命題的產生
我們想想，命題是怎麼產生的？需要怎麼樣去證明？

演繹證明某事肯定是這樣，演繹是從一般到特殊，只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。

歸納說明某事在實際上是有效的，歸納是從一些特殊到一般。

溯因推理是說某事可能是這樣。溯因推理是推理形式最弱的一種。

溯因推理藉助不完全歸納，預測成為一個命題叫做猜想（證明一個猜想是告訴你結果，讓你按照規則找出原因-過程的必然性，把道理講清楚）。

歸納只能預測，不能證明。

我們證明一個數學命題就是一種整體上弱勢溯因加歸納推理，每一個局部需要強勢演繹推理。

為什麼不能用歸納法證明？因為設立命題時是使用少量樣本歸納出來的，再用少量樣本證明，就不可靠了。

用哥德巴赫猜想舉例：

原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一歸納有限的樣本，具有某種性質（兩個素數之和），於是歸納推出“哥德巴赫猜想”推導出（預測）有無窮多個的數量樣本的偶數也具有某種性質）。

在有限數量基礎上歸納產生的猜想，通過演繹證明是不對等的。

歸納是在一個有窮大的樣本中逐一列舉, 只要樣本空間沒有被窮盡, 使用的都是簡單枚舉歸納推理。

而命題是對於無窮大的樣本, 我們根本不可能窮盡該樣本空間, （例如哥德巴赫猜想中的偶數就有無窮多個）因此只能使用簡單枚舉歸納推理，簡單枚舉歸納推理是一種擴大了前提條件的推理, 它的結論是不可靠的。

使用歸納推理提出假說, 其假說是非常脆弱的, 因為對它的逐一證實是絕對不可能的, 除非你窮盡樣本空間, 而一旦這樣, 你使用的已經不是歸納推理了。

它的脆弱性體是：只要一個反例, 就可以推翻這個假說命題。

無窮多個樣本的數學定理必須是全稱判斷，數學家必須完成一個：由歸納出來的有限個事實樣本去證實無窮多個元素的--不可能完全證實的命題進行演繹方法證明，並且結論是全稱肯定判斷的正確三段論只能是第一格的AAA式。這是絕大多數數學命題證明無法做到的。

歸納法可以正確預測出沒有屬性的結構性命題例如恆等式。歸納法無法預測出具有屬性的全稱判斷命題。命題屬性的結論來源於演繹法大前提，大前提中的屬性必須通過定義方法完成。

溯因加歸納推理是從結果追溯原因的推理，溯因推理是採納預測的推理.-—— 一個留待觀察的假說，歸納產生的全稱命題。它僅以疑問的或猜測的方式斷定其結論是真的。

歸納推理是基於有限觀察的，從有限樣本推出一般結論的推理, 它的前提是關於個別事物具有某種性質的論斷, 結論卻試圖得出全體事物皆具有此性質的論斷，結論所斷定的知識範圍超出了前提所包含的知識範圍。中間有一個巨大的邏輯空擋。

不完全歸納出來的全稱判斷形成的待證命題，怎麼可能通過演繹推理回到初始信息？怎麼越過這個巨大的邏輯空擋，讓初始信息變成一個定理？

歸納產生的樣本，推導出命題，歸納的樣本沒有進入命題因果關係；沒有進入證據鏈，前提不是結論（即全稱判斷的命題）的必然原因，所以只能是猜測。

因為少量歸納產生的元素具有某種屬性，誇大和膨脹了命題屬性（有無窮多個元素），證明命題時候就要填補這個誇大的空缺。數學家拿什麼填補這個空缺？

首先，所有的數學定理都是明確的全稱判斷，明確的意思就是必然判斷，而不能是模稜兩可的或然判斷。

其次，要想結論是必然判斷，就必須每一步都是必然判斷。必然判斷結論只能是演繹推理。

如果前提是或然判斷，那麼結論必然是或然判斷。

估計，多重估計；假設，多重假設都是或然判斷。

因為數學是研究數量-空間結構-數量和空間結構的變化，我們面對的情況是複雜的和變化的，常常需要從一個時空到另外一個時空，從一個命題推出另外一個命題，從一個判斷中得到另外一個判斷。

我們從已知命題推斷出未知命題的行為叫推理，已知命題叫前提，未知命題叫結論。我們證明一個結論的系統化行為，叫做論證。

邏輯就是確保這些推理和論證能夠有效的規則。邏輯學就是研究這些有效推論和論證規則與標準的學科。

我們藉助從老命題引向新的命題-從已知引向未知的。

只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。

而歸納和類比推理不是，邏輯上也不會用有效性與否來評價這兩類推理，只會說歸納強度和類比的可接受性。所以也叫或然性推理。

數學定理不能是或然判斷。邏輯的本質就是必然得出。演繹推理的前提不能是或然判斷的“估計”。

所以，邏輯的合法性來自於形式的合理性，而形式的合理性來自於實踐的有效性。

陶哲軒歸納法證明