從“五家共井”到Diophantus的墓銘志
— 中國與西方古代數學發展之比較（五）
在《九章算術》（約公元一世紀）中，有這麼一道“五家共井”方程題：五戶人家合用一口井。如果用甲家的繩二條，乙家的繩一條接長，從井口放下去，正好抵達水面；另外，或用乙家的繩三條，丙家的一條；或用丙家的繩四條，丁家的一條；或用戊家的繩六條，甲家的一條接長，也都能正好抵達水面。問井的深度及每家繩長各為多少？
古西臘數學家Diophantus of Alexandria（公元246年—330年）死後，他的墓碑上沒有生卒年月，卻刻上了一個代數方程以概括其一生：上帝賜與他一生的1/6 為幸福的童年；再過1/12，他臉頰長滿了鬍鬚；又一個1/7 後，他結婚了；5年後，他喜得貴子—Alas；可惜，Alas的壽命只是父親的一半；最後他以研究數學為精神支柱在悲傷中度過4年餘生。
要知Diophantus的壽命，只需一個簡單的一元一次方程就可以了，他終年84歲。但要解決井深和繩長的問題，需要立一個5元一次方程（設5個未知數分別為五家的井繩長）：
2x+y＝3y+z＝4z+w＝5w+u＝6u+x
由於原題並沒給出答案範圍及其特定條件，該方程有無窮多組解，當然，我們可以取其最小值的一組解作為答案。
我們稱“五家共井”方程為“不定方程”，因為它的多解性。在西方，Diophantus是最早研究“不定方程”的數學家，他被稱為“代數之父”，他所著《算術》是西方關於代數的一部最早的巨著，涉及代數數論的解析處理問題，代表了古希臘代數思想的最高成就，《算術》在歷史上的重要性可以和歐幾里得《幾何原本》相媲美.並被譽為“盛開的巴比倫代數的花朵”.
相隔1400年，約公元1637年，費馬（Pierre de Fermat法國人，公元1601—1665）在Diophantus的校注本《算術》第2卷第8命題“把一個平方數分為兩個平方數”（即a2+b2=c2,這是典型的不定方程)旁的空白處，寫了一段批語：“把一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或一般地，把一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的，關於這一點，我已發現了一種巧妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下”，但後人無論如何都找不到他的證法。
數學史上著名的費馬大定理（Fermat\'s Last Theorem）就是這樣產生的.費馬大定理提出三百多年來，其間最優秀的數學家都未能給出一般性的證明，直到1994年才被英國數學家懷爾斯給出了嚴格證明.
從《九章算術》的“五家共井”，Diophantus的墓銘志，到費馬的《算術》批註，直至1994年費馬大定理的解決，其間近2000年始終是圍繞“不定方程”問題，人類的科學技術也在數學研究的不斷發展中得到了極大的進步。 |
