趣味的數學-214

把一個正整數的各個數位的數字相加；如果得到的和不是個位數，則繼續把此和的各數位的數字相加，直到得到的和是一個個位數。

這個個位數被稱為是原來那個正整數的“數根【digit root】”。

證明：任何一個正整數的完全平方數的數根，必然是1、4、7或9這四個數根之一。

例如，

15的完全平方數是225；225的數根是9。

3,653的完全平方數是13,344,409；13,344,409的數根是1。

【引自Henry E. Dudeney（1857-1930）】

【證明思路之一：

證明完全平方數的數根，等於其平方根數根的平方。

最後問題歸結為1至9的完全平方數的數根必為1、4、7或9四數之一。】

【此定理可作為判斷一個數不是完全平方數的判定定理之一。

另外，一個完全平方數必定以1、4、5、6、9或兩個0結尾；不會以2、3、7或8結尾。】

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【2020年春節特別趣味題】

用1至9這九個正整數【每個數都要用到，但每個數只能用1次】，以分數形式來表示1/2、1/3、1/4、,,,、1/9。

例如，1/8 = 3187/25496。

【引自Terry Stickels: Mend-Bending Puzzles I】