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趣味的数学-90 2019-09-21 08:07:38

趣味的数学-90


被称为“三角形数【triangular numbers】”是这样的一类数:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...。

所以以“三角形数”命名这类数,是因为这些数可以排列成三角形:


三角形数.png


若把第n个三角形数表示为T(n),则可知

T(n) = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2


三角形数有以下一些性质:

1】既是三角形数且又是完全平方数的,有无穷多个。

2】两个连续三角形数的平方差,必是一个完全立方数。

3】连续的三角形数的倒数之和的极限是2。

请证明之。


参见:

https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E6%95%B8











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趣味的数学-89 2019-09-20 23:14:01

趣味的数学-89


Arthur和Robert都是历史博物馆的管理员。两人各管理着1座古董钟。考虑到古董钟的年龄,可以说它们都运转良好,只是其中一座古董钟每小时会慢上10秒钟,另一座古董钟则每小时会快上10秒钟。


1月的某天,两人把两座古董钟都设置在正午12点。Arthur对Robert说:“当你47岁的那天,它们才会重新走得一样。我说对了吗?”Robert做了简短的计算后,说:“对!”。


Arthur和Robert的生日都在5月。一位出生于1932年,另一位出生于1年之后。


问:Arthur和Robert哪个大?


【引自Raymond M. Smullyan【1919-2017】的著作】







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趣味的数学-88 2019-09-20 21:31:39

趣味的数学-88


一个学生做算术练习,把一本书的每个页码连着加起来,得到的总数是1986。但是在加的过程中,由于疏忽,有一页的页码被加了两遍。问是哪一页?








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趣味的数学-87 2019-09-19 07:53:17

趣味的数学-87


有多少个这样的九位数,在形成它的数字串【blocks】中,某个数字最多可以连续2次【称为doublets,例如xx22xxxxx】【但是同个数字的doublets可以在这样的九位数中出现多次,例如x22xx22xx,或22x22x22x】。

【注:0可以出现在这种九位数的第一位,当然也只能最多连续2次。】


【Crux Mathematicorum, 1983, problem 87】






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趣味的数学-86 2019-09-18 17:28:18

趣味的数学-86


若n为正整数,则

(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)

必然能被2^n【即2的n次幂】整除。


【Spanish Olympiad, 1st round, 1985】






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