皮亚若公理证明有属性的命题无效皮亚诺公理无法推导属性命题，因为它们是为构建自然数（而不是属性）的算术体系而设计的。这些公理关注的是自然数的构成（如零、后继数等）和基本运算，而“属性命题”通常涉及逻辑推理、语言结构或更复杂的数学概念，不属于皮亚诺公理所定义的范围。 皮亚诺公理的定义：皮亚诺公理定义了自然数集，包括一个起始元素（0 或 1）以及一个后继函数，用于生成下一个自然数。 属性命题的特点：属性命题是关于事物的性质或状态的陈述，例如“所有鸟都会飞”或“所有红色的苹果都是甜的”。这些命题的真假通常需要通过逻辑规则和对世界的观察来判断，而不是通过公理化定义来推导。 两者无法结合：皮亚诺公理仅适用于自然数及其运算，无法直接应用于推导属性命题的真伪。属性命题的推理可能需要用到其他逻辑系统，如 一阶逻辑或集合论等。
亚诺的这五条公理用非形式化方法叙述如下： 
5：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。
其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。 （可以看出，皮亚若公理只对恒等式，没有涉及问题属性，而定理是一个问题的属性，没有属性的命题不是定理，例如二项式定理其实不是定理，只是恒等式）。 ---------------------------------------------
于是，数学家们就以为归纳法可以用于数学命题的证明了。
大家知道高斯的故事，老师让小学生用自然数累加，从1加2再加3，...。一直加到100.。
高斯很快做出结论。
第一个自然数1加上本次设立的倒数一个自然数n，等于1+n。
第二个自然数2加上倒数第二个自然数n-1，等于1+n。
第三个自然数3加上倒数第三个自然数n-2，等于1+n。
........。
第n/2个自然数加上倒数第n-n/2+1，等于1+n。
高斯没有也无需将省略号以后的所有的加法做完。因为根据皮亚若公理第5条，归纳法是成立的。（主项第s个自然数加上倒数第n-s个自然数之和等于谓项1+n）因为谓项1+n没有属性只是恒等式。
这里，因为主项自然数是一个普遍概念，普遍概念的特征就是每一个元素都具有这个概念的全部属性。将普遍概念的自然数用恒等式归纳就是一种简单枚举扩展前提的证明。而命题哥德巴赫猜想的谓项（两个素数之和）是有属性的，无法依靠简单枚举证明的。 第一，如果命题中的主项变量不是普遍概念，而是集合概念，皮亚若公理就无效了，因为集合概念的每一个元素不是必然具有概念的属性。 第二，如果命题谓项具有属性，归纳法就无效。 好了，这就告诉我们，对于集合概念的命题，例如费马大定理，黎曼猜想，货郎担问题，它们都是变化率的变化率，即二阶逻辑问题。a成立，a+1不一定成立。需要逐一证明，就是说，对于二阶逻辑命题，数学归纳法不能推到多米若骨牌。所有的命题只要有属性就无法使用归纳法证明，归纳法无法推导出多个元素问题的属性。这里，因为自然数是一个普遍概念，普遍概念的特征就是每一个元素都具有这个概念的全部属性。
如果命题中的变量不是普遍概念，而是集合概念，皮亚若公理就无效了，因为集合概念的每一个元素不是必然具有概念的属性。好了，这就告诉我们，对于集合概念的命题，例如费马大定理，黎曼猜想，货郎担问题，它们都是变化率的变化率，即二阶逻辑问题。a成立，a+1不一定成立。需要逐一证明，就是说，对于二阶逻辑命题，数学归纳法不能推到多米若骨牌。
不完全归纳法不能用于这一类命题。 普遍概念，普遍概念反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。 就是说，普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。例如：工人，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。 集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的，也是無法證明的，只能是歸納總結。
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