趣味的数学 - 13【数字模式】

1】观察以下各式

3^2 + 4^2 = 5^2;

5^2 + 12^2 = 13^2;

7^2 + 24^2 = 25^2;

9^2 + 40^2 = 41^2.

根据这些例子，确定其一般的规律，并加以证明。

【以上这些3元数组(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)和(9,40,41)即是所谓的“勾股弦数组”。】

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第4题。】

2】观察以下各式

1^2 = (1x2x3)/6;

1^2 + 3^2 = (3x4x5)/6;

1^2 + 3^2 + 5^2= (5x6x7)/6;

根据这些例子，确定其一般的规律，并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第41题。】

3】观察以下各式

1/1 + 1/3 = 4/3，4^2 + 3^2 = 5^2;

1/3 + 1/5 = 8/15，8^2 + 15^2 = 17^2;

1/5 + 1/7 = 12/35，12^2 + 35^2 = 37^2.

根据这些例子，确定其一般的规律，并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第98题。】

4】设

a(1) = 2^2 + 3^2 + 6^2;

a(2) = 3^2 + 4^2 + 12^2;

a(3) = 4^2 + 5^2 + 20^2;

...。

给出以上等式的一般形式，并使得a(n)总是一个完全平方数。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第226题。】

5】观察以下各式

1^2 = 1;

2 + 3 + 4 = 3^2;

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5^2;

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 7^2.

根据这些例子，确定其一般的规律，并加以证明。

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第310题。】