美國數學家丹尼斯·蓋茨戈里因在幾何朗蘭茲猜想證明中發揮的核心作用而獲得“數學突破獎”。

丹尼斯·蓋茨戈里因廣泛使用類比和歸納法證明數學定理和引理，十分荒唐。

為什麼不能用歸納法證明？

因為設立命題時使用少量樣本歸納出來的，再用少量樣本證明，就不可靠了。少量樣本歸納證明只是增加了命題的可信度，不能證明整個理論的正確，這就是歸納證實的局限性。因為歸納法沒有充足理由僅僅依靠少量樣本概括由無窮多個元素組成全稱判斷命題的屬性。

舉例哥德巴赫猜想：

原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一歸納有限的樣本，具有某種性質（兩個素數之和），於是歸納推出“哥德巴赫猜想”推導出數量有無窮多個的樣本也具有某種性質）。

在歸納基礎上產生的猜想，通過演繹證明是不對等的。

歸納是在一個有窮大的樣本中逐一列舉, 只要樣本空間沒有被窮盡, 使用的都是簡單枚舉歸納推理。

對於無窮大的樣本, 我們根本不可能窮盡該樣本空間, （例如哥德巴赫猜想中的偶數就有無窮多個）因此只能使用簡單枚舉歸納推理，簡單枚舉歸納推理是一種擴大前提的推理, 它的結論是不可靠的。

使用歸納推理提出假說, 其假說是非常脆弱的, 因為對它的證實是不可能的, 除非你窮盡樣本空間, 而一旦如此, 你使用的已經不是歸納推理了。

它的脆弱性還表現在, 只要一個反例, 就可以容易地推翻這個假說。

歸納推理是基於有限觀察的，從有限樣本推出一般結論的推理, 它的前提是關於個別事物具有某種性質的論斷, 結論卻試圖得出全體事物皆具有此性質的論斷，中間有一個巨大的邏輯空擋。

無窮多個樣本的數學定理必須是全稱判斷，數學家必須完成一個：由歸納出來的有限個事實樣本去證實無窮多個元素的--不可能完全證實的命題進行演繹方法證明，並且結論是全稱肯定判斷的正確三段論只能是第一格的AAA式。這是絕大多數數學命題證明無法做到的。

1，在假設情況下，是一種預期理由。再使用類比和歸納法更加荒唐。

在假設下可以證明.....。

現在假設E是正則的，....

我們通過類比情況推測....。

2，在假設下可以證明.....。

現在假設E是正則的，....

我們通過類比情況推測....。

引理6。我們有：引理證明如下：

存在一個笛卡爾......。根據Aute的假設，通過歸納法對m進行論證，可得結論。

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