由於相關的小說和影視作品上市，最近“三體”這個詞兒在中國火了。的確，物理學的三體問題，因其解的混沌性質，容易令人遐想，或墬入迷思。

2006年，出於好奇，我曾研讀了大衛·艾奇遜的《從微積分到混沌》^[1]一書，其中在二維平面空間中，討論了三體的引力運動問題。

現將筆記整理如下。

我們知道，如果只有二體存在，只要給出初始條件，根據牛頓定律，即可以精確解出二體的運動軌跡和速度。

然而，在三體情形下，如圖一所示，每個粒子受到其它二粒子的引力作用，根據牛頓第二定律，固然也可以寫出各粒子在X和Y方向上的六個二階運動方程，但這些方程式彼此耦合，沒有解析解。

圖一

通常的求解辦法是：將其降階為十二個一階微分方程，經去量綱化(non-dimensionalization)後，用可變步長的數字疊代法(the Runge-Kutta method)計算，近似求出每個粒子瞬時的坐標和速度。

圖二a顯示，如果沒有第三粒子存在，當粒子m1和m2的質量相同，等於0.5，初始位置分別在X軸的兩側等距之(0，-0.3)和(0，0.3)點處，初速度大小相等，一個向南，一個向北，即為(0，-0.3)和(0，0.3)時，兩個粒子將各自繞系統重心做穩定的橢圓運動。宇宙中觀察到的聯星或復星(binary star)現象，即是如此。

但當有第三粒子介入時，每個粒子的軌跡會變得極為複雜。

例如，具有同樣質量的m3，從(-0.1，0.75)的位置，以(0，-0.3)的初速度向南進入，如圖二b、c、d所示，粒子1與粒子3很快接近，一起向西北方向行，粒子2則被排斥到東南方。不久，粒子2又轉回來，與粒子3纏繞，把粒子1踢了出去。

圖二

這種相互糾纏，不斷變換“夥伴”的關係，在下面的圖三中可以看得更清楚，此時系統其它條件與圖二相同，只是m3的初速改為(0，-0.2)。

圖三

該圖顯示，粒子3與彼此糾纏的粒子1和2最後可能再次相遇，那之後的結果又會是怎樣？

筆者按照Acheson書中提供的程序，進一步演算，並將全過程拍成影片，後經友人建議和幫助，又改用錄屏技術，獲得更清晰的視頻。有興趣的讀者可以點擊這裡http://www.azcolabs.com/3BD.mp4，觀看MP4模式的視頻鏈接：三體動態圖。如有讀者無法觀看MP4模式，可試點擊AVI模式的原攝影片視頻鏈接 http://www.azcolabs.com/3BD.avi。該短片長約三分鐘，但可按播放軟件中的快進鍵或選擇播放速度，加快播放。

影片結尾時顯示，粒子3(黑)與粒子1/2(紅與綠)相會之後，再次交換位置，最終，粒子2/3(綠與黑)結伴，類似一對雙星(double star)，一路向西，粒子1(紅)則形同一顆脫離聯星的“流浪行星”(a rogue planet)，在太空深淵中獨自投東，踽踽而行。二者背道而馳，漸行漸遠，達到了三體衰變(decay)或解構崩潰的結局。

有些讀者可能會問，在我們生活的多體大千世界，怎麽沒有見過如此詭異的行徑？太陽系的九大行星不是秩序井然地運行多年，安然無恙麽？而且其軌跡可以預測，人們準確知道月蝕、日蝕會在什麽時候發生，也可推算出哈雷彗星回歸的日子。

我的理解是：我們這裡說的三體混沌現象會發生，關鍵在於三體間的相互作用量級相當，彼此影響，形成強耦合狀態，以致其運動完全無法預測。

但是，如果一個體系，只有一個物體占絕對優勢，如太陽系中太陽的質量占99.86%，其餘眾多小物體，如諸行星及其衛星，則各自圍繞它做穩定的二體運動；至於行星彼此間的吸引，由於質量小且相距較遠，屬於高階小項微擾，可能會引起行星的些許進動，或者可以忽略不計。

此時，若有更小的物體，以一定的初始條件，闖入二體之間，結果會怎麼樣？

以下四張圖片，對此做了說明。

初始條件與圖二相同，第三體質量m ≈ 0。

第一種情形，如圖四顯示，第三體從遠處(0，10)的位置，以初速(0，-0.3)出發，受二體的吸引加速向下。如果加速時間夠長，使第三體獲得足夠的動能，或當切入時另二體恰在遠端附近，那它就有可能直接穿越二體體系。

圖四

第二種情形，如圖五顯示，第三體從近處(0，1)的位置，同樣以初速(0，-0.3)出發，因受二體吸引加速時間較短，第三體速度不夠高，且剛好與第二體接近，結果被第二體俘獲，成為繞其旋轉的衛星。然而，經過相當的時間之後，第三體又解脫出來，向西南方向飛去。

圖五

第三種情形，如圖六顯示，第三體從稍遠的(0，3)位置，同樣以初速(0，-0.3)出發，因受二體吸引加速時間略長，第三體速度居中，它既不被俘獲，又無力直接穿越，結果在二體的勢井中，混沌漫遊一番之後，終於得以向東北約60度方向逃逸。

圖六

第四種情形，如圖七顯示，第三體從偏離Y軸的(-0.1，0.75)位置，同樣以初速(0，-0.3)出發，結果與上相似。只是這一次，它沒能幸運逃逸，而是直接撞上了第二體。圖中顯示二粒子相撞的位置在屏幕的(318，120)點處。

圖七

從月球上的無數隕石坑和地球上夜間常見到的流星，可知這種相撞情形並不罕見。

太陽系存在已有幾十億年，該撞的或能逃的天體大概多已被淘汰了，現在剩下的，可以說，是一個基本穩定的結構。但多體耦合導致的混沌法則依然存在，從大尺度來看，一切仍舊可能改變，包括月球每年正悄悄地遠離地球約一英寸多，無數小行星和碎石塊仍在太陽系裡雜亂飛舞，隨時威脅着地球上的生命存在。

而放眼銀河系，那裡大約有4萬億個不隸屬於任何恆星的“流浪行星”(the rogue planets)在星際空間中遊蕩，其大小如地球到木星不等，有些還帶有自己的衛星環繞。

如前文所述，這些流浪行星很可能是從聯星或復星天體系統(binary stellar systems)中因混沌被排斥出來的。

以上只是些數字模擬，試圖形象地給出有關三體混沌運動中的一些基本概念，以及可能發生的情形。

浩瀚的宇宙是和諧秩序與紊亂混沌的統一體，然而，無論如何，質量相近的三體天體極不穩定，應不適合生命起源和進化的漫長過程，遑論產生造就高級智慧生物。 

[1]，David Acheson，From Calculus to Chaos，Oxford，1997。

To read English version please click: http://www.azcolabs.com/xy_3BD_Eng.html

寫於2024年4月28日。

[後記]

前文在二維平面空間中，討論了三體的引力運動問題。通常認為，這種系統的運動不規則，難以預測，也不穩定。

最近看到報導，自2011年以來，人們已有16次觀察到有行星圍繞雙星(double star)運行的事例，其行星的軌道多與雙星運動處於同一平面。

這一事實提醒了筆者，前文只討論了第三體──無論其質量與二體相當或可忽略不計──在同一平面中朝二體質心方向垂直進入時的幾種可能的後果，即：導致三體解構，或穿越、被俘獲、逃逸和碰撞等。

但如果質量微小的第三體，一開始是沿二體外圍切線方向運動，那它是否有可能成為彼此繞行的二體共同的行星呢？

下圖中，初始條件與圖四相同，即：一、二體(紅與綠)質量相同，第三體(黑)質量很小(m ≈ 0)，只是第三體於(-1.5，0)處，以初速(0，1)出發。計算模擬的結果顯示，它成為二體的共同行星，儘管其軌道受二體運動影響不斷進動，但相當地穩定。

宇宙浩瀚，無數“流浪行星”有各種機會，在適當的時刻和地點，以合適的角度與速度，進入雙星體系，在同一平面內成為它們穩定的行星。因此，科幻電影“星際大戰”中，那個有着兩個太陽的行星，是完全有可能存在的。

然而，2025年4月美聯社報道，科學家在120光年處發現了由一對褐矮星(brown dwarfs)組成的雙星(2M1510AB)，其彼此繞行的軌跡不同尋常地古怪。研究者猜測，這可能是由於有一顆軌道與雙星平面垂直，稱為“極性軌道”("polar orbit")，的行星干擾的結果，儘管這顆行星還未被直接觀察到，其質量與軌道均有待進一步的研究決定，而它的來源亦很可能是被該雙星俘獲的一顆星際流浪行星。

下面是歐洲南方天文台(the European Southern Observatory)L Calcada對該三體運動所繪製的藝術印象圖。

褐矮星的質量大於行星，但又不足以引起核聚變。因此，由三個質量相近的天體的如此耦合，能否形成一種穩定的結構？這是一個有趣的問題。

記於2025年4月30日。