趣味的數學-51【方冪和與組合數】

用組合數C(m,n)的線性形式（即用加法或減法連接兩個或多個的組合數C(m,n)），來表示以下連續的正整數的方冪之和：

例如：

1+2+...+n=(n/2)*(n+1)

可表示為 C(n+1, 2)。

【請勿出現組合數的方冪，例如 [C(m,n)]^k 的形式。】

1】

1+4+9+...+n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2

2】

1+8+27+...+n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3

3】

1+16+81+...+n^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 +...+ n^4

【提示：

利用二次項係數/組合數中的一些恆等式進行恆等變形，例如Pascal's identity等，以及二次項係數/組合數的定義和性質。】