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（二）笛卡尔―――达摩祖师

笛卡尔（Rene Descartes ,1596－1650），在公众的记忆里，他似乎不如阿基米德、牛顿这几个人如雷贯耳。他的出场镜头似乎也是相对较模糊，听得少见得更少。

然而，他所做的，毫不夸张的说，是所有现代数学的起源。他创造了全新的数学。我们现在所学的，全都是这个由这种数学发展而来的。因此，说他是数学中的达摩先师，开山鼻祖，最是恰当不过。他的解析几何，以及对于坐标的应用，好比武侠中之少林派，而【天下武功出少林】，正是对笛卡尔功绩最恰当的描写。

在开始叙述他的生平及成就之前，我们有必要了解一下，为什么我们直接从公元前200年直接跳到了17世纪。这接近2000年的时间里，到底发生了什么？很简单，对于数学来讲，发生的远远少于停滞的。

随着古希腊黄金时代逝去的，还有几何学对西方数学的统治地位。虽然丢番图的著作对一部分方程问题提出了精妙的解法，然而他甚至没有开始研究一般解的规律。公元400年开始，东方的印度人和阿拉伯人逐渐发展了他们的代数学。公元9世纪，花拉子米的著作《还原与对消的科学》成了代数学创立的里程碑。而在西方，唯一值得一提的是斐波那契 (Fibonacci) ，他的《算盘书》（Liber Abaci）向西方引进了阿拉伯数字-----这个举动的影响是难以估量的----然而他除了他的数列，确实也没有留下太多的原创性工作。即便这样，他也已经是黑暗时代最亮的火把了。

笛卡尔出生的年代，正是这样一个旧秩序在迅速消亡，新秩序又尚未建立起来的动荡环节。

不过，坏日子总是要过去。虽然社会与物质环境极其糟糕，但文艺复兴还是早早的就开始了。笛卡尔所处这段时期，正是斑斑驳驳的人类文明史上最伟大的智力爆发时期之一。他与许多伟大的名字都有交集。例如，莎士比亚(Shakespeare)卒年笛卡尔20岁；笛卡尔比帕斯卡(Blaise Pascal)年长27岁，而前者去世时牛顿8岁，同时，笛卡尔与伽利略也是同时代人，他比后者多活了8年-----虽然这8年对他来说并不是一种幸福。

笛卡尔的幼年奠定了他一生发展的基调。他是一个贵族，不是非常富裕但是足够让他上当时最好的贵族学校----拉弗莱什的耶稣会学院。院长沙莱神父 (Father Charlet)是个温和的老人，他与身体孱弱的笛卡尔最终会成为忘年的好朋友。他允许这个面色苍白的小男孩每天早上躺在床上休息，直到他多病的身体允许他起来为止。

这个习惯持续了笛卡尔的一生。他自己后来回忆，那些在寂静的冥思中度过的漫长的早晨，正是他今后数学和哲学思想的真正源泉。

笛卡尔并不是一个像高斯那样在智力上早熟的孩子，但他依然具有非凡的才能。教会学校的教师们对笛卡尔赞不绝口，虽然这个学生每天早上都不来上课，但他依然轻松的精通了拉丁文、希腊文和修辞学。这些教师们自己是出入上流社会的绅士，他们的目标是把学生们也教育成这样。笛卡尔接受了这样的教育。

在今后的岁月中，笛卡尔一直是个举止得体的贵族-----只不过，这样的习惯，使任何皇室成员对笛卡尔而言都是不可抵抗的----这并不是拉普拉斯(Laplace)那种令人厌恶的势利，然而这种势利，使他把生命的许多时光都浪费在一些毫无意义的事情上。

日复一日的卧床冥思使得笛卡尔养成了这样的习惯-----绝不因为某样东西或结论是权威的，他就全盘接受。他开始对一些教会中的所谓证明和诡辩逻辑开始发问，这不是老师们所希望的。但是他们面对笛卡尔开始萌芽的思想，既没有准备也没有丝毫办法。由此，他的思路很快的转变为鼓励他毕生事业的基本疑点：“我们如何理解实物？” 接下来他离开了学校，却继续着，甚至比过去更长时间、更努力、更忘我的思考。很快，他得到了两个贯穿他一生哲学成就的果实。

第一个是极端的-----但是年轻的笛卡尔深信不疑-----他领悟了所谓的逻辑本身，对任何创造性的人类目标都毫无用处。第二个结论则是，相比数学中的证明而言，哲学、伦理学、道德学中的证明，皆花哨而虚假。

那么人们应该怎样去发现真理呢？笛卡尔依旧有自己的秘诀：通过控制下的实验，并对这样的实验结果应用严格的数学推理。-----这就是笛卡尔的理性怀疑主义。他从中得到了什么呢？很简单，一个事实：“我存在”------这正是他著名的【我思故我在】(Cogito ergo sum)。

在这段时期，他疯狂的学习数学。他感到自己对于数学是热爱的，就像鱼儿热爱水。这很有可能埋下了笛卡尔今后数学上发现的种子。然而我们没有记载他到底学习了什么样的著作，依照他后面的成就来看，他一定对古希腊的几何和东方的代数学都有过深入的思考。

出于对自己幼年虚弱身体的一种报复性狂欢，笛卡尔18岁的时候，离开了父亲的庄园。他在巴黎逗留了两年，过着醉生梦死的放荡生活。他与一帮狐朋狗友一起，没有节制的纵情声色，并且赌 -----而且还赢了不少-----因为笛卡尔干什么都全力以赴。由此可见我们的大数学家，在情趣和世俗的欲望上，有时候也和普通人一模一样。

幸而这种日子并不太久。在那之后，笛卡尔开始厌倦这种荒唐的生活。他悄悄了离开了那个圈子，去寻找自己的宁静。他的方法又一次与众不同，他去参军了。并且一干又是十几年。也许现代的心理学家们会把这看成笛卡尔对自己身体的一种不信任，而试图用外界的行为来平息内心的恐慌。总之，笛卡尔辗转反侧的逗留了好几处地方，最终他参加了巴伐利亚的军队，并驻扎在多瑙河畔靠近诺伊堡的小村庄里。在这里，他终于找到了他喜欢的，并从幼时就习惯了的安宁。

在那里，笛卡尔发现了自己。数学的进程被永久的改变了。这个转变非常的奇特，谈到它就必须要谈到笛卡尔那著名的三个梦。就像达摩祖师的一苇渡江，是一个艺术加工而得来的传说一般，我们很难知道到底这些梦，到底有多真实。但有一点我们可以肯定，这三个梦，开启了整个数学崭新的篇章。

笛卡尔传记的作者巴耶 (Baillet)在他的书中，认为笛卡尔那三个梦是酒精所致。他说笛卡尔是参加了某个宴会，然后醉醺醺的回到家沉睡。笛卡尔在世时则声称了多次，在做梦之前，他已经三个月没有喝过一滴酒了。总之，在1619年11月10日的晚上，我们的笛卡尔进入了梦乡。

在第一个梦中，他梦到自己被邪恶的大风，从教堂吹到一个邪恶的隐匿之地。第二个梦，则是他用科学的眼光去观察了这场风暴，然后他突然发现自己已经变得像超人一般，无法被其所伤了。并且，在熟悉了风暴的规律之后，他获得了一把钥匙，这把钥匙可以打开大自然的宝库。第三个则较文艺一些，我们的绅士笛卡尔正深情的朗诵奥索尼厄斯 (Ausonius) 的诗句：“我将遵循什么样的生活道路？(Quod vitae secatabor iter?)”。

很显然，笛卡尔的第二个梦显灵了。钥匙打开了宝库，里面的宝物是现在所有科学的真正基础。此后，1619年11月10日被公认为解析几何的诞生日，因而这天也就成了现代数学的诞生之日。-----虽然笛卡尔把这个想法公诸于众，还要等上18年。

在这十八年之中，笛卡尔参加了很多战争。绝大部分不值得一说，但有三次对他的人生造成了影响。第一次是1620年春天他参加的布拉格战役。笛卡尔后来说这是他的第一次的“真正的战斗”。而且上帝保佑，他胜利了。在他进入这座城市之后，他认识了当时年仅4岁的伊丽莎白公主------当时英格兰国王的外孙女-----她后来成了笛卡尔最喜爱的弟子。

第二次则是与萨瓦公爵的血腥战斗。他在这次战斗中表现出色，被授予中将称号。但他拒绝了，讽刺意味的是，笛卡尔说他只是去寻找安宁的，可是他选择了另一种极不安宁的方式来实现。这也许就是大数学家的思路吧！最后一次值得叙述的战斗是，跟随法国国王围攻罗谢尔。----这也是笛卡尔一生的最后一次战斗，此时已是1628年。

所以，如果你选择喜欢一位身经百战、铁汉柔情的数学家，我们的笛卡尔绝对是其中代表。这点，他倒是多少有些像乔峰，而不是达摩祖师。不管经历了多少战斗，笛卡尔绝不是那种衣着破烂的兵痞；也不管有多少高深的思想，他也不是那种打扮邋遢的学究。他，笛卡尔，终其一生，都是衣冠楚楚、穿着讲究的上等人。

而且，他的绅士是出了名的。据说，有次在巴黎，在酒吧外面，我们的笛卡尔正身着时髦的塔夫绸，佩戴着一把与自己身份相称的剑，头上还带着一顶硕大的、宽边的、插着鸵鸟毛的帽子 -----这是那个时代最时尚最漂亮的打扮了。这时，有个醉醺醺的乡巴佬侮辱了笛卡尔身边的妓女。于是，我们愤怒的数学家三下五除二，就打掉了醉鬼的剑 -----但又饶了他的性命。而宽恕的原因是，这名醉鬼是如此的肮脏，以致于笛卡尔无法在一位美丽的女士面前杀死他。

笛卡尔是很喜欢女人的，这点和我们大多数男人一样。他甚至和一个妇女生过一个女儿，但那可怜的幼儿很早就夭折了。笛卡尔终生未婚。我们不知道具体原因，但据有个曾和他有婚约的女士说 -----这个女士是位胖胖的、富有的荷兰寡妇----笛卡尔是宁愿要真理而不要女人。那么基于男人的心理，更可能的是，笛卡尔是如此精明，他不会把自己的安宁和宁静，在当时的环境下抵押给这位胖胖的荷兰妇人。

在这18年中，我们要感谢战神。是他用不可思议的好运保佑了笛卡尔没有被任一颗流弹削去了半个脑袋，也没有让他的躯体遭受毁灭，没有让他的思想泯灭不然，我们的解析几何就要消亡在某条壕沟，或者躺在某个土丘上，留给下一个天才去发现了。而近几个世纪以来，这样的悲剧并不是没有上演过。

然而经过了多年的军旅生涯，笛卡尔内心还是极为平和和安静的一个人。这也正是他性格最重要的一点，是任何时候都不能忽视的------他一直知道自己要去干什么，他了解他的目标的重要性。对于自己的爱好，他是很有节制但又不强迫别人，而又不吝啬。总之，1628年，笛卡尔遇到了红衣主教德贝律尔(De Berulle)。正是后者把笛卡尔从无所作为的状态中唤醒，诱导他公开自己的思想。

当然，这里所说的诱导，可能也多少有点胁迫的意味，用得是一种我们现代人难以想象的工具-----强烈的宗教信仰。笛卡尔是个非常虔诚的耶稣会信徒，当德贝律尔主教说，你应当把你的成果和全世界分享，这是你对上帝应付起的责任，因为你的一切都是上帝给予的，如果你不这样做，那么等待你的，将是熊熊的地狱烈火。-----笛卡尔无法拒绝这样的说辞，他决定出版自己多年来一直思考的东西。他做了这个决定之后，他立刻回到了荷兰，着手准备出版工作。在那种寒冷的气候中隐居，对笛卡尔来说，正是思维上最好的状态。

此后20年里，笛卡尔在荷兰四处游荡。他得到了他所希望的安宁，以前的军人现在成了一个沉默的隐士。他通过梅森神父(Father Mersenne)-----如果你还记得笛卡尔中学时代的校长沙莱神父的话，梅森就是他的继任者-----与欧洲大陆的一些主要学者，保持书信上的联络。他们交换各种观点，包括数学、光学、神学及哲学。并且，在这期间，笛卡尔的兴趣广泛的惊人，他对物理学、胚胎学、解剖学、医学、天文观察学乃至气象学等等，全都进行了研究。这样加上他以前在巴黎得到的光学结果，他发现他确实取得了一些好的东西。只是，他还没有意识到，它到底有多好。

在这里，我要奉劝那些在今天，依旧试图把自己的精力分散到如此多的、性质不同的学科上的人，这样做只能使得你成为一个无事穷忙的半瓶醋。笛卡尔所处的时代，给予他这样的机会和幸运 ----而他也一直是幸运的，无论从各方面来讲。哪怕在他离开战场之后，曾经有一次，他差点被一群海盗所劫杀，但上帝保佑他听懂了海盗的密谋，于是用剑打败了他们。我们的解析几何，又一次逃脱了谋杀和突然死亡的厄运。

到了1634年，他在荷兰隐居的第6年，他的著作《论世界》已经接近最后修改的阶段。笛卡尔预备把这当成献给梅森神父的新年礼物，而整个巴黎的学界，都急于看到这本著作。然而教会这个时候对伽利略的审判，让笛卡尔畏缩了。伽利略此时已70高龄，而且众所周知，他与托斯卡纳公爵(Duke of Tuscany)交情甚厚。但他还是因为坚持哥白尼的日心说，被送上了宗教法庭，并且当众下跪。

笛卡尔的著作不可避免的牵涉到哥白尼的体系----任何一个真正做出了结果的科学家都知道哥白尼是对的-----而且书里的结论甚至比伽利略他们所说过的一切都更大胆。笛卡尔于是决定暂缓他的出版。但他不仅仅是害怕-----任何精神正常的人都会害怕-----他是被深深的伤害了。

每一个大数学家都对自己的结果深信不疑。这种自信虽然并不一定带来好运，例如它就让柯西曾经在费马大定理的证明上出了一次洋相，然而这也说明他们都是非常自信的。事实上，笛卡尔对哥白尼的学说深信不疑，就像他相信自己的存在一样。而另一方面，他也坚信宗教法庭的绝无谬误。所以，这种内在的矛盾就深深的刺伤了笛卡尔的自信。

他曾有一大段时间，努力想从自己的哲学中找到一种和解的方法。然而他意识到无论如何，即便使用诡辩，他也没法同时拥有教皇和哥白尼，但是他也没有办法放弃任何一方。所以为了抚慰自己的自尊心，笛卡尔决定把《论世界》的出版推迟到他死后。他一定是潜意识里觉得，也许教皇也死了，那么矛盾就消失了。

解析几何一直处在内心的煎熬中，直到1637年，此时笛卡尔已经41岁了。朋友们成功的说服了他，于是笛卡尔决定出版自己的杰作。于是，6月8日，《屈光学》、《气象学》、《几何学》，以及《关于科学中正确运用理性和追求真理的方法论的谈话》全部公诸于世了。令人惊讶同时也欣慰的是，笛卡尔原以为会与他作对的教会，倒是开明的像个童话。在黎赛留红衣主教和奥兰治王子的支持下，笛卡尔不仅获得了在法国及其他地方出版任何东西的权利，也继续了他在荷兰的安宁生活。

现在我们可以来看看笛卡尔到底对数学做出了些什么。不错，他在哲学中做出了巨大的贡献，在实验方法的发明中也拥有辉煌的地位，可是这一切依然还是要让位于他在纯数学的伟大工作。极少有人能独自刷新人类思想的一个完整的方面，笛卡尔就是那极少数中的一个。这个贡献是如此的杰出，但同时又极其简单而令人注目----这也正是数学和其他艺术品的一个共同点。

为了不使这种伟大的简朴而失色，我们对笛卡尔的发现单独的予以简短的叙述。在平面上放置任意两条相交的直线。不失一般性，我们设它们互成直角。现在，这两条直线就构成了【轴】这个概念。两条轴相交于【原点】的地方。那么现在，我们就能通过一个【数对】，来唯一的确定任何一个点相对于轴的位置。这个数对表示了这个点到底落在某根轴的东还是西，而同时是在另一个轴的南还是北（这实际上有4种可能）。那么，这个数对就叫做【点的坐标】。

现在假定有一个点在任意一条曲线上移动。那么这条曲线上的所有点的坐标(x,y)，就与一个【方程】联系在一起。这个方程就称为【曲线的方程】。你可能要问？知道方程有什么用呢？回答是太有用了。我们就可以通过研究同类型的，更具普遍性的方程，或者巧妙的处理手头的方程，然后把通过代数研究而得到的结果，还原到图形、曲线以及曲线上点的坐标，而得到相对应的结果------例如图形的几何性质、具有普遍性的几何定理等等。

如此一来，我们可以通过代数来学习、研究甚至发现几何了。与希腊几何那种类似蛛网般错综复杂的线相比，代数更容易表达。这个方法真正的力量在于，从此在理论上，我们可以从任何复杂度的方程出发，从几何上说明它的代数和解析性质。反之亦可。这样，几何和代数就不再是人类在真理之海探索的的两条木筏了，他们合并成了一条更平稳更深刻的帆船。这条船就叫【解析几何】。

而且，对于这一切，只消一步就能能扩展到任何维数的空间-----虽然那些高维空间并不存在于日常生活中，但它常出現在数学家的头脑中，并且因为普遍性，而永远成为他们最感兴趣的空间之一。例如，对于平面，我们只需要2个坐标。对于通常的立体空间，3个便足够了；对相对论的几何，需要4个，对于那些高维的，我们既可以有 1，2，3。。。n这样多个，甚至还可以有直线上所有的点那样多个坐标！

这就是笛卡尔的贡献。他再造了几何学，使得现代几何乃至现代数学成为可能。笛卡尔的同胞，数学家阿达玛(Jarques Hadamard)这样说道：“数学科学的研究对象的全部概念，发生了彻底的变革，直接促成这一变革的是笛卡尔本人。……笛卡尔完全知道他所做出的发明的重要性。他夸口说，就像西塞罗(Cicero)的修辞学超过了ABC一样，他到目前为止，已经超过了他之前的全部几何学。他这么说是正确的。”

在结束笛卡尔的章节之前，我们再来看这位绅士生命末期的生活。在出版了自己的思想之后，笛卡尔已经收获了大量的赞誉和名声。而当他在荷兰海牙附近的一个小村庄，享受自己舒适愉快的隐居生活时，他遇到了被放逐的伊丽莎白公主。我们无法知道，当时到底发生了什么，唯一确认的是，伊丽莎白坚持要笛卡尔给她上课。笛卡尔的贵族作风和教养，使得他从来没有能力拒绝任何皇室成员。

笛卡尔可能对这位年轻的公主有了感情，但是他没有向她求婚。他虽然写给在公主的信中，措词真诚而谦卑，然而他还是不愿放弃自己的安宁。伊丽莎白离开荷兰之后，他们的通信一直持续到笛卡尔去世。

然而笛卡尔注定一生要寻找安宁。他的冥思般平静的生活，在1646年被瑞典的克里斯蒂娜女王(Queen Christine)彻底打破了。她强烈的渴盼笛卡尔能去寒冷的北欧亲自教授她知识，任何知识。笛卡尔一直拒绝着，然而最终他在1649年屈服了。女王派出了海军上将弗莱明(Admiral Fleming)开着军舰来接他。笛卡尔告别了自己的隐居圣所，永远的离开了荷兰。

他在斯德哥尔摩收到了最热烈的欢迎。然而，女王对真理的渴求，导致她忽略了笛卡尔的身体状况。这就是历史上好心办坏事的最典型例子之一。克里斯蒂娜每天早上5点就要我们的数学家给她讲课，全然不顾北欧的严寒对笛卡尔这个年纪的人来说，可以说是致命的。笛卡尔很快就后悔了，他发现女王的精力旺盛的简直吓人，同时领悟力也是他这个智力水平的人所不能容忍的。据说有一次，笛卡尔目瞪口呆的发现，自称古典学者的克里斯蒂娜正在跟希腊语的语法搏斗，而这是他儿童时代就掌握了的。

笛卡尔现在真正怀念以前的平淡生活了，他在1650年1月的时候曾向女王陛下恭敬而诚挚的请辞，结果是毫无悬念的被拒绝了。不久，他染上了肺炎。2月11日，笛卡尔在对上帝的祷词中平静的去世了，享年54岁。他终于得到了他追求一生的安宁，在寒冷的北欧。

然而在他死后，反复无常的教会把他的书列入了《禁书目录》。这一举动，使得17年后，笛卡尔的遗骨运回法国，葬在先贤祠的时候，甚至没有进行公开的演讲，来纪念我们现代数学的创始者。

让我用贝尔的话作为这一章的结束：“笛卡尔并不是修正几何，他创造了几何。”