这在三、四千年前是非常了不起的。

古印度Sulbasutras人(前800-前200) 给出了这样的表达式：

以上两种表达都是以分数形式出现的，这说明他们都没有认识到是无理数。

古希腊数学家毕达哥拉斯(公元前560年～公元前480年) 已经发现是无理数，但他不能接受这一事实，因为他一直认为所有数都可以表达为两个整数的比值（这仅限于有理数），而打破了他的原则，他就设法把这一发现保密起来，不让这个具有“逻辑矛盾”的丑闻泄漏出去。但有个叫希帕苏斯的却违背了誓言，Hippasus of Metapontum（500 B.C.）是毕达哥拉斯的一个门徒，据说因为他没守信诺言而被扔进了海里。所以西方普遍认为无理数是由希帕苏斯发现的，因为他为此付出了生命的代价。

中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》（约公元100）开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。

实际上，认识无理数是人类在哲学认识论上的突破，因为这是一类只能无限接近但永远无法直接表达的数，这为以后的极限概念的建立和微积分的产生奠定了基础。