A. 宇宙学基本假设

宇宙是否永恒，就看其关键参数是否恒常。唯物论最重视物质，所以我们用宇宙中物质总量作例子。假如它并非无限、且存在平均损耗，哪怕数值极小，经过足够长时间，宇宙也会失去所有物质；反过来，假如物质总量存在平均增益，无论数值多微小，沿时间反推，也会发现物质有个从无到有的起点。无论哪种情况，物质都不永恒、不可能作为“存在”的基础，唯物论也就站不住脚了。这就是为什么中学政治课里讲马克思唯物主义，总要强调能量守恒；古希腊原子论强调原子永恒、运动守恒等。在这点上唯心论也类似。基督教强调神永恒不变、柏拉图认为真善美义永恒不变等。人直觉地理解这点， 比如中文词“永恒”中的“永”指时间上无限 ，“恒”指某种东西不变，按现代语言就是某些参数恒常。在根本意义上，时间上无限与某些关键参数恒常互为因果，本质是一回事。

弗里德曼基于广义相对论，为当代宇宙学打下最初的数学基础。他提出两个关键假设：

1.  宇宙各处同质、或称“均匀性”(homogeneity)，

2.  宇宙在所有方向上同性(isotropy)。

这两点蕴含观察者无论在何处、朝何方向，都体验到一样的宇宙。很多人立刻觉得第二个假设多余、各处同质应该包含在所有方向上同性，其实不然。比如在一个无限长的圆柱面上，每一点都与其他点一样、无法区分，所以各处同质。但想象你站在圆柱面上，如沿圆柱长度方向走，永无止境；如旋转90度、沿圆周长方向走，不久后就回到起点，所以各方向不同性。圆柱面是2维，容易理解；3维或更高维空间也可能出现类似情况，人却很难直观理解，只能依靠类比和数学。

还有人会觉得这对假设不合理，因为迥异于自身经验。我们居于地球，白天面向太阳、晚上背对太阳，两个方向怎么可能一样？再想想银河系照片，亿万颗星星分布呈盘状，圆盘上方和下方却几乎是空的，宇宙怎么可能各处同质？问题在于视角。微观视角与宏观视角看宇宙非常不同。以房间里空气作类比。从微观角度看，假想你居于原子内部，看到每个电子轨道不同，原子内大部分是真空；空气分子由原子组成，房间里存在各种分子，每种包含的原子都不同；而且每个分子横冲直撞，都按本身的动力学轨道飞行。所以不存在各处同质或各方向同性。但从宏观角度看，在研究房间内温度、压力等时，我们完全可以假设空气均匀分布于房间各处，并且每处的空气压力在所有方向上一致。类似地，宇宙远远大于个人、太阳系、或银河系。研究宇宙整体性质，需要从最宏观层次看问题，这两个假设就变得合理了。

图37.弗里德曼和宇宙学里常用的球面坐标系。左，弗里德曼(Alexander Friedmann 1888-1925)，跨越沙俄晚期和苏联早期的著名数学家和物理学家，犹太血统，但祖辈皈依东正教，曾在第一次世界大战期间参加沙俄军队。右，对比球面坐标系与笛卡尔坐标系。与大家熟悉的笛卡尔坐标系一样，球面坐标系也是正交坐标系，类似地图上的经纬系统，用(r, θ, φ)替代(x, y, z) 标识每一点，其中θ类似维度、φ类似经度。

在场方程中，度规张量g_μν代表时空。在解释(Exp.26）时，我们曾介绍，g_μν由4维微分距离ds²表达式中的系数堆砌而成。所以在广义相对论中研究宇宙时空，其实就是研究其度规张量g_μν，也就是研究ds²表达式。作为基础知识，在球面坐标系中，平坦时空的ds²表达式为：

从原点沿+dr与-dr各射出一道同样的光，由于中间项2g₀₁dtdr不为0，它们经历的时空几何(ds²,dt)将不同，违反各向同性。

为什么T_μν非对角线元素都是0？不失一般性，假设在某时空点上T₀₁ > 0，代表能量通量为正，它是个净能量放射源，违反各处均匀。宇宙中每一点都可能放射能量，但因为各处均匀，其他点也必须放射能量，最后每个点放射与接受的能量必须一样，所以不可能存在净能量放射源。再假设T₁₂ > 0，代表两个坐标轴方向上的动量流动互相影响、并且关系不对称。如果旋转坐标系，这种状态在新坐标系里不可能保持，违反各向同性。

总之，在各处均匀与各向同性假设下，经过多人连续努力，物理学终于获得允许宇宙膨胀与收缩的4D时空距离表达式：

这就是著名的“FLRW度规”，是现代宇宙学的基础等式。其中F代表弗里德曼，L代表勒梅特，后两个字母是罗伯逊与沃尔克。它将看似复杂的宇宙膨胀与收缩问题归结为一个非常简单的时间函数a(t)，名为“膨胀因子”。宇宙膨胀或收缩发生在每个空间点上。因为各处均匀与各向同性，在宇宙各处、各个方向上，膨胀或收缩程度都一样，所以我们才可能用一个标量a(t)代表。a(t)只随时间变化。

图38. 宇宙空间如何膨胀。宇宙膨胀是每处局部空间在时间维度里的扩张，所以可以用单一标量时间函数a(t)代表。本图以2维扩张表意3维宇宙膨胀。图中网格线不代表任何物理隔膜，只在概念上将空间均匀分割成小区域，然后示意每个小区域的大小与相对位置。其中P点相对于膨胀中的空间背景静止，它的固有参照系叫作“共动参照系”(comoving frame)。当代宇宙学中很多结论都针对共动参照系，比如宇宙寿命约134亿年。牛顿时空里存在优选参考系(prefered frame)，狭义相对论里没有，广义相对论介于二者之间，其共动参照系就是一种优选参考系。

FLRW度规里的k是常数，只可取值0、+1、或-1，代表宇宙空间的3种可能几何状态。

·       k = 0代表平坦空间，就是常规欧几里得空间。

·       k = +1代表正曲率的3D球面，既不是生活中的实心球体、也不是球体表面，后者是2D球面。3D球面是2D球面的数学推广，超出一般人直觉。地球仪就是个2D球面，其上一只蚂蚁朝一个方向不断爬行，最后将回到出发点；两只蚂蚁都从赤道开始，朝正北方向爬行，它们道路最初平行，但最后在北极相遇。类似地，在3D球面中，如果火箭朝一个方向不停地飞，最后将回到原地(“封闭宇宙”)；两条局部平行线也会在遥远处相交。正曲率宇宙中不存在全局平行线。

·       k = -1代表负曲率的3D双曲空间，是2D双曲面的数学推广。在这类宇宙中，三角形内角和小于180度。如果火箭朝一个方向不停飞，永远回不到原点(“开放宇宙”)。

爱因斯坦等人早知道宇宙空间可能平坦或封闭(k=0或+1)，弗里德曼在1924年首次提出宇宙也可能是开放的(k=-1)。

图39. 利用2D空间，类比理解3D宇宙。在封闭宇宙中，三角形内角和大于180度，局部平行线必相交。在开放宇宙中，三角形内角和小于180度，局部平行线不相交。在曲面上的平行线都只是局部平行，并且都必须是地测线。

依据FLRW度规，场方程中的g_μν和T_μν被进一步简化：

其中ρ(t)是宇宙平均质量密度，(t) 是宇宙平均压力密度，是个矢量，所以占据3个维度 ，p(t)是它的标量值。各处均匀与各向同性造成ρ(t)和p(t)只随时间变化，不随空间变化，在宇宙各处、各方向上都一样。