ChatGPT-5真不错！

在我的gmail 邮箱里，躺着来自 ChatGPT-5 的一封电邮，里面让我试试它的效果。

这几天我正在阅读数学季刊《Fibonacci Quarterly》杂志网站的内容，

对里面的一些问答题产生兴趣，产生的一些问题上网一时找不到答案。就把问题丢给了GPT-5。

发现ChatGPT比前几年大有进步，回答问题又快又准确。显然，士别三日，就要刮目相看啦！

我问了关于 “兔子数（Fibonacci number/斐波那契数）”的几个问题。虽然谈不上深奥，但也并非是常见的数学问题。

1】

“Fibonacci 数中，只有形如4k+1的素数因数，没有形如4k+3的素数因数.。其中k=0,1,2,...”

ChatGPT 马上给出了几个反例：

记F(n)为第n个Fibonacci 数，则F(8)=21=3x7，7就是4k+3类型的素数；F(16)=987=7x141，里面也有7这个4k+3类型的素数。

其实，这个问题应该是：

"Fibonacci 数中，当n是大于等于5的奇数时，F(n)只有形如4k+1的素数因数，没有形如4k+3的素数因数。"

2】

《Fibonacci Quarterly》中有一道题：

证明：nL(n)- F(n)总能被5整除，n是正整数。其中，L(n)是第n个Lucas 数，参见：

https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number

Lucas 数与Fibonacci 数有类似的性质，两者经常在一起混的。

这道题似乎可以用数学归纳法证明。其实不然：因为里面的L(n)和F(n)都各有两项：

L(n) = L(n-1)+L(n-2)，L(0) = 2, L(1) = 1；

F(n) = F(n-1)+F(n-2)，F(0) = 0 , F(1) = 1.

更重要的是：还有一个nL(n)中的倍数n掺和在里面。

也就是说，要考虑的基础条件不像一般的用数学归纳法证明的题目，仅仅证明 n=0或n=1时的情况就可以了。

解题者的思路，是令 Y(n) = nL(n)- F(n)这个包括两个数列的递推关系公式中：

L(n) = L(n-1)+L(n-2)，F(n) = F(n-1)+F(n-2)

找出一个特征方程（characteristic equation），然后再用数学归纳法证明这个特征方程可被5整除。

我被卡住的地方就在于：

这个特征方程看上去应该是 x^2 - x - 1，因为Lucas 数列与Fibonacci 数列的特征方程都是x^2 - x - 1；但是解题者给出的特征方程却是 (x^2 - x - 1)^2.

由于 x^2 - x - 1 确实不能证明原命题，而 (x^2 - x - 1)^2 确实可以证明原命题，这说明 (x^2 - x - 1)^2 就是所求的特征方程。

但是，为什么是它？

带着这个问题询问ChatGPT，给出的答案出乎意料：特征方程 (x^2 - x - 1)^2 与那个nL(n) 中前面的倍数 n 有关。ChatGPT 并给出了详细的证明。

所以，今后有什么问题就可以直接上网去问无所不能、百问不厌的好老师 - ChatGPT.5了！