趣味的数学-214

把一个正整数的各个数位的数字相加；如果得到的和不是个位数，则继续把此和的各数位的数字相加，直到得到的和是一个个位数。

这个个位数被称为是原来那个正整数的“数根【digit root】”。

证明：任何一个正整数的完全平方数的数根，必然是1、4、7或9这四个数根之一。

例如，

15的完全平方数是225；225的数根是9。

3,653的完全平方数是13,344,409；13,344,409的数根是1。

【引自Henry E. Dudeney（1857-1930）】

【证明思路之一：

证明完全平方数的数根，等于其平方根数根的平方。

最后问题归结为1至9的完全平方数的数根必为1、4、7或9四数之一。】

【此定理可作为判断一个数不是完全平方数的判定定理之一。

另外，一个完全平方数必定以1、4、5、6、9或两个0结尾；不会以2、3、7或8结尾。】

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【2020年春节特别趣味题】

用1至9这九个正整数【每个数都要用到，但每个数只能用1次】，以分数形式来表示1/2、1/3、1/4、,,,、1/9。

例如，1/8 = 3187/25496。

【引自Terry Stickels: Mend-Bending Puzzles I】