我們先介紹一下初等數學中的圓錐曲線，也就是我們中學裡學的平面解析幾何中的二次曲線：橢圓，拋物線，雙曲線。這三種曲線之所以被稱為圓錐曲線，是因為古希臘數學大牛阿波羅尼斯，他老人家用平面去切圓錐，隨着平面的位置不同而分別得到三種曲線，見下圖（from wiki 百科），分別對應拋物線，橢圓和雙曲線。其中拋物線是比較特別的，它要求平面和圓錐母線平行，這種特別情形恰好界定了橢圓和雙曲線。

阿波羅尼斯可是個圓錐曲線領域罕見的集大成者。在在世時幾乎將圓錐曲線的所有重要性質一網打盡，以至這個領域以後一千多年沒有本質的進展，直到哲學家笛卡兒發明了解析幾何為止。

大家知道，科學的本質雖然是歸納的，但是使得科學變得 robust 的原因，卻是演繹推理，從這個意義而言，說歐幾里德和阿基米德師徒創立的公理體系是現代文明的搖籃，一點都不是謬讚。歐幾里德幾何依賴五個公設，其中第五公設是：
            過直線外一點，恰好可以作一條直線和這條直線平行。

歷史上許多數學家在思考這第五公設（具體從略）。後來俄羅斯的羅巴切夫斯基和匈牙利的鮑耶分別獨立發現了第一種非歐幾何：羅巴切夫斯基幾何，它將這條公設改為：
            過直線外一點，可以作無數條直線和這條直線平行。

高斯可能也獨立發現了這種幾何，不過鑑於高斯的保守，他沒有發表他的結果而已。在極端情況下，羅巴切夫斯基幾何（也稱為雙曲幾何）的三角形周長是無窮大，內角和等於 0.後來高斯的學生黎曼將第五公設改為：
            過直線外一點，不能作任何直線和這條直線平行。
從而得到另一種非歐幾何：黎曼幾何，或者稱為橢圓幾何。橢圓幾何比較直觀的表示可以在歐幾里德球面上實現：例如直線就是球面的大圓，因為大圓都是相交的，所以橢圓幾何里事實上沒有平行線。

平面幾何有兩個重要的概念：長度和角度。這兩種非歐幾何和歐幾里德幾何的角度測量是一致的，同屬“橢圓型”，取正值，但平面的曲率卻可以為正值（橢圓幾何），0（歐幾里德幾何）或者負值（雙曲幾何）。也就是說，這兩種非歐幾何和歐幾里德幾何相比，多了一個參量：曲率。歐幾里德幾何恰好是曲率等於0的情形，相當於兩者的“臨界點”，就如同拋物線和橢圓和雙曲線的關係一樣。

這裡，概念上必須要強調的是，儘管我們將這個參量稱為“曲率”，但並不是說橢圓幾何和雙曲幾何是彎曲的空間，相反，它們和歐式幾何一樣，屬於“平直的空間”，只不過我們用歐氏空間去表示它們，我們需要個多餘的參量，而這個參量被稱為曲率而已。

類似的，關於角度的測量，也有“雙曲型的”，這樣，根據對長度和角度測量的不同，我們有多中非歐幾何，見下表：

圓錐曲線中最簡單的就是拋物線，加利略幾何學對應於拋物-拋物的情形，所以它本質上是最簡單的幾何。黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何事實上最複雜，因為它們多了個參量。

好，下面我們來看如何推廣或者改寫狹義相對論以及廣義相對論，這正是郭漢英等人的工作。老愛說，物理的結構本質上應該是幾何的，我們來看看這句話到底是什麼意思。

考察狹義相對論。前面我們說了，我們對時空的直觀感覺就是時間和空間彼此是獨立的，其一個推論就是，速度可以是0，也可以是無窮大。但，慢着，如果萬一時間和空間彼此不完全獨立，它們之間存在個制約關係，那會如何呢？這種可能性看上去很荒謬，但理論上卻是可能的。這雖然有悖於我們的常識，但也可能是因為這種制約通常很弱，我們一般覺察不到而已。我們先不考慮其後果，只想想這種可能性是不是存在。數學大拿歐拉曾經有句名言，大意是，因為我們這個世界是有限的，所以就必定存在着極大或者極小的道理。從哲學上看，我們並沒有理由事先假設這個宇宙是無限的，對不對？如果這個宇宙是有限的，那麼假設某個東西從宇宙的這個個地方不花任何時間就能跑到另外一個地方，看起來有些荒謬，對不對。咱們的宇宙都有限了，你在裡面運動卻可以不花時間，很不夠意思，對吧？

因此，從直覺上去考慮，這個宇宙根本不存在什麼無窮大的速度，是有道理的。因此我們可以來個合理的假設：速度存在個上限。當然，這個上限在不同的時間不同的地點可能是不一樣的，但我們至少有理由相信，在某個時空點的局域空間，亦即平直空間，這個速度有個上限。hmm……速度有個上限意味着什麼？意味着很多，因為這意味着，時間和空間是不能彼此獨立的，而是相互制約的，否則的話，這個速度就可以是無窮大。空間和時間如何彼此制約我們不知道，可能存在不同形式的制約，例如這裡可以通過速度去制約。速度，也就是空間對時間的比值，可是個清晰的概念。當然，說不定還有別的制約，例如空間對時間的積分，或者平直空間的空間和時間的乘積，也有可能存在個最大值呢，對不對？不過時間和空間乘起來，就算存在個最大值，但它到底是啥意思，比較深奧，先略去不談。老愛教導過我們，在我們這個世界裡，沒有任何概念是先驗的必然的，唯一決定這個概念生存權的，就是它和我們這個物理世界有沒有單一的沒有歧義的聯繫。因此這裡我們先考慮速度存在個極值的情形。速度是啥意思，我們基本上都懂，對吧？

大家知道，存在個速度上限得到了邁克爾遜-莫雷實驗的支持。這個實驗可能是人類歷史上最重要的實驗。所以現在的問題來了：既然存在個最大速度，那麼空間和時間必定會互相制約，耦合在一起。很可能，因為我們假定的是速度存在上限，這種耦合可能和速度本身有關。至於是不是這樣，我們心裡沒底，得請數學家幫我們看看，到底應該如何制約。

那時數學最厲害的，除了希爾伯特，就是龐加萊了。事實上，龐加萊早就告訴大家，這種耦合是通過一種現在叫做洛侖茲變換的方式實現的。顯然，我們這個世界的真正的幾何，並非是伽利略的（一維時間+三維歐幾里德的），而是另外一種空間。這種空間稱為閔可夫斯基空間，它也是一種非歐幾何。它的複雜程度和歐幾里德幾何一樣，比伽利略幾何複雜，但比黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何簡單。

有的同學可能會問，這裡你假設了速度存在個最大值。如果你假設速度存在個最小值，會如何呢？先不考慮有沒有實驗的支持，只大體上看看這個假設會帶來什麼後果。其後果就是，我們這個四維時空的幾何，居然是歐幾里德幾何！區別只是，這時我們的物理世界不能是整個時空，而只能是其中的一部分，就如同狹義相對論的物理區域也只能是整個時空的一部分一樣。只不過極大極小兩個假設不能同時成立(在合理的 assumption 下），而我們知道極大是有效的，所以結論就是：我們的物理世界四維時空不是歐幾里德的也不是伽利略的，而是閔可夫斯基的。

好了，我們將我們的幾何體系 expand，就會有如下的列表，這些幾何當然都是平直空間。

類似的，洛侖茲變換對應的變換群稱為洛侖茲群，其李代數的生成元也恰好有十個生成元，分別對應十個物理量：能量，動量（三個方向），角動量（三個，對應三個歐拉角），以及三個方向上的增速效應。或者用更加對稱的說法，時空四個方向（能量+動量)，四維時空共六個轉動角動量，只是因為時間特殊，我們區分開來說而已。

好了，從上表可以看出，如果我們真正的物理空間是閔可夫斯基空間，而我們要對相對論進行拓廣或者批判的話，那就應該從閔可夫斯基空間出發，對它進行修正，批判或者拓廣。狹義相對論對應的平直空間是廣義相對論曲面幾何的局域平直空間，所以修正狹義相對論就同時修正了廣義相對論。也就是說，鑑於存在多種看起來合理的推廣方法，那麼，通過分析愛因斯坦的引力理論（廣義相對論）所遇到的挑戰和困難，反過來也可以給大伙兒如何挑選拓展狹義相對論進行指導。

方法一：對洛侖茲群（也就是狹義相對論）進行拓展。鑑於洛侖茲群有十個生成元或者說物理量，拓展的群最好也有十個生成元，洛侖茲群是其一個子群。大家知道，這就是著名的龐加萊群。龐加萊群事實上不是龐加萊引入的，而是閔可夫斯基引入的，很溫馨是不是？

方法二：用一種非歐幾何代替閔可夫斯基幾何，但在特例情形下，它必須退化成閔可夫斯基幾何，也就是說，新的狹義相對論必須在特例情形下還原到普通的狹義相對論。從上表中的閩氏幾何出發往上走，是伽利略幾何和歐幾里德幾何，這不行，因為我們的物理發展是從伽利略幾何到閩氏幾何的，我們不能開歷史的倒車。所以，和閩氏幾何最“近”的幾何，就是類似於從歐幾里德幾何出發，引入正負曲率分別得到黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何一樣，我們這裡也得到兩種新幾何：德西特（de Sitter）幾何和反德西特幾何，分別擁有正負曲率。

因此，如果說愛因斯坦/洛侖茲/龐加萊等人的狹義相對論只包含光速一個參量的話（從幾何角度而言，參量光速的存在使得物理空間是閩氏的），德西特和反德西特空間就存在兩個參量（c，r），這裡 r 是曲率半徑，也就是曲率的倒數，顯然這比閩氏幾何複雜。閔氏空間對應的變換群，洛侖茲群有十個生成元，對應十個清晰的物理量，但德西特和反德西特空間則有十四個生成元。

歷史上，de Sitter本人就拿 de Sitter 時空觀和愛因斯坦唱對台戲，不過愛因斯坦卻對此不屑一顧，認為這不是物理。但 de Sitter 卻無行我素，繼續給愛因斯坦添堵。而且沿着這個 approach 添堵的人有不少，其中就有郭漢英。基本上可以說，郭漢英是大陸曾經de Sitter時空最主要的繼承者。所以大家看到民科李子豐教授和官科郭漢英教授的區別了麼？郭漢英懂相對論，而李子豐壓根沒挨到邊，一個笨蛋而已。

當然郭漢英在這方面的工作，並非只是在狹義相對論這個層次，而是在新的廣義相對論上（based on de Sitter spacetime）重新描述宇宙的一些現象，例如熵和溫度，等。在傳統的物理學中，熵和溫度雖然本質上是統計概念，但並沒有別的物理量可以很好的取代它們，但在 de Sitter 引力中，因為de Sitter 時空有額外的自由度（de Sitter 變換群有十四個生成元），這些額外的自由度拿來去解釋別的物理量，至少數學上是可能的。至於這是不是 valid physics，那就看你如何看了。著名的大師費米就曾經對用額外的參數描述物理嗤之以鼻：“我記得我的朋友約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）曾經說過，用四個參數我可以擬合出一頭大象，而用五個參數我可以讓它的鼻子擺動。”

率先將 de Sitter 的引力論引入大陸的，其實是幾何學家陸啟鏗和華羅庚院士，特別是陸啟鏗，他在中國做了奠基性質的工作。隨後郭漢英成了陸教授最重要的合作者。當然，這些東西很難說是 valid physics，也正因為如此，何祚庥才敢刁難郭漢英，例如阻撓他評選院士。郭漢英臨死前還在為 de Sitter 引力呼籲，鼓勵年輕人不要墨守成規，也不知到底是為了什麼。

方法三：共形變換，亦即 conformal 變換。龐加萊群是共形變換群（所以洛侖茲群也是）。電磁學裡的麥克斯韋方程組也是共形不變的，量子電動力學的 Dirac 方程也是共形不變的，如果不含質量項的話。這東西比較麻煩，我也不怎麼懂，具體就免談了。這裡之所以提及，是因為這也是郭漢英研究的主線之一。據說共形變換群在二維情形下和 super string有密切的聯繫。當然這些東西很難說是 valid physics，不過一旦它們有跡象成為 valid physics，這就會是驚天動地的成就了。