D.引力河模型

讓我們從抽象的場方程回到身邊的時空扭曲現象。在“墜落油漆匠”白日夢中，空間本身像瀑布一樣以加速度g流入地面，本節進一步挖掘其中意義。愛因斯坦曾把空間想象成為由一個個空間點構成，接近地面的空間點類似自由下落的物體微粒。它們如同遵循牛頓萬有引力定律，所以加速度是g。雖然廣義相對論早已取代萬有引力定律，但二者在大多數情況下等效。通過研究物體微粒在萬有引力作用下的行為，我們可以藉助等效關係，直觀理解廣義相對論里的時空扭曲。

在地球周邊，其他天體的引力遠比地球的弱，可以忽略不計。我們專注這塊區域，假想它就是全部宇宙，其中只有地球位於中央。在這個“宇宙”的邊緣，造物主不斷在各處投放粉塵，即質量密度極低的物體微粒。不難理解，因為與地球遙遠，宇宙邊緣的粉塵雖受到引力、但極微弱，所以幾乎靜止，同時有極小的加速度，指向地心。它們極緩慢地向地球移動，但隨距離拉近，受到的引力變大、加速度變大，積累的速度也變高。從地球上看，四面八方的微粒都朝自己撲來，在足夠長時間後，來自最遠處的微粒到達地球，並且前赴後繼，最後宇宙達到動態平衡。根據萬有引力定律，我們可以計算出平衡後微粒加速度a(x)和速度v(x)與離地心距離(x)的關係：

其中M是地球質量，G是萬有引力常數，v(x)是a(x)的積分。當x=+∞時，v(x)的初始值為0。一個關鍵點，v(x)與a(x)都與微粒自身質量無關，只隨距離x改變。根據以上廣義相對論與萬有引力定律的等效性，v(x)與a(x)也是空間點流向地心的速度與加速度，這就是廣義相對論中著名的“引力河模型”(The river model)。

圖30. 引力河模型。左為全局圖景，空間總體彎曲、呈同心球面狀；右為地表局部圖景，在小範圍內空間平坦。

時空扭曲幾乎總讓普通人感到難以理解，但引力河模型既精確又直觀，所以廣受歡迎。細緻地說，它描述3D空間如何在1D時間裡變化，並非4D時空本身如何扭曲。在上圖中，地球造成周圍空間扭曲，但地面觀察者身邊的局部空間卻平坦。這反映廣義相對論基礎之一，即愛因斯坦等效原理(Einstein Equivalence Principle，縮寫EEP)。無論時空如何扭曲，任一局部總是平坦的。另外，中學物理中講過，以上v(x)表達式其實就是衛星逃逸速度公式、或稱“第二宇宙速度”。如達到這個速度，衛星恰好掙脫地球引力、飛向深太空。為幫大家回憶，最慢的穩定衛星沿圓形軌道運行，其速度被稱為“第一宇宙速度”。介於第一和第二宇宙速度之間時，衛星沿橢圓形軌道繞地飛行。

圖31. 引力河更像湖水泄洞。早有人發現“引力河模型”名稱不貼切。空間流入地面更像在平靜的湖水底部打個洞，然後湖水不斷泄入；距離洞口越近，水流速越快，離洞口遙遠的水幾乎不動。這與天體周圍空間流入天體狀況神似。但將空間看成流水也有局限。在真實水流中，水依靠摩擦力帶動漂浮物，而摩擦力受二者之間相對速度決定。但根據牛頓力學第一定律，物體在空間“河流”中只有慣性，沒有與空間之間的摩擦力。

回顧中學時期學習萬有引力定律，我們先計算每樣物體受到的重力，再根據牛頓第二定律計算出其自由下落加速度，然後“驚奇”地發現所有物體的加速度都一樣。牛頓物理認為這本質上是巧合，但早有人懷疑其背後隱藏未知的物理原理【3】。廣義相對論就是這個原理。地球並不產生引力，只改變周圍時空，時空中自由物體依據慣性運動，慣性要求物體與所處空間保持恆定速度。引力河模型更具體形象。地球附近空間流向地心，其中自由物體與之保持恆定相對速度。空間以加速度g下落，自由落體必須也以加速度g下落，二者之間相對速度才可能恆定。g是空間性質，與物體無關。

E.引力時間膨脹

在狹義相對論中，速度造成時間膨脹；在廣義相對論中，海拔高度也造成時間膨脹，比如山頂的鐘比山腳的鐘走得快。1959年，一對哈佛大學師生在實驗中測試出樓頂與樓底之間存在時間差別，那幢樓只有23米高，造成轟動。現代技術更誇張，可以測出一毫米海拔高度差造成的時間區別。經典物理和狹義相對論都無法解釋這種現象，只有廣義相對論可以。本節藉助引力河模型直觀說明。

圖32. 引力時間膨脹。左為思想試驗設置，觀察者處於太空深處、地球引力場之外(x = +∞)。地面與地心距離x₁ = 地球半徑，衛星與地心距離x₂ > x₁。右為哈佛大學物理實驗樓，1959年的著名實驗(Pound-Rebka experiment)就發生在它的最右邊部分，結果發現一樓與頂樓之間存在引力時間膨脹。

首先不考慮衛星飛行速度或地球自轉速度，觀察者處於深太空，回頭看地面、衛星上、和身邊鐘錶，發現它們不同步。由於引力河效應，空間不斷垂直流入地面，在不同高度上(以與地心的距離 x 表示)具有不同的下落速度。圖中各個鐘錶都與地球保持相對靜止，因此相對於所在位置的“空間河流”，它們的相對速度就是空間下落速度，即(Exp.28)中的v(x)。這個相對速度引發狹義相對論中的速度時間膨脹，膨脹因子就是洛倫茲因子，根據(Exp.2)：

其中t(x)是距離地心x處的時間；t(∞)是太空深處時間，不受引力場影響；v(x)是逃逸速度(第二宇宙速度)。造成不同高度之間時間膨脹的根本原因是地球引力場，所以這是“引力時間膨脹”。因為γ(x)是減函數，且衛星比地面距離地心更遠，所以引力時間膨脹使得衛星上的時間相對於地面變快。

如果計入衛星的軌道運動和地球自轉，還會產生狹義相對論中的速度時間膨脹。通常衛星速度遠高於地面的自轉速度，因此這一效應使衛星上的時間相對於地面變慢。可見，引力時間膨脹和速度時間膨脹對衛星上時間產生方向相反的影響。宇航科技中有一個廣為人知的結論，當衛星在離地高度3185km(略低於地球半徑的一半)的圓形軌道上穩定飛行時，兩種時間膨脹效應正好抵消，衛星上的時間與地面同步。

F.引力波

毫無疑問，牛頓萬有引力定律比廣義相對論簡單易懂得多。在經典科學時代，簡單科學理論大行其道，著名例子還包括關於靜電力的庫侖定律。受數學發展水平限制，如相對論那樣複雜的理論在當時不可能。但這些簡單實用的物理定律隱含物與物之間瞬時隔空作用，讓虔誠的基督徒科學家們內心不安。法拉第和麥克斯韋爾首先突破。前者注重實驗，開啟學術大方向；後者強於理論，採用偏微分方程成功改造電磁學，將瞬時電磁作用局限於本地，將隔空電磁作用轉化為電磁波、速度有限，以此讓所有電磁作用變得連續，既符合主流基督教神學精神、又經受住科學實驗驗證。幾百年來中國學界完全不能理解基督教信仰是現代科學背後的主要推動力、基督教神學為科學發展指明大方向。面對直截了當的事實，中國學者們視而不見。在1865年麥克斯韋爾發表其劃時代文章之前，人類並不知道光是電磁波，也沒有科學實驗表明電磁作用都是波，更沒有勞動人民在生產實踐中發現這點。法拉第和麥克斯韋爾在信仰推動下、以神學為指導思想，才創立了現代電磁學。

麥克斯韋爾也注意到萬有引力是瞬時隔空作用，為此不安、但無力解決。他找出牛頓親筆信，並公之於眾，警告世人萬有引力的發明者從一開始就不相信瞬時隔空作用。愛因斯坦敬佩麥克斯韋爾，從後者手裡接過新科學革命的火炬，在狹義相對論里宣布光速最快，隱含引力不可能瞬時隔空作用。他創立廣義相對論的最急迫原因就是解決萬有引力問題，具體方法照搬麥克斯韋爾電磁學，採用偏微分方程組，將時空與物質之間的瞬時作用都局限於每個時空點附近極小區域裡，將所有遠距離作用都轉化為無數本地瞬時作用串聯而成，也就是“引力波”。本節模仿從麥克斯韋爾方程組推導出電磁波方程的過程，也選擇在真空、和1維空間情況下，基於場方程推導引力波方程。目的是幫讀者看透複雜理論背後的思想本質，不追求絕對的嚴謹全面。

改寫(Exp.25)場方程，定義：

真空中時空平坦，就是閔氏時空，但必須允許波在其中轉遞，所以設置：

其中η_μν為閔氏張量，代表平坦的背景時空；h_μν代表背景時空的微小擾動。這種設置叫作“微擾法”，在數學裡歷史悠久。麥克斯韋爾電磁學本身就是線性的，並完全基於微量變化，因此很容易推導出電磁波方程。愛因斯坦在1916 年推導引力波方程，利用微擾法將非線性場方程轉化成線性，然後模仿麥克斯韋爾完成任務。微擾法很簡單，看似不起眼的數學小技巧，但愛因斯坦把它直接用在時空本身，哲學意義深刻，代表引力波是時空自己波動、不是任何物體在時空中波動，體現廣義相對論的革命性觀念：時空直接參與物理過程、不再只是物理過程的舞台或背景。

繼續簡化。真空中沒有物質，能動張量T_μν近似為0。物理界實測表明，宇宙常數Λ數值非常小，可以忽略不計。於是場方程變成：

根據(Exp.6)，這正是沿x方向傳播、速度為c的波函數方程。所以引力波在真空中的速度就是光速。廣義相對論場方程乍看起來非常複雜，卻可輕易簡化成標準的波函數，為什麼這麼巧？其實這是人為預設的結果。將引力轉化成引力波，是廣義相對論的核心目的之一。場方程里的複雜數學細節都次要，只為這樣的根本目的服務。如果當前場方程形式(Exp.25)不能推導出引力波方程，愛因斯坦就會放棄它、另選一個。另外，引力波速度為光速c，也是預設好的。洛倫茲因子選擇c作為速度的分母，造成愛因斯坦宣布c是宇宙最高速度，然後閔可夫斯基選擇用c將時間t轉化成新維度ct，以距離單位為標尺，才可能與原有三個空間維度並列，共同構成閔氏時空。廣義相對論採用洛氏時空，也採用閔氏4維坐標，繼承了新維度ct。在以上引力波等式中，波速之所以是c，數學上就是因為ct與x相對應。在任何科學公式里，數學細節只是表象，核心結論往往是科學家們人為預設好的。科學公式是否反映真相，歸根結底在於那些人為預設是否反映真相。