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趣味的数学-52 2019-04-20 17:13:35

趣味的数学-52


证明:

C(m, m) + C(m+1, m) + C(m+2, m) +...+ C(M+n-1, m) = C(m+n, m+1),

m和n都是正整数。


【提示:

利用二次项系数/组合数中常用的强有力的Pascal's identity。】





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趣味的数学-51【方幂和与组合数】 2019-04-19 20:48:07

趣味的数学-51【方幂和与组合数】


用组合数C(m,n)的线性形式(即用加法或减法连接两个或多个的组合数C(m,n)),来表示以下连续的正整数的方幂之和:


例如:

1+2+...+n=(n/2)*(n+1)

可表示为 C(n+1, 2)。


【请勿出现组合数的方幂,例如 [C(m,n)]^k 的形式。】


1】

1+4+9+...+n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2


2】

1+8+27+...+n^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3


3】

1+16+81+...+n^4 = 1^4 + 2^4 + 3^4 +...+ n^4


【提示:

利用二次项系数/组合数中的一些恒等式进行恒等变形,例如Pascal's identity等,以及二次项系数/组合数的定义和性质。】










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趣味的数学-50 2019-04-18 12:16:47

趣味的数学-50


数学史上的4位领军人物之一欧拉【注】提出的著名公式“欧拉恒等式(Euler's identity)”,被誉为“最漂亮的数学公式”



1Euler-Identity.png


这个恒等式把数学常见的常数

自然对数的底数 e、圆周率 π、复数单位 i【-1的平方根】、0 和 1 组合在一个公式里。


从这个恒等式出发,求:i^i【即 i 的 i 次方】


【注】

数学史上其他3位领军人物是:欧几里得、高斯和牛顿。









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趣味的数学-49【平面几何】 2019-04-17 08:20:00

趣味的数学-49【平面几何】


一个圆内接四边形【inscribed quadrilateral】ABCD的四条边的边长分别是a,b,c,d。令s=(a+b+c+d)/2【即四边边长之和的一半】。

证明:

ABCD的面积 A = [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]^(1/2)【即(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)的乘积的平方根】


【注:

【1】这个定理是由印度数学家于公元7世纪发现的。

【2】显然,著名的计算三角形面积 A(3)的海伦【Heron】公式是这个定理的推论:当d=0时,即得海伦公式:A(3) = [s(s-a)(s-b)(s-c)]^(1/2)【即s(s-a)(s-b)(s-c)的乘积的平方根】。这里的A(3)是三角形的面积,a,b,c分别是三角形的三条边的边长,s=(a+b+c)/2(即三边边长之和的一半)。】


【引自 William Dunham 所著 The Mathematical University】






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趣味的数学-48 2019-04-14 08:35:02

趣味的数学-48


找出所有具有以下性质的4位正整数:

【1】它们都是偶数;

【2】它们的4位数字是由10个数字【0、1、2、...、9】中的不同的2个数字组成【显然它们的千位数不能是0】。


【原文】

Find the number of all even 4-digit positive integers composed of exactly 2 distinct digits.


【转引自Jiri Herman编著的Counting and Configurations: Problems in Combinatorics, Arithmetic, and Geometry】







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