继续扯南山盖北海。尽量不跑题，回到郭汉英对相对论基础的工作。爱因斯坦在完成引力理论的几何表述而封神达到和牛顿平起平坐的高度后，就一直对几何的美感念念不舍。他老人家时不时就强调他的信念：物理世界的基本结构是几何的。当然这只能说是一种哲学和美学上的信念，而不能说是科学上的，因为这是不能证明或者证伪的。不过这种信念却能影响甚至左右一个人选择什么工具去描述物理世界，而爱因斯坦恰好选择了被人淡忘的 Gauss 和 Riemann 师徒等开创的曲面分析，从而获得了空前的成功。但也正因为这种信念，老爱在后来的统一场论上越陷越深（试图将电磁力和引力一同纳入几何框架的尝试），几乎可以说是一事无成。当然，爱因斯坦的执着也影响了数学大师外尔。老外因为要求曲面分析最基本的算符：微分算符协变，从而提出了规范场的理论。从数学观点看，规范场无非就是联络。规范场后来对物理的影响，那可是根本的。

既然爱因斯坦教导我们，物理世界的结构应该是几何的，那我们就从几何的观点来看看我们的物理世界。我尽量不用比较专门的术语，尽量说得通俗易懂，看行不行。

首先我们问个问题：直觉上，根据我们的经验，我们的世界是一种什么样的几何。我想绝大部分人会说，是欧几里得空间。当然有物理背景的人会说，根据狭义相对论，不是欧几里德的。但，我们先将狭义相对论撂一边，先让它见鬼去。谁让我们都是哲学家呢，是不是。

所以直觉上我们的世界是欧几里德几何的，对么？其实这话不对，只对了一半。严格说来，我们这个世界的空间是欧几里德几何的，但时间不是。如果你将时间和空间一起来考虑，这个四维时空显然不是欧几里德的，因为时间和空间的任何一维都根本不一样，例如我们的电脑可以在空中乱飞而不改变形状，这显然和时间无关。时间和空间只有在你试图计算速度和加速度等时才会有联系，但这种联系似乎是唯心的概念，因为你不去计算速度，时间和空间就完全是各玩各的，对不对？

看起来是对的。所以我们若将时间和空间一起考虑，我们的几何就不是我们了如指掌的欧几里德几何，而是一种称为伽利略几何的几何。伽利略几何是一种非欧几何。别觉得非欧几何很神秘，这里你就遇到了一种，对不对。

有人会说，天，太复杂了。其实这种说法又错了：伽利略几何比欧几里德几何简单。大家之所以觉得它复杂，无非是因为对它很陌生而已。伽利略几何比欧几里德几何简单的理由很简单：时间和空间没啥联系，各玩各的，鸟不相干。欧几里德几何可不是这样，例如直线的长度就是 sqrt（x^2 + y^2 + z^2)，三个维度搅合在一起，很烦的。伽利略几何中的圆，就等价于欧几里德几何中的直线，你说直线简单还是圆简单？呵呵。

伽利略几何对应的力学，大家都知道，就是牛顿经典力学。在牛顿经典力学中，时间和空间各玩各的，所以速度可以是0，也可以是无穷大，爱咋的就咋的。两个惯性参照系之间的时空变换，称为伽利略变换，非常简单。这种变换形成一个群，称为伽利略变换群。群是个代数概念，但在物理中非常有用，例如晶格的分类。现代物理中群可起到了个核心的作用。为什么呢？原因之一就是群是研究对称性的工具。我们这个世界太复杂了，如果我们的体现存在某种对称性，其意义无非就是此时我们的体系有更少的自由度，对不对？自由度越少，系统自然就越简单。我们的物理世界是用拉格朗日量或者哈密顿量去描述的，一种对称性就对应一种守恒流，这就是著名的诺特定理（不是定律）。诺特就因为这个定理就使得她在数学上享有一种非常崇高的地位，基本上可以和希尔伯特，康托，哥德尔齐名。这个定理是物理学上最深刻的定理之一。它有多深刻呢？以前纵贯物理发展史上的能量守恒定律，动量守恒定律等，无非就是诺特定理的特例。

伽利略变换群，如果考虑动力学内容（亦即考虑系统的哈密顿量），总共有十个生成元，它们构成一种代数，称为李代数。显然，因为伽利略几何本质上是最简单的几何，所以伽利略变换群的李代数也是最简单的，因为时间空间了不相干，所以这十个生成元彼此之间的对易关系，很多都是 0.

这里有的同学纳闷了，说开始你不是说了尽量不用比较专门的术语么，这里为啥食言了？其实我是在为郭汉英的工作作个铺垫。咱们来看看郭汉英这种官科的“反相对论”，和民科的反相对论，到底有啥区别。在这里，群空间的生成元的个数是至关重要的，因为一个生成元就对应一个物理量（例如哈密顿量本身就对应能量或者时间），而按照我们的日常经验，我们的世界就算不是伽利略几何的（或者空间部分是欧几里德几何的），也应该和这差别不大，所以如果你的变换群生成元有二十个（而不是伽利略几何的十个），你就会面临别人的指责：你多出的那十个生成元是神马意思？你解释不了，别人就会说，噢，您好兴致，在大玩特玩数学游戏。您有木有兴趣建立一种有两维时间的“物理体系”？反正都是玩游戏。

因此，就算是诞生了不少菲尔兹奖的超弦理论（一种试图将玻色对称和费米对称捆绑起来的东西）只 claim 一维时间和九维空间（也有别的，这是最basic的），如果你说这是mathematics，别人可能不会说你啥，皱皱眉头就算了；如果你 claim 这是 physics，那可没完，因为依照我们的经验，我们的空间是三维的（注：我们这个宇宙空间是三维的，这基本上是可以证明的，其可靠性，按照我的理解，比能量守恒定律牛顿运动定律的可靠性大很多），你如何解释多余的六维空间？

开晚班，累了，暂时停笔。这里我将上次在 BBS 的留言拷贝下来，和这有些相关。
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忽俺也胡掰…感觉这个说法原则性上是错误的吧？
数学只负责描述，describe physics／universe，只是现在的 science 发展到现在这个程度，靠简单的经验归纳越来越没有市场了，这时运用复杂的数学工具才显得更重要，因为数学是robust的。但说数学是物理世界的根本，这显然不对，因为数学是主观的，可以和物理世界完全脱节，只要逻辑没问题就成。

广义相对论／引力理论算物理吗？应该算，因为现代的宇宙学就是建立在它基础上的。可本质上，广义相对论并不算物理，只是描述物理的工具。狭义相对论才算。现在有些非爱氏的引力理论（广义相对论）其实是保留了广义相对论描述的精髓（微分几何），而来些别的改变，例如将狭义相对论的闵-空间（算一种非欧几何）换成Riemann空间（不是微分几何的Riemann空间，而是一种非欧几何，和欧几里德几何一样算平直空间），从而取代狭义相对论，建立一套自洽的引力理论（国内的几何学家陆启铿院士就是干这个的，不过这idea不是老陆的）；或者你将狭义相对论换成牛顿经典力学（几何结构上算加力略几何，1 dim 时间＋3-dim的欧几里得空间），也可以得到一种引力理论。但这些都是 descriptive性质，因为它们（包括大名鼎鼎的广义相对论）并未解释引力是什么，也没有给物理注入新的内容。

类似的推广或者改写很多的，例如你将狭义相对论的Lorentz变换改为保角变换或者共形变换去研究，也可以得到许多结论，例如共形场论，好多大数学家（包括费尔兹奖得主）都以此成名。

卡拉比-Yau 流形之所以重要，是因为它和超对称联系起来，而超对称不过是人们将费米子和波色子两种不同的对称纳入一个大框架而已。如何纳入个大框架很难，最简单的办法就是扩充时空的维数，例如时间＋9维空间，等。你看到这里的“最简单的办法”了么？就算超对称是一种物理上存在的对称，但super string theory是不是一种本质的描述都成问题，因为so far因为人类的无知，还找不到更好的描述方法，只能走扩充维数这种办法。而卡拉比-邱流行不过是在super string中扮演了某个重要角色而已。卡拉比-邱流形之所以重要，是因为咱们这个世界的空间是三维的（而不是九维或者26维or what ever），所以super string理论中额外的六个空间维数必须“坍塌”成普朗克尺度，kalabi-yau manifolds能保证这个坍塌过程中 super symmetry得以维持。

（待续）