从“五家共井”到Diophantus的墓铭志
— 中国与西方古代数学发展之比较（五）
在《九章算术》（约公元一世纪）中，有这么一道“五家共井”方程题：五户人家合用一口井。如果用甲家的绳二条，乙家的绳一条接长，从井口放下去，正好抵达水面；另外，或用乙家的绳三条，丙家的一条；或用丙家的绳四条，丁家的一条；或用戊家的绳六条，甲家的一条接长，也都能正好抵达水面。问井的深度及每家绳长各为多少？
古西腊数学家Diophantus of Alexandria（公元246年—330年）死后，他的墓碑上没有生卒年月，却刻上了一个代数方程以概括其一生：上帝赐与他一生的1/6 为幸福的童年；再过1/12，他脸颊长满了胡须；又一个1/7 后，他结婚了；5年后，他喜得贵子—Alas；可惜，Alas的寿命只是父亲的一半；最后他以研究数学为精神支柱在悲伤中度过4年余生。
要知Diophantus的寿命，只需一个简单的一元一次方程就可以了，他终年84岁。但要解决井深和绳长的问题，需要立一个5元一次方程（设5个未知数分别为五家的井绳长）：
2x+y＝3y+z＝4z+w＝5w+u＝6u+x
由于原题并没给出答案范围及其特定条件，该方程有无穷多组解，当然，我们可以取其最小值的一组解作为答案。
我们称“五家共井”方程为“不定方程”，因为它的多解性。在西方，Diophantus是最早研究“不定方程”的数学家，他被称为“代数之父”，他所著《算术》是西方关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就，《算术》在历史上的重要性可以和欧几里得《几何原本》相媲美.并被誉为“盛开的巴比伦代数的花朵”.
相隔1400年，约公元1637年，费马（Pierre de Fermat法国人，公元1601—1665）在Diophantus的校注本《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”（即a2+b2=c2,这是典型的不定方程)旁的空白处，写了一段批语：“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地，把一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的，关于这一点，我已发现了一种巧妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”，但后人无论如何都找不到他的证法。
数学史上著名的费马大定理（Fermat\'s Last Theorem）就是这样产生的.费马大定理提出三百多年来，其间最优秀的数学家都未能给出一般性的证明，直到1994年才被英国数学家怀尔斯给出了严格证明.
从《九章算术》的“五家共井”，Diophantus的墓铭志，到费马的《算术》批注，直至1994年费马大定理的解决，其间近2000年始终是围绕“不定方程”问题，人类的科学技术也在数学研究的不断发展中得到了极大的进步。 |
