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（二）笛卡爾―――達摩祖師

笛卡爾（Rene Descartes ,1596－1650），在公眾的記憶里，他似乎不如阿基米德、牛頓這幾個人如雷貫耳。他的出場鏡頭似乎也是相對較模糊，聽得少見得更少。

然而，他所做的，毫不誇張的說，是所有現代數學的起源。他創造了全新的數學。我們現在所學的，全都是這個由這種數學發展而來的。因此，說他是數學中的達摩先師，開山鼻祖，最是恰當不過。他的解析幾何，以及對於坐標的應用，好比武俠中之少林派，而【天下武功出少林】，正是對笛卡爾功績最恰當的描寫。

在開始敘述他的生平及成就之前，我們有必要了解一下，為什麼我們直接從公元前200年直接跳到了17世紀。這接近2000年的時間裡，到底發生了什麼？很簡單，對於數學來講，發生的遠遠少於停滯的。

隨着古希臘黃金時代逝去的，還有幾何學對西方數學的統治地位。雖然丟番圖的著作對一部分方程問題提出了精妙的解法，然而他甚至沒有開始研究一般解的規律。公元400年開始，東方的印度人和阿拉伯人逐漸發展了他們的代數學。公元9世紀，花拉子米的著作《還原與對消的科學》成了代數學創立的里程碑。而在西方，唯一值得一提的是斐波那契 (Fibonacci) ，他的《算盤書》（Liber Abaci）向西方引進了阿拉伯數字-----這個舉動的影響是難以估量的----然而他除了他的數列，確實也沒有留下太多的原創性工作。即便這樣，他也已經是黑暗時代最亮的火把了。

笛卡爾出生的年代，正是這樣一個舊秩序在迅速消亡，新秩序又尚未建立起來的動盪環節。

不過，壞日子總是要過去。雖然社會與物質環境極其糟糕，但文藝復興還是早早的就開始了。笛卡爾所處這段時期，正是斑斑駁駁的人類文明史上最偉大的智力爆發時期之一。他與許多偉大的名字都有交集。例如，莎士比亞(Shakespeare)卒年笛卡爾20歲；笛卡爾比帕斯卡(Blaise Pascal)年長27歲，而前者去世時牛頓8歲，同時，笛卡爾與伽利略也是同時代人，他比後者多活了8年-----雖然這8年對他來說並不是一種幸福。

笛卡爾的幼年奠定了他一生發展的基調。他是一個貴族，不是非常富裕但是足夠讓他上當時最好的貴族學校----拉弗萊什的耶穌會學院。院長沙萊神父 (Father Charlet)是個溫和的老人，他與身體孱弱的笛卡爾最終會成為忘年的好朋友。他允許這個面色蒼白的小男孩每天早上躺在床上休息，直到他多病的身體允許他起來為止。

這個習慣持續了笛卡爾的一生。他自己後來回憶，那些在寂靜的冥思中度過的漫長的早晨，正是他今後數學和哲學思想的真正源泉。

笛卡爾並不是一個像高斯那樣在智力上早熟的孩子，但他依然具有非凡的才能。教會學校的教師們對笛卡爾讚不絕口，雖然這個學生每天早上都不來上課，但他依然輕鬆的精通了拉丁文、希臘文和修辭學。這些教師們自己是出入上流社會的紳士，他們的目標是把學生們也教育成這樣。笛卡爾接受了這樣的教育。

在今後的歲月中，笛卡爾一直是個舉止得體的貴族-----只不過，這樣的習慣，使任何皇室成員對笛卡爾而言都是不可抵抗的----這並不是拉普拉斯(Laplace)那種令人厭惡的勢利，然而這種勢利，使他把生命的許多時光都浪費在一些毫無意義的事情上。

日復一日的臥床冥思使得笛卡爾養成了這樣的習慣-----絕不因為某樣東西或結論是權威的，他就全盤接受。他開始對一些教會中的所謂證明和詭辯邏輯開始發問，這不是老師們所希望的。但是他們面對笛卡爾開始萌芽的思想，既沒有準備也沒有絲毫辦法。由此，他的思路很快的轉變為鼓勵他畢生事業的基本疑點：“我們如何理解實物？” 接下來他離開了學校，卻繼續着，甚至比過去更長時間、更努力、更忘我的思考。很快，他得到了兩個貫穿他一生哲學成就的果實。

第一個是極端的-----但是年輕的笛卡爾深信不疑-----他領悟了所謂的邏輯本身，對任何創造性的人類目標都毫無用處。第二個結論則是，相比數學中的證明而言，哲學、倫理學、道德學中的證明，皆花哨而虛假。

那麼人們應該怎樣去發現真理呢？笛卡爾依舊有自己的秘訣：通過控制下的實驗，並對這樣的實驗結果應用嚴格的數學推理。-----這就是笛卡爾的理性懷疑主義。他從中得到了什麼呢？很簡單，一個事實：“我存在”------這正是他著名的【我思故我在】(Cogito ergo sum)。

在這段時期，他瘋狂的學習數學。他感到自己對於數學是熱愛的，就像魚兒熱愛水。這很有可能埋下了笛卡爾今後數學上發現的種子。然而我們沒有記載他到底學習了什麼樣的著作，依照他後面的成就來看，他一定對古希臘的幾何和東方的代數學都有過深入的思考。

出於對自己幼年虛弱身體的一種報復性狂歡，笛卡爾18歲的時候，離開了父親的莊園。他在巴黎逗留了兩年，過着醉生夢死的放蕩生活。他與一幫狐朋狗友一起，沒有節制的縱情聲色，並且賭 -----而且還贏了不少-----因為笛卡爾幹什麼都全力以赴。由此可見我們的大數學家，在情趣和世俗的欲望上，有時候也和普通人一模一樣。

幸而這種日子並不太久。在那之後，笛卡爾開始厭倦這種荒唐的生活。他悄悄了離開了那個圈子，去尋找自己的寧靜。他的方法又一次與眾不同，他去參軍了。並且一干又是十幾年。也許現代的心理學家們會把這看成笛卡爾對自己身體的一種不信任，而試圖用外界的行為來平息內心的恐慌。總之，笛卡爾輾轉反側的逗留了好幾處地方，最終他參加了巴伐利亞的軍隊，並駐紮在多瑙河畔靠近諾伊堡的小村莊裡。在這裡，他終於找到了他喜歡的，並從幼時就習慣了的安寧。

在那裡，笛卡爾發現了自己。數學的進程被永久的改變了。這個轉變非常的奇特，談到它就必須要談到笛卡爾那著名的三個夢。就像達摩祖師的一葦渡江，是一個藝術加工而得來的傳說一般，我們很難知道到底這些夢，到底有多真實。但有一點我們可以肯定，這三個夢，開啟了整個數學嶄新的篇章。

笛卡爾傳記的作者巴耶 (Baillet)在他的書中，認為笛卡爾那三個夢是酒精所致。他說笛卡爾是參加了某個宴會，然後醉醺醺的回到家沉睡。笛卡爾在世時則聲稱了多次，在做夢之前，他已經三個月沒有喝過一滴酒了。總之，在1619年11月10日的晚上，我們的笛卡爾進入了夢鄉。

在第一個夢中，他夢到自己被邪惡的大風，從教堂吹到一個邪惡的隱匿之地。第二個夢，則是他用科學的眼光去觀察了這場風暴，然後他突然發現自己已經變得像超人一般，無法被其所傷了。並且，在熟悉了風暴的規律之後，他獲得了一把鑰匙，這把鑰匙可以打開大自然的寶庫。第三個則較文藝一些，我們的紳士笛卡爾正深情的朗誦奧索尼厄斯 (Ausonius) 的詩句：“我將遵循什麼樣的生活道路？(Quod vitae secatabor iter?)”。

很顯然，笛卡爾的第二個夢顯靈了。鑰匙打開了寶庫，裡面的寶物是現在所有科學的真正基礎。此後，1619年11月10日被公認為解析幾何的誕生日，因而這天也就成了現代數學的誕生之日。-----雖然笛卡爾把這個想法公諸於眾，還要等上18年。

在這十八年之中，笛卡爾參加了很多戰爭。絕大部分不值得一說，但有三次對他的人生造成了影響。第一次是1620年春天他參加的布拉格戰役。笛卡爾後來說這是他的第一次的“真正的戰斗”。而且上帝保佑，他勝利了。在他進入這座城市之後，他認識了當時年僅4歲的伊麗莎白公主------當時英格蘭國王的外孫女-----她後來成了笛卡爾最喜愛的弟子。

第二次則是與薩瓦公爵的血腥戰斗。他在這次戰鬥中表現出色，被授予中將稱號。但他拒絕了，諷刺意味的是，笛卡爾說他只是去尋找安寧的，可是他選擇了另一種極不安寧的方式來實現。這也許就是大數學家的思路吧！最後一次值得敘述的戰鬥是，跟隨法國國王圍攻羅謝爾。----這也是笛卡爾一生的最後一次戰鬥，此時已是1628年。

所以，如果你選擇喜歡一位身經百戰、鐵漢柔情的數學家，我們的笛卡爾絕對是其中代表。這點，他倒是多少有些像喬峰，而不是達摩祖師。不管經歷了多少戰鬥，笛卡爾絕不是那種衣着破爛的兵痞；也不管有多少高深的思想，他也不是那種打扮邋遢的學究。他，笛卡爾，終其一生，都是衣冠楚楚、穿着講究的上等人。

而且，他的紳士是出了名的。據說，有次在巴黎，在酒吧外面，我們的笛卡爾正身着時髦的塔夫綢，佩戴着一把與自己身份相稱的劍，頭上還帶着一頂碩大的、寬邊的、插着鴕鳥毛的帽子 -----這是那個時代最時尚最漂亮的打扮了。這時，有個醉醺醺的鄉巴佬侮辱了笛卡爾身邊的妓女。於是，我們憤怒的數學家三下五除二，就打掉了醉鬼的劍 -----但又饒了他的性命。而寬恕的原因是，這名醉鬼是如此的骯髒，以致於笛卡爾無法在一位美麗的女士面前殺死他。

笛卡爾是很喜歡女人的，這點和我們大多數男人一樣。他甚至和一個婦女生過一個女兒，但那可憐的幼兒很早就夭折了。笛卡爾終生未婚。我們不知道具體原因，但據有個曾和他有婚約的女士說 -----這個女士是位胖胖的、富有的荷蘭寡婦----笛卡爾是寧願要真理而不要女人。那麼基於男人的心理，更可能的是，笛卡爾是如此精明，他不會把自己的安寧和寧靜，在當時的環境下抵押給這位胖胖的荷蘭婦人。

在這18年中，我們要感謝戰神。是他用不可思議的好運保佑了笛卡爾沒有被任一顆流彈削去了半個腦袋，也沒有讓他的軀體遭受毀滅，沒有讓他的思想泯滅不然，我們的解析幾何就要消亡在某條壕溝，或者躺在某個土丘上，留給下一個天才去發現了。而近幾個世紀以來，這樣的悲劇並不是沒有上演過。

然而經過了多年的軍旅生涯，笛卡爾內心還是極為平和和安靜的一個人。這也正是他性格最重要的一點，是任何時候都不能忽視的------他一直知道自己要去幹什麼，他了解他的目標的重要性。對於自己的愛好，他是很有節制但又不強迫別人，而又不吝嗇。總之，1628年，笛卡爾遇到了紅衣主教德貝律爾(De Berulle)。正是後者把笛卡爾從無所作為的狀態中喚醒，誘導他公開自己的思想。

當然，這裡所說的誘導，可能也多少有點脅迫的意味，用得是一種我們現代人難以想象的工具-----強烈的宗教信仰。笛卡爾是個非常虔誠的耶穌會信徒，當德貝律爾主教說，你應當把你的成果和全世界分享，這是你對上帝應付起的責任，因為你的一切都是上帝給予的，如果你不這樣做，那麼等待你的，將是熊熊的地獄烈火。-----笛卡爾無法拒絕這樣的說辭，他決定出版自己多年來一直思考的東西。他做了這個決定之後，他立刻回到了荷蘭，着手準備出版工作。在那種寒冷的氣候中隱居，對笛卡爾來說，正是思維上最好的狀態。

此後20年裡，笛卡爾在荷蘭四處遊蕩。他得到了他所希望的安寧，以前的軍人現在成了一個沉默的隱士。他通過梅森神父(Father Mersenne)-----如果你還記得笛卡爾中學時代的校長沙萊神父的話，梅森就是他的繼任者-----與歐洲大陸的一些主要學者，保持書信上的聯絡。他們交換各種觀點，包括數學、光學、神學及哲學。並且，在這期間，笛卡爾的興趣廣泛的驚人，他對物理學、胚胎學、解剖學、醫學、天文觀察學乃至氣象學等等，全都進行了研究。這樣加上他以前在巴黎得到的光學結果，他發現他確實取得了一些好的東西。只是，他還沒有意識到，它到底有多好。

在這裡，我要奉勸那些在今天，依舊試圖把自己的精力分散到如此多的、性質不同的學科上的人，這樣做只能使得你成為一個無事窮忙的半瓶醋。笛卡爾所處的時代，給予他這樣的機會和幸運 ----而他也一直是幸運的，無論從各方面來講。哪怕在他離開戰場之後，曾經有一次，他差點被一群海盜所劫殺，但上帝保佑他聽懂了海盜的密謀，於是用劍打敗了他們。我們的解析幾何，又一次逃脫了謀殺和突然死亡的厄運。

到了1634年，他在荷蘭隱居的第6年，他的著作《論世界》已經接近最後修改的階段。笛卡爾預備把這當成獻給梅森神父的新年禮物，而整個巴黎的學界，都急於看到這本著作。然而教會這個時候對伽利略的審判，讓笛卡爾畏縮了。伽利略此時已70高齡，而且眾所周知，他與托斯卡納公爵(Duke of Tuscany)交情甚厚。但他還是因為堅持哥白尼的日心說，被送上了宗教法庭，並且當眾下跪。

笛卡爾的著作不可避免的牽涉到哥白尼的體系----任何一個真正做出了結果的科學家都知道哥白尼是對的-----而且書裡的結論甚至比伽利略他們所說過的一切都更大膽。笛卡爾於是決定暫緩他的出版。但他不僅僅是害怕-----任何精神正常的人都會害怕-----他是被深深的傷害了。

每一個大數學家都對自己的結果深信不疑。這種自信雖然並不一定帶來好運，例如它就讓柯西曾經在費馬大定理的證明上出了一次洋相，然而這也說明他們都是非常自信的。事實上，笛卡爾對哥白尼的學說深信不疑，就像他相信自己的存在一樣。而另一方面，他也堅信宗教法庭的絕無謬誤。所以，這種內在的矛盾就深深的刺傷了笛卡爾的自信。

他曾有一大段時間，努力想從自己的哲學中找到一種和解的方法。然而他意識到無論如何，即便使用詭辯，他也沒法同時擁有教皇和哥白尼，但是他也沒有辦法放棄任何一方。所以為了撫慰自己的自尊心，笛卡爾決定把《論世界》的出版推遲到他死後。他一定是潛意識裡覺得，也許教皇也死了，那麼矛盾就消失了。

解析幾何一直處在內心的煎熬中，直到1637年，此時笛卡爾已經41歲了。朋友們成功的說服了他，於是笛卡爾決定出版自己的傑作。於是，6月8日，《屈光學》、《氣象學》、《幾何學》，以及《關於科學中正確運用理性和追求真理的方法論的談話》全部公諸於世了。令人驚訝同時也欣慰的是，笛卡爾原以為會與他作對的教會，倒是開明的像個童話。在黎賽留紅衣主教和奧蘭治王子的支持下，笛卡爾不僅獲得了在法國及其他地方出版任何東西的權利，也繼續了他在荷蘭的安寧生活。

現在我們可以來看看笛卡爾到底對數學做出了些什麼。不錯，他在哲學中做出了巨大的貢獻，在實驗方法的發明中也擁有輝煌的地位，可是這一切依然還是要讓位於他在純數學的偉大工作。極少有人能獨自刷新人類思想的一個完整的方面，笛卡爾就是那極少數中的一個。這個貢獻是如此的傑出，但同時又極其簡單而令人注目----這也正是數學和其他藝術品的一個共同點。

為了不使這種偉大的簡樸而失色，我們對笛卡爾的發現單獨的予以簡短的敘述。在平面上放置任意兩條相交的直線。不失一般性，我們設它們互成直角。現在，這兩條直線就構成了【軸】這個概念。兩條軸相交於【原點】的地方。那麼現在，我們就能通過一個【數對】，來唯一的確定任何一個點相對於軸的位置。這個數對表示了這個點到底落在某根軸的東還是西，而同時是在另一個軸的南還是北（這實際上有4種可能）。那麼，這個數對就叫做【點的坐標】。

現在假定有一個點在任意一條曲線上移動。那麼這條曲線上的所有點的坐標(x,y)，就與一個【方程】聯繫在一起。這個方程就稱為【曲線的方程】。你可能要問？知道方程有什麼用呢？回答是太有用了。我們就可以通過研究同類型的，更具普遍性的方程，或者巧妙的處理手頭的方程，然後把通過代數研究而得到的結果，還原到圖形、曲線以及曲線上點的坐標，而得到相對應的結果------例如圖形的幾何性質、具有普遍性的幾何定理等等。

如此一來，我們可以通過代數來學習、研究甚至發現幾何了。與希臘幾何那種類似蛛網般錯綜複雜的線相比，代數更容易表達。這個方法真正的力量在於，從此在理論上，我們可以從任何複雜度的方程出發，從幾何上說明它的代數和解析性質。反之亦可。這樣，幾何和代數就不再是人類在真理之海探索的的兩條木筏了，他們合併成了一條更平穩更深刻的帆船。這條船就叫【解析幾何】。

而且，對於這一切，只消一步就能能擴展到任何維數的空間-----雖然那些高維空間並不存在於日常生活中，但它常出現在數學家的頭腦中，並且因為普遍性，而永遠成為他們最感興趣的空間之一。例如，對於平面，我們只需要2個坐標。對於通常的立體空間，3個便足夠了；對相對論的幾何，需要4個，對於那些高維的，我們既可以有 1，2，3。。。n這樣多個，甚至還可以有直線上所有的點那樣多個坐標！

這就是笛卡爾的貢獻。他再造了幾何學，使得現代幾何乃至現代數學成為可能。笛卡爾的同胞，數學家阿達瑪(Jarques Hadamard)這樣說道：“數學科學的研究對象的全部概念，發生了徹底的變革，直接促成這一變革的是笛卡爾本人。……笛卡爾完全知道他所做出的發明的重要性。他誇口說，就像西塞羅(Cicero)的修辭學超過了ABC一樣，他到目前為止，已經超過了他之前的全部幾何學。他這麼說是正確的。”

在結束笛卡爾的章節之前，我們再來看這位紳士生命末期的生活。在出版了自己的思想之後，笛卡爾已經收穫了大量的讚譽和名聲。而當他在荷蘭海牙附近的一個小村莊，享受自己舒適愉快的隱居生活時，他遇到了被放逐的伊麗莎白公主。我們無法知道，當時到底發生了什麼，唯一確認的是，伊麗莎白堅持要笛卡爾給她上課。笛卡爾的貴族作風和教養，使得他從來沒有能力拒絕任何皇室成員。

笛卡爾可能對這位年輕的公主有了感情，但是他沒有向她求婚。他雖然寫給在公主的信中，措詞真誠而謙卑，然而他還是不願放棄自己的安寧。伊麗莎白離開荷蘭之後，他們的通信一直持續到笛卡爾去世。

然而笛卡爾註定一生要尋找安寧。他的冥思般平靜的生活，在1646年被瑞典的克里斯蒂娜女王(Queen Christine)徹底打破了。她強烈的渴盼笛卡爾能去寒冷的北歐親自教授她知識，任何知識。笛卡爾一直拒絕着，然而最終他在1649年屈服了。女王派出了海軍上將弗萊明(Admiral Fleming)開着軍艦來接他。笛卡爾告別了自己的隱居聖所，永遠的離開了荷蘭。

他在斯德哥爾摩收到了最熱烈的歡迎。然而，女王對真理的渴求，導致她忽略了笛卡爾的身體狀況。這就是歷史上好心辦壞事的最典型例子之一。克里斯蒂娜每天早上5點就要我們的數學家給她講課，全然不顧北歐的嚴寒對笛卡爾這個年紀的人來說，可以說是致命的。笛卡爾很快就後悔了，他發現女王的精力旺盛的簡直嚇人，同時領悟力也是他這個智力水平的人所不能容忍的。據說有一次，笛卡爾目瞪口呆的發現，自稱古典學者的克里斯蒂娜正在跟希臘語的語法搏鬥，而這是他兒童時代就掌握了的。

笛卡爾現在真正懷念以前的平淡生活了，他在1650年1月的時候曾向女王陛下恭敬而誠摯的請辭，結果是毫無懸念的被拒絕了。不久，他染上了肺炎。2月11日，笛卡爾在對上帝的禱詞中平靜的去世了，享年54歲。他終於得到了他追求一生的安寧，在寒冷的北歐。

然而在他死後，反覆無常的教會把他的書列入了《禁書目錄》。這一舉動，使得17年後，笛卡爾的遺骨運回法國，葬在先賢祠的時候，甚至沒有進行公開的演講，來紀念我們現代數學的創始者。

讓我用貝爾的話作為這一章的結束：“笛卡爾並不是修正幾何，他創造了幾何。”