皮亞若公理證明有屬性的命題無效皮亞諾公理無法推導屬性命題，因為它們是為構建自然數（而不是屬性）的算術體系而設計的。這些公理關注的是自然數的構成（如零、後繼數等）和基本運算，而“屬性命題”通常涉及邏輯推理、語言結構或更複雜的數學概念，不屬於皮亞諾公理所定義的範圍。
亞諾的這五條公理用非形式化方法敘述如下： 
5：任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。
其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。
若不將0視作自然數，則公理1,4,5中的“0”要換成“1”。 （可以看出，皮亞若公理只對恆等式，沒有涉及問題屬性，而定理是一個問題的屬性，沒有屬性的命題不是定理，例如二項式定理其實不是定理，只是恆等式）。 第二，
皮亞若公理證明n與n+1之間具有遞推關係的數學命題，其實定義了這個命題所有的元素是一個屬性同一的結構。用遞推關係設定：不完全歸納定義了尚未歸納的部分，還不是完全歸納法了，而是雙重歸納，即部分元素歸納預測，同時建立了元素之間的遞推歸納預測。也就可以通過演繹法作為大前提了。
皮亞若公理實際上是通過定義完成一個雙重歸納法。
（完全歸納推理其實就是總結，是窮盡一個集合的一切元素，不在討論範圍。完全歸納推理的性質具有必然性，這又使它具有演繹的大前提的條件）。
不完全歸納推理是根據一類事物對象中每一個對象都具有（或不具有）某種屬性，推出該類對象全體都具有（或不具有）這種屬性的推理。
由於不完全歸納推理是從部分前提到一般性結論的推論，這使它具有歸納的特性；如果建立了遞推關係，不完全歸納推理的前提和結論之間具有必然性聯繫，
所以，建立了穩定的遞推關係的不完全歸納推理乃是聯繫或然性歸納推理與必然性演繹推理的過渡環節。
不完全歸納推理的規則
其一，對於部分對象的斷定都是確實的，因為有一個聯繫所有的元素遞推關係，注意，不是僅有歸納部分元素的事實，而是建立了一個事實a與另外一個事實a+1之間具有共同的遞推關係。（如果僅有事實，沒有遞推關係，例如a是素數，a+1是素數，....。這種歸納無效。）
其二，被斷定的個別對象之和是一類的全部對象。
不完全歸納推理的作用
不完全歸納推理的主要作用在於綜合預測。它把有限數量的單稱命題綜合為一個整體，綜合成為具有特定限度的一般性命題，它使人們的認識從個別上升到一般。
大前提：從a到b 是必然的規律（皮亞若公理）。
小前提：這個恆等式是在封閉的a到b。
結論，所以，這個恆等式成立。
如果n與n+1沒有穩定的遞推關係，不完全歸納法就是無效的。
皮亞若公理其實就是歸納與遞推步驟一致的設計，以保證在不完全歸納情況下，演繹大前提依然有效。
第三，
在皮亞若公理下的歸納證明實際上是一個演繹證明，它所遵循的是一條演繹規則，即從 和 （） 可得到 ，建立了明確的遞推關係，形成了基礎步驟與歸納步驟完整結合。這條規則保證了我們由前提 （即歸納證明中的奠基和歸納兩個步驟：A和B）和前提（ ）（即數學歸納原理：├（A∧B）→c）），就可以推出結論 （即歸納命題c），由於歸納原理是一個邏輯真的命題（可看作一前件真而後件不可能假的嚴格蘊含式），運用歸納證明所得的結論c也是必然真的，記作├ c。
歸納證明不同於傳統歸納邏輯中簡單枚舉歸納推理，後者是前提中考察了一類事物的部分對象，發現它們都是具有某種性質，並且沒有遇到相反的情況，於是推出該類對象都具有該性質。例如，偶數6=3+3，偶數8=3+5，...。於是推出任何大於4的偶數都是兩個奇素數之和，其推理形式可表為： ,該推理形式不能保證當前提真時結論必然真，因為沒有建立了明確的遞推關係，無法形成了基礎步驟與歸納步驟完整結合。
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於是，數學家們就以為歸納法可以用於數學命題的證明了。
大家知道高斯的故事，老師讓小學生用自然數累加，從1加2再加3，...。一直加到100.。
高斯很快做出結論。
第一個自然數1加上本次設立的倒數一個自然數n，等於1+n。
第二個自然數2加上倒數第二個自然數n-1，等於1+n。
第三個自然數3加上倒數第三個自然數n-2，等於1+n。
........。
第n/2個自然數加上倒數第n-n/2+1，等於1+n。
高斯沒有也無需將省略號以後的所有的加法做完。因為根據皮亞若公理第5條，歸納法是成立的。（主項第s個自然數加上倒數第n-s個自然數之和等於謂項1+n）因為謂項1+n沒有屬性只是恆等式。
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