命的時間內也計算不出納什均衡點。Daskalakis相信，計算機找不到，人類也不可能找到。納什均衡屬於NP問題，Daskalakis證明它屬於NP問題的一個子集，不是通常認為的NP-完全問題，而是PPAD-完全問題。這項研究成果被一些計算機科學家認為是十年來博弈論領域的最大進展。 不過在同一篇論文裡，Daskalakis也指出，在參與者匿名的情況下，則僅需多項式時間即可逼近納什均衡。 相關鏈接[編輯]^ 若 {displaystyle p_{i}(s)=max_{r_{i}}[p_{i}(s;r_{i})]}![p_{i}(s)=max_{{r_{i}}}[p_{i}(s;r_{i})]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f8d942980ef3b48cee62ee1cbb07bd008bad61) ， ，則納什稱 s 為平衡點(Equilibrium point)。----其中 {displaystyle p_{i}} 為參與者 i 的收穫(payoff)，{displaystyle s_{i}} 代表所有參與者之策略，{displaystyle r_{i}} 代表參與者 i 的 一種可能策略，{displaystyle (s;r_{i})} 指參與者 i 單方面改變策 略成 {displaystyle r_{i}}。 --- P.287, Annals of Mathematics 1951 ^ Constantinos Daskalakis, The Complexity of Nash Equilibria
《Non-Cooperative Games》,約翰 · 納什 , The Annals of Mathematics 1951 外部鏈接[編輯]分類：
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