【如果n趨向無窮大，“偶數次數的6”出現的概率卻並非趨向1/2】

確切地說，“偶數次數的6”出現的概率最終還是要趨向1/2，但是不像“奇數次數的6”出現的概率趨向1/2那麼快：因為有“不出現6”的那個因素在起作用。

隨着骰子的個數增多（即n趨向無窮大），顯然出現“6”的現象會越來越多，就是說，不出現“6”的比例會減少。

【對。我只想到“二項分布”時的“奇數次數6”和“偶數次數6”前面的係數有時是一樣的，但是沒有考慮到（1/6）與（5/6）的方冪還不是一樣的。】

－－－　跟您一樣。我也總是將“二項分布”與“二項式係數”搞混。二項式係數的分布是左右對稱的。但除ｐ＝０.５之外，二項分布是一種偏態分布。即不是對稱的。

【但是，如果n趨向無窮大，“偶數次數的6”出現的概率卻並非趨向1/2：因為有個C(n,0)的情況：即不出現“6”的情況。這種情況占的比例不少，此時的概率是(5/6)的n次冪。】

－－－　明白了，原來，“一個６也不出現”＝“出現了零個６”＝“出現了偶數個６.”容我再想想。謝謝

【不是。實際結果你可以看到，如果n趨向無窮大，這個“奇數次數6”的概率確實像你前面所說的，趨向1/2。】

－－－　你是對的。我突然想起了“伯努利二項分布”這回事兒。二項分布係數，總是中間占優。當偶數時，兩個中間值占優並相等。不過這個連習題還是蠻有意思的。

但是，如果n趨向無窮大，“偶數次數的6”出現的概率卻並非趨向1/2：因為有個C(n,0)的情況：即不出現“6”的情況。這種情況占的比例不少，此時的概率是(5/6)的n次冪。

【你我的說法似乎都有些問題。】

對。我只想到“二項分布”時的“奇數次數6”和“偶數次數6”前面的係數有時是一樣的，但是沒有考慮到（1/6）與（5/6）的方冪還不是一樣的。

現在的問題，就是要利用一些技巧，除去“偶數次數6”出現的概率

【因為隨着ｎ增大，出現一個６的概率會越來越占優（more dominated)】

不是。實際結果你可以看到，如果n趨向無窮大，這個“奇數次數6”的概率確實像你前面所說的，趨向1/2。

但是，現在n不是趨向無窮大。

【當ｎ充分大的時候，出現偶數個６的概率與出現奇數個６的概率應當相等。】

－－－　顯然我的這個說法是大有問題的。因為隨着ｎ增大，出現一個６的概率會越來越占優（more dominated), 基本上是贏者通吃。

考慮三個骰子擲出偶數個６的概率，也就是擲出兩個６的概率：

ｐ＝（5x1x1+1x5x1+1x1x5)/(6x6x6) = 0.0694　

遠遠小於奇數個６的概率（０.３５２）。所以，你我的說法似乎都有些問題。顯然我的這個近似算法，也只有當ｎ充分大時才有意義。

出現奇數次數的“6”的概率，與出現偶數次數的“6”的概率並不一定相同。

這是一個二項分布，與n有關。

當n是奇數時，這兩個概率確實相同：此時這個“二項分布”的項數是偶數，故“偶數次數的6”與“奇數次數的6”出現的概率各占一半。

但是，當n是偶數時，這個“二項分布”的項數是奇數，去除兩頭相等的項，還有一個中間項要考慮！

而且這裡沒有說n是一個足夠大的數。n可以是某一個正整數，但不是趨向於無窮大。

當ｎ充分大的時候，出現偶數個６的概率與出現奇數個６的概率應當相等。這樣以來，計算就比較容易了。

Pn＝（至少出現一個６的概率）／２　

＝　（１－　一個６也不出現的概率）／２

＝　（１－５^n/6^n)/2

= (1- (5/6)^n)/2

例如，

ｎ＝３，Pn=0.21（誤差巨大）

n=10, Pn=０.419

n=100，Pn=0.49999　

這表明，當ｎ充分大時，一個６也不出現的概率接近於零。

難點在第2】部分。

[出現奇數個數的“6”]的意思，是指三個骰子出現一個６點和三個６點的情況嗎？若如此的話，那麼

P　＝　出現一個６點的概率　＋　出現三個６點的概率

１　三個骰子擲出一個６點的概率　＝　３X(第一個骰子是６，同時其餘兩個骰子都不是６的概率）

＝　３x5x5/(6x6x6) = 0.347

２　三個骰子擲出三個６點的概率　＝　１／（６X6X6)　＝　０.００４6

所以，P＝0.347+0.0046 = 0.352