趣味的数学-51【方幂和与组合数】

用组合数C(m,n)的线性形式（即用加法或减法连接两个或多个的组合数C(m,n)），来表示以下连续的正整数的方幂之和：

例如：

1+2+...+n=(n/2)*(n+1)

可表示为 C(n+1, 2)。

【请勿出现组合数的方幂，例如 [C(m,n)]^k 的形式。】

1】

1+4+9+...+n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2

2】

1+8+27+...+n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3

3】

1+16+81+...+n^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 +...+ n^4

【提示：

利用二次项系数/组合数中的一些恒等式进行恒等变形，例如Pascal's identity等，以及二次项系数/组合数的定义和性质。】