1)
近來比較忙，沒怎麼留意博主們的動向。這不，前幾天見久不露面的思羽MM碼了篇文章說什麼漢語和滿大人來着，心裡一高興，就冒冒失失地一個跟頭扎進去，留了個言，結果差點兒沒一個跟頭栽出來。怎麼也沒料到思羽和沐嵐兩位居然在鬥氣。天！這友誼的小木筏說偏就偏，愣地不知去繞，去學那淙淙泉水繞過礁石嗎？好在這友誼的小木筏就晃了幾下，儘管一旁還有幾位男同學莫名其妙地在灌水起鬨，但小木筏總算沒翻。根據網絡RP守恆定律，這一定和兩位MM平素的大度有關吧？我不知道，因為相關的因素太多了，例如鼓鼓的荷包。這人要是有錢了，鬧彆扭起來就自覺更有底氣。男同學尤甚：顯然的。

兩位MM為什麼鬧彆扭不太清楚，但好像和一位姓斯的德國哲學家有關。大家知道，哲學俗稱折學，本來就繞；大哲學家談哲學，自然就繞得更多更大更上一層樓，因為他們得維護其卓絕的聲望。這是因為，萬一名牌哲學家說錯了，因為他們說得很繞，所以他們就有更多的迴旋餘地，說不定還可以趁機指責別人讀不懂。這位姓斯的折學家呢，如果光繞也就罷了，偏偏還不務正業，借談哲學的幌子販賣民主和數學，結果將一位性情直率不繞的、另一位性情剛直不阿的MM搭進去不說，順帶還將萬維幾位數學家和民主學家惹火了。中秋剛過完，天氣本來就時冷時熱，讓人防不勝防，何況有的同學中秋佳節請客時因為忽視初等數學，導致計算出了差錯，虧了本。

2)
受過高等教育的才子因忽視初等數學而吃虧的例子不勝枚舉，因此有些機警善於捕捉商機的才子就反其道而行之，重視初等數學，從而一舉成名，甚至享受國務院特殊津貼。我見過的因研究初等數學而一舉成名的最佳例子，是某位姓黃的大拿。據說這位黃姓大拿早年受過良好的德育教育，因此鼓吹吃大鍋飯，愛好文革。以前因為看了許多火箭發射失敗的新聞報道而痛心疾首，因而苦思苦想，發現根源在於人們對圓周率的誤解，因為對圓周率的值估算錯誤，導致發射火箭時搖擺甚至失敗，這其中最值得指着鼻子謾罵的罪魁禍首，就是古希臘的阿基米德阿老先生，因為阿老先生是世界上首位號稱將圓周率精確到小數點三位的人；而且更可惡的是，他的研究導致後世數學家得出了圓周率是無理數這樣的錯誤結論，因為圓周率的值是3.2，是個有理數。為了證明圓周率是有理數，黃同學不惜血本買了一台非常精密的天平，通過測量A４紙張及其內切圓的質量，而得出了這一非凡的科研成果，並且自費出版了一本 200 來頁的專著。

重視初等數學在萬維有着優良傳統，特別是在bbs論壇，象靈機一動班主真實話語、貴賓妖妖等同學都是其中的好手。博客這塊，昨天新朋友心有靈機出了一組初等數學題，雖然簡單了點，但其意義在於在blog這塊點亮了重視初等數學的航燈。這讓我想起了很多年前，某同學給了我一個類似的題：用常見的數學符號連接四個９，每個數恰好使用一次，使得結果是 0-100 的各數。基本上是勢如破竹，從 0－100 很快整出來了，惟獨 94 是例外。它象土八路，追不上，甩不掉，咬不動，砸不爛。我苦思苦想了好幾天，就是整不出，將我牙齒恨得痒痒的。不久就是期中考試，神差鬼使似的，有道題竟然是用數學符號連接４個９，使得結果等於1997。看到題後我屏住呼吸，但抑不住眼睛放光，心道好傢夥，這題如果我整不出，別人希望也不大；如果我整出了，那我可能是班級單科第一名，不用說那是很光榮的......結果呢，我愣是沒整出，牙齒再度恨得痒痒的。交卷後，我懊悔不已地走出教室，逮着數學課代表，
   我患得患失地問：阿牛好，你做出那道 1997 的題沒有？
   數學課代表笑道：啊，牛？哪裡。那道題我木做出，你呢？
   我如釋重負地說：哎，我也木有。你是班裡數學最厲害的，你都沒做出，可見算偏題吧？
   數學課代表點頭：嗯諾。
後來數學老師訓斥道，做不出的題就是偏題？豈有此理。是你們笨，怎麼想不到用對數？

好吧，這題屬於苦力活，有些善於投機取巧的炒股大拿可能不屑一顧，那麼我給大家出個不屬於苦力活的題，這是以前在論壇BBS灌水時真是好玩同學出的題，大家不妨一試。只需加減乘除，連對數階乘之類都不要。這題有點繞，但並非腦筋急轉之類，而是實打實的計算和邏輯思維。

    一天，阿凡提伯伯拿出一套卡片，上寫從 2 到 100，共 99 個數，每張一個數。阿凡提隨機抽出兩張卡片，相加之後把和告訴A學霸；相乘之後把積告訴B學渣。當然，A學霸和B學渣都不知道對方的結果是什麼。於是有如下一段對話：

    A學霸對B學渣說：學霸我不知道那兩個數字是什麼，但是學霸我肯定學渣你也不知道。
    B學渣對A學霸說：學渣我本來不知道，不過學霸你這麼一說，學渣我就知道了。
    A學霸對B學渣說：那學霸我也知道了。

    阿凡提：阿拉伯伯隨機抽出的那兩個數是什麼？

3)
前不久我轉載了應行仁前輩的＂芝諾悖論解決了嗎？（ZT，by 應行仁）＂一文，大家討論熱烈，其中包括萬維第二大數學家閒人閒先生等名家。在討論芝諾悖論時，閒人將梯度散度旋度和相對論都搬出來了，比較高深，我看得有點懵。為了制止閒人教授在我那裡兜售高大上的學問，或者冷不丁地扯出西風漂流和霹靂舞，我於是靈機一動，給閒人教授出了幾個相關的初等數學題（略有改動）：

……所以我就臨時出幾個初等數學的題，向你請教，也就是幾進制。這裡我計劃向你請教四種進制：e-進制，0.5-進制，-2-進制，-0.5-進制。不要去狗答案，因為這是我昨天臨時出的題，online估計沒答案。一個數有幾進制表示，無非就是一種表示，不會影響它的本質，對不對。
先看 e-進制，這可能是這四個問題最簡單的。比方說，
   在2-進制中，十進制中的 2，就表示成 10；
   在8-進制中，十進制中的 8，就表示成 10；
   在2-進制中，十進制中的 1/2，就表示成 0.1；
   在8-進制中，十進制中的 1/8，就表示成 0.1；
這些沒問題吧？所以你開發的e-進制，用它去表示e，它就應該是10；e的平方就是100；用它去表示1/e，它就應該是0.1。這應該作為一種基本的要求。
現在給你幾個問題：

b）在e-進制中表示十進制中的100；
  p.s.：你知道某個數的本質是不會隨着幾進制的表示而改變的，就如同空間中的一個點，在不同的坐標標架下會有不同的數值，但它的性質卻不會改變，不能因為你選什麼坐標系它的性質就會改變，對吧？所以現在問題來了：你知道e是個無理數，但它在e-進制中它卻表示成10，這是個“整數”。這不是意味着e不再是個無理數？
c）在 0.5-進制中表示十進制中的100；
d）在 －２-進制中表示十進制中的100；
e）在 －0.5-進制中表示十進制中的100。
f）如何開發１-進制理論？

閒人教授才華橫溢，但惜乎秀才遇到兵，有理說不清，閒人教授在這組看上去略有點偏的題面前看上去終不得要領，於是決定無理取鬧，指責我道，你這幾題不僅屬於偏題怪題，而且木答案。這是典型的坑人。

4)
我坑人? 我是萬維資歷中老的博主，熟悉我的人都知道我不會出什麼偏題怪題的。為神馬？因為第一，我謙虛謹慎；第二，我仁慈善良；第三，我不會找誰借錢；第四，更不會借錢不還。顯然，我寧可委屈自己，也斷然不會出什麼偏題怪題。何況人生苦短，大家每年先得歷經嚴冬，然後一邊交苛捐雜稅一邊打腫臉充胖子笑着說這是光榮的義務，隨後還得苦挨酷夏。出偏題怪題，損人不利己，那是何苦來哉。何況這題太偏太怪的話，那可能會招致別人的數落甚至怒喝謾罵，效果無非相當於增加點熵，製造點混亂渾沌而已。世間本無事，庸人自擾之而已。不是嗎？偉大的波爾茲曼就被自己的熵理論擾得不行，再加上偉大的赫茲在一旁無情地數落擠兌，偉大的波爾茲曼果然拋不開那份落寞，潸然淚下，在孤獨彷徨中自殺了。

大家看看，比如說土星的光環，那都是些神馬？無非是些無知的蠢物，例如塵埃和冰漬，對吧？但我們這些自稱有智慧、有靈性的靈長目高級生物，卻好沒來由地主動放下身段和尊嚴，稱讚那些塵埃和冰漬等無知的蠢物真的好美麗端的好瀟灑。如果張三敢說土星的光環並不美麗，我們就會趁機嘲笑張三悟性差，木藝術細胞，說不定連那大專文憑都是靠舞弊混來的。

說不定真的是大道至簡呢。反正自愛因斯坦和希爾伯特之後，我們就越來越善於歸納簡單的原理，然後從這些簡單的原理出發，用演繹的法子構造出既美麗又輝煌的玉宇瓊樓。這甚至成了一種時髦。有些瓊樓其實是空中樓閣，但我們不在乎，因為它們看起來很美。我們已經解決了溫飽，所以好美就等於美好。人生旅途多是孤單枯燥、崎嶇顛簸的，乏味得很，我們需要給自己那顆孤寂得快乾涸的心兒一些兒滋潤，一些兒震撼。

記得以前有人在 BBS 討論曾經受過的數學基本訓練，例如做習題之類，大家多推崇蘇聯吉米多維奇編寫的習題集。吉米多維奇習題集有兩套，其一是供數學系學生用的，另一套是供工科類學生用的。前者無疑要難一些。其實對喜歡動腦筋的同學來說，可能有些同學知道，還有一套習題集要好得多，那就是由波利亞主編、舍貴協編的＂數學中的問題和定理＂（有漢譯本，書名大致如此，我家有一本，但可惜留在了長沙老家）。這套習題集的特點是，其問題都是一個系列一個系列的，彼此之間有關聯，每個系列有幾個到一、二十個問題不等，由淺入深。開始的問題很簡單，例如說涉及複變函數某系列的，開始可能就是算算簡單的導數或者簡單的留數什麼的，但系列後面的問題往往是數學研究的前沿問題，很難。因此你如果能大體上看明白某個系列，那絕對有種心曠神怡的感覺。吉米多維奇編寫的習題集屬於苦力性質的，波利亞的習題集才是名篇大作，因為它同時也是謀篇布局挺講究的教材。

5)
大家注意到了，在４）中我看上去海闊天空地羅里羅唆一堆，再看看標題，我是不是跑題了？可能，但其實沒跑什麼。這裡再回到問閒人教授的那幾個初等數學進制問題。如果在那幾個問題前我再補加幾個簡單的問題，例如（有些眼尖的同學可能注意到了，那裡第一個問題標號是 b）而不是 a））：

a1) 用 ２-進制表示十進制中的 100；
a2) 證明：如果十進制中某數的各位的數字之和能被９整除，那麼這個數也能被９整除；
   證明：如果十進制中某數的各位的數字之和能被３整除，那麼這個數也能被３整除；
a3）將 a2）推廣到任意進制，特別這個進制可能是象 -0.5 這樣一來的進制。

大家看到，a1) 實際上是圖森破圖那義務，對不對，a2) 也是小菜一碟。a3) 麻煩點，但 a3) 的麻煩是因為進制的基數是象 -0.5 這種有違通常直覺的基底，而不是因為推廣本身。這裡的問題 a) 連帶之前的 b) - f)，馬馬虎虎算個問題系列，雖然都簡單，但它們之間確有某種由淺入深的＂遞進＂關係，它們多少有點類似於三角函數和雙曲函數的關係，或者歐氏幾何和經典非歐幾何的關係（不是說有關，而是形式上的某種類似，特別是涉及到正負符號時）。如果誰真懂相對論，對這個應該是很敏感的。因此我草擬這個題，倒也不是完全無的放矢，儘管有點小題大作，因為閒人教授在芝諾悖論里確實在談論相對論。

還記得之前的一個熱點話題：引力波嗎？那段時間有幾個頻率很高的詞彙：引力波、(霍金的)時間簡史、相對論、時空彎曲，等。例如許多同學看了幾章時間簡史後，就依照網絡科普來點照葫蘆畫瓢，例如用時空彎曲去說明／證明引力波應該存在。其實這是不對的，因為引力波的存在根源是因為光速有限，而不是因為別的；只要這個根源是個客觀事實，無論你怎麼描述表述你的理論，引力波都會存在，充其量只是表敘方法不同而已。但時空真彎曲了嗎？不是的。時空談不上彎曲不彎曲，大家之所以說時空彎曲，那是在廣義相對論框架下說的，而廣義相對論整體上，從本質而言，並不是一種物理理論，而是一種描述／表述方法，例如它就從不回答也回答不了引力到底是神馬，它只是告訴你，你如果用微分幾何，你就能優美地表述引力而已。因此，時空彎曲是個因為引力的表述方法（微分幾何）的選擇而 derived 出來的名詞，它本身不包含物理信息，因此它當然就解釋不了引力波為什麼應該存在，因為描述引力，微分幾何（從而廣義相對論）並非是必須的。

有點類似的，物質的微觀結構現在用李群描述，但這不是必須的，但人類和上帝差太遠，咱們實際上是很笨的，沒有多少辦法去描述我們想描述的，再加上李群確實有效，所以它就 embed 到物理教材里去了。老愛之所以偉大，是因為他從很簡單的看起來很make sense的原理出發，發現了某種數學方法去描述物理某個分支，因為這種描述方法的很 robust （廢話，math 麼）很 powerful，它反過來左右支配了這個物理分支的進展。

這幾天芹泥、高鵬等人都陸續說了些故事，例如統計物理大哥大波爾茲曼，就被他自己創立的理論弄得精神崩潰。以前大家為個動能動量而爭得面紅耳赤，為原子分子存在與否鬧得不歡而散（波爾茲曼就因此而自殺）。現在呢，這些東西都可以在更基本的假設下合理地從數學 derive 而來，包括以前看起來非常基本非常robust的定律例如能量守恆定律，都無非是些推論而已。我們的描述方法越來越簡潔，越來越 robust，依賴的原理越來越少，而大千世界的複雜性則歸結到哈密頓量的複雜性里去了，但那不是描述方法的複雜。

因此，現在物理所依賴的數學方法雖然越來越複雜（again，這種複雜性很大部分原因可能不是因為它們本來應該複雜，而是因為我們人類太笨，只能如此罷了），但 build up 物理體系的基本原理卻是越來越簡單，越來越看上去 fundamental。例如你如果能順利地解答進制問題，那麼學明白初等的非歐幾何就沒問題，而這是理解同時性的關鍵。然後再加上協變原理和最小作用量原理（將能量守衡、動量守衡之類先拋一邊，這些是推論，更複雜一點的東西），這就足夠了。而這只需要很基本的知識。

大道至簡？Possibly。科學的本質雖然是歸納的，但我們越來越依賴演繹，也越來越鍾情於演繹。雖然科學受制於實證，但正如數學也需要受制於可能是先驗的邏輯一樣，在保證這個前提下，我們就可以天馬行空。因此數學的本質是主觀的唯心的，而物理的描述方法也同樣可以是主觀的、唯心的，而唯心的東東總是比唯物的西西更接近唯美。