這在三、四千年前是非常了不起的。

古印度Sulbasutras人(前800-前200) 給出了這樣的表達式：

以上兩種表達都是以分數形式出現的，這說明他們都沒有認識到是無理數。

古希臘數學家畢達哥拉斯(公元前560年～公元前480年) 已經發現是無理數，但他不能接受這一事實，因為他一直認為所有數都可以表達為兩個整數的比值（這僅限於有理數），而打破了他的原則，他就設法把這一發現保密起來，不讓這個具有“邏輯矛盾”的醜聞泄漏出去。但有個叫希帕蘇斯的卻違背了誓言，Hippasus of Metapontum（500 B.C.）是畢達哥拉斯的一個門徒，據說因為他沒守信諾言而被扔進了海里。所以西方普遍認為無理數是由希帕蘇斯發現的，因為他為此付出了生命的代價。

中國古代數學家在開方運算中接觸到了無理數。《九章算術》（約公元100）開方術中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”，《九章算術》的作者們給這種不盡根數起了一個專門名詞——“面”。“面”，就是無理數。與古希臘畢達哥拉斯學派發現正方形的對角線不是有理數時驚慌失措的表現相比，中國古代數學家卻是相對自然地接受了那些“開不盡”的無理數，這也許應歸功於他們早就習慣使用的十進位制，這種十進位制使他們能夠有效地計算“不盡根數”的近似值。為《九章算術》作注的三國時代數學家劉徽就在“開方術”注中明確提出了用十進制小數任意逼近不盡根數的方法，他稱之為“求微數法”，並指出在開方過程中，“其一退以十為步，其再退以百為步，退之彌下，其分彌細，則……雖有所棄之數，不足言之也”。

實際上，認識無理數是人類在哲學認識論上的突破，因為這是一類只能無限接近但永遠無法直接表達的數，這為以後的極限概念的建立和微積分的產生奠定了基礎。