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闲着无事，再来灌一桶水。灌水嘛，自然以东拉西扯、海阔天空为上佳。这里我准备从芝诺悖论扯到民主法治。

上次我转载了应时行先生的博文：芝诺悖论解决了吗？（ZT，by 应行仁。半出乎意料的是那篇文章引起了大家的热烈讨论，那些讨论有两条很明显的主线，其中一条是和运动、空间和时间分割、普朗克尺度等相关的，另一条更大的主线，是和集合论、无穷大（实无穷、潜无穷）以及数理逻辑基础相关的。这里我们继续第二条主线。至于第一条，虽然很难说这有什么不妥，空间和时间分割、普朗克尺度等都是大得吓人的概念，但我难以看出芝诺悖论和普朗克尺度存在着值得讨论的联系。

通过第二条主线，许多鼻子比较灵敏的人会嗅到，原来我们引以为傲的数学大厦其实可能并不牢固，我们对无穷大的认识其实还很肤浅有限。正统的数学教科书告诉你，一个收敛的柯西序列就是一个实数，但毕达哥拉斯学派却又反对说，1 > 0.9999……，而非毕达哥拉斯学派的人却又说服不了他们。我们算极限时，我们从不写变量 n = $infty$，而是写 n -> $infty$，因为我们不知道 $infty$ 到底是啥意思，而 n -> $infty$ 中的 n 却是个数，它可以任意大，但它却是个有限的数。我们在运算中总是以一个任意大的有限数去表示无穷大这个有点悬乎的概念，从而成功地避开了关于无穷大本质的争论。这个刻意避开之所以为大家接受，无非是因为目前的计算是 robust 的，没有引起混乱。人类的能力太有限了，我们知道我们存在根基可能不稳的问题，但我们没办法。这时实用主义就会出台：好吧，在具体计算中让我们用任意大的有限数代替无穷大。

然而即使我们如此这般妥协，我们对无穷大的理解其实还是很肤浅的。数学是定量的，是应该精确无歧义的。在这个约束下，数学家远不能像诗人那样海阔天空。有些诗人其实是文盲，但他海阔天空一把，只要没有什么错别字，帖子就可能奉为精华。数学家不行，他们受困于经费，束缚于逻辑与自洽，不得不小心翼翼，步步为营，每前进一步就环顾前后左右同行的颜色，生怕哪里出了岔子被同行戳着背脊骨骂。因此诗人即使多愁善感，那也是主动的、自讨的，因此往往是热情奔放的；数学家的多愁善感，则如同小媳妇般，一半是小心翼翼，一半是郁闷难遣。因此数学家得偏头痛的比例比较高。如果哪位数学家郁闷了，你在旁边不动声色地称他是诗人，他会很高兴的，哪怕现在诗人多于恒河的沙粒，不值几分钱。

言归正传。我们看到，如果要求数学家遵守逻辑和精确，那他们就比诗人渺小很多。如果受限于精确和逻辑，他们只能玩点像扯皮推诿类似的1-1对应游戏，来给无穷大的等级分类，这还幸亏有个被证明了的伯恩斯坦定理：任意集合和它的幂集之间不存在1-1对应。也就是说，任意集合的幂集的基数（也就是集合元素的数目）大于这个集合的基数。

因此实数的个数比自然数多，因为实数是自然数的幂集；因此如果记自然数集合的基数为 A0，实数集合的基数为 A1，那么 A0 < A1;
因此定义在实数上的所有函数的数量比实数多，因为所有函数的集合是实数集合的幂集。如果记函数集合的基数为 A2，那么 A1 < A2……

数学家很厉害，是吧？欧几里德知道的最大的数是一万，他的学生阿基米德费了九牛二虎之力，写了两本专著，才证明了最大的数不止一万，而是比一万大很多。而咱们现在呢，将1-1对应当成咱们的方法论，就能给无穷大分等级，例如 A0, A1, A2……数学家有理由去陶醉甚至去自恋，对吧？可能……于是他们继续玩游戏：有没有那么一种无穷集合，其基数 A_0.5 比自然数多但比实数少呢，亦即 A0 < A_0.5 < A1? 希尔伯特开始觉得没有这样的集合，但后来大家觉得老希只说对了一半。“正确答案”是，你觉得有就有，你觉得没有那就没有，你爱怎么整就怎么着。

还有诸如此类的古怪问题，例如最小的无穷集合大约就是自然数集合 N 这样的可数集合，对吧？但，如果你假设有那么个集合 M，其幂集的基数恰好就是 C(N) = A0，那么因为 N 是 M 的幂集，所以 C(M) < C(N)=A0；但 M 显然是无穷集合，所以 C(M) >= A0 = C(N)，对不对。这可矛盾了。你自然可以粗暴地认为 M 不存在。但你能解释 M 为什么不能存在么？

一头雾水是不是。这时诗人就会携手万能的耶和华出来嘲笑数学家，因为耶和华能力超强，他老人家理解处理无穷集合就像你们数学家处理有限集合一样得心应手，根本就不会出现这样稀奇古怪的结论。你们数学家太次了，除了从1-1对应这样类似于原教旨主义一样的东东出发，你们能干什么？充其量就给无穷大分了几个等级，而且还分得乱七八糟，让人心生鄙夷。

因此数学家是世界上最唯心的一群人。他们的公理是主观的，他们别的出发点也是主观的，他们的定义和概念也是主观的。没错，他们的定义，例如三角形，看上去是客观的，但那无非是讨好我们读者。如果他们将三角形定义成时不时形变的东西，我们就会一头雾水，他们在我们心中就没法建立起声望，我们就不会拿钱去养活他们。物理学家们好点儿，因为他们的东西需要经得起大自然的证伪。他们的结论必须是客观的，但他们可以在别的地方捣鬼，例如描述方法上，变得很主观，就如同引力波很可能是客观的东西，但广义相对论却是个主观的东西。还有，物理中几个最基本的原理，例如协变原理以及最小作用量原理，其实也是主观味道十足的东西，因为谁也没法解释你为什么要选这样的原理作为其的出发点。还有物理学中的核心概念哈密顿量也是这样，因为物理学家的数学手段有限，他们 handle 不了辛几何之外的东西，因此他们只讨论位移以及动量这样的东西，连加速度和力也不考虑，因为他们 handle 不了。他们宁可将哈密顿量弄成十分复杂的非线性形式，也不肯改变其简单的线性结构（共轭变量对）这种表述。这不是主观又是什么。我呸。

（注：刚才准备一口气码完的，但我罗嗦的毛病又犯了。今天是码不完了，暂且搁笔，明天继续码，切入主题：从集合论的观点看，为什么我们需要民主和法治。
得去小平了，评论关闭，谢谢来访）