皮亞若公理證明有屬性的命題無效皮亞諾公理無法推導屬性命題，因為它們是為構建自然數（而不是屬性）的算術體系而設計的。這些公理關注的是自然數的構成（如零、後繼數等）和基本運算，而“屬性命題”通常涉及邏輯推理、語言結構或更複雜的數學概念，不屬於皮亞諾公理所定義的範圍。 皮亞諾公理的定義：皮亞諾公理定義了自然數集，包括一個起始元素（0 或 1）以及一個後繼函數，用於生成下一個自然數。 屬性命題的特點：屬性命題是關於事物的性質或狀態的陳述，例如“所有鳥都會飛”或“所有紅色的蘋果都是甜的”。這些命題的真假通常需要通過邏輯規則和對世界的觀察來判斷，而不是通過公理化定義來推導。 兩者無法結合：皮亞諾公理僅適用於自然數及其運算，無法直接應用於推導屬性命題的真偽。屬性命題的推理可能需要用到其他邏輯系統，如 一階邏輯或集合論等。
亞諾的這五條公理用非形式化方法敘述如下： 
5：任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。
其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。
若不將0視作自然數，則公理1,4,5中的“0”要換成“1”。 （可以看出，皮亞若公理只對恆等式，沒有涉及問題屬性，而定理是一個問題的屬性，沒有屬性的命題不是定理，例如二項式定理其實不是定理，只是恆等式）。 ---------------------------------------------
於是，數學家們就以為歸納法可以用於數學命題的證明了。
大家知道高斯的故事，老師讓小學生用自然數累加，從1加2再加3，...。一直加到100.。
高斯很快做出結論。
第一個自然數1加上本次設立的倒數一個自然數n，等於1+n。
第二個自然數2加上倒數第二個自然數n-1，等於1+n。
第三個自然數3加上倒數第三個自然數n-2，等於1+n。
........。
第n/2個自然數加上倒數第n-n/2+1，等於1+n。
高斯沒有也無需將省略號以後的所有的加法做完。因為根據皮亞若公理第5條，歸納法是成立的。（主項第s個自然數加上倒數第n-s個自然數之和等於謂項1+n）因為謂項1+n沒有屬性只是恆等式。
這裡，因為主項自然數是一個普遍概念，普遍概念的特徵就是每一個元素都具有這個概念的全部屬性。將普遍概念的自然數用恆等式歸納就是一種簡單枚舉擴展前提的證明。而命題哥德巴赫猜想的謂項（兩個素數之和）是有屬性的，無法依靠簡單枚舉證明的。 第一，如果命題中的主項變量不是普遍概念，而是集合概念，皮亞若公理就無效了，因為集合概念的每一個元素不是必然具有概念的屬性。 第二，如果命題謂項具有屬性，歸納法就無效。 好了，這就告訴我們，對於集合概念的命題，例如費馬大定理，黎曼猜想，貨郎擔問題，它們都是變化率的變化率，即二階邏輯問題。a成立，a+1不一定成立。需要逐一證明，就是說，對於二階邏輯命題，數學歸納法不能推到多米若骨牌。所有的命題只要有屬性就無法使用歸納法證明，歸納法無法推導出多個元素問題的屬性。這裡，因為自然數是一個普遍概念，普遍概念的特徵就是每一個元素都具有這個概念的全部屬性。
如果命題中的變量不是普遍概念，而是集合概念，皮亞若公理就無效了，因為集合概念的每一個元素不是必然具有概念的屬性。好了，這就告訴我們，對於集合概念的命題，例如費馬大定理，黎曼猜想，貨郎擔問題，它們都是變化率的變化率，即二階邏輯問題。a成立，a+1不一定成立。需要逐一證明，就是說，對於二階邏輯命題，數學歸納法不能推到多米若骨牌。
不完全歸納法不能用於這一類命題。 普遍概念，普遍概念反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。 就是說，普遍概念的每一個個體必然具有這個概念的基本屬性。例如：工人，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。 集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的，也是無法證明的，只能是歸納總結。
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