戴榕菁

自著名数学家爱米诺伊德在1918年提出她的两个著名的关于连续李群中的变分不变量的定理以来，它们一直被誉为揭示自然界的深层对称性的数学定理[1]，而其中的第一定理更被认为是对所有已知的守恒律的正确性的严格证明。诺伊德定理确实在物理世界具有相当的适用性，而这一适用性也确实反映了自然的一种深层的特性，这种深层特性或许超出了人们用简单的对称性对之进行的描述，这一点我以后有机会可能会进一步讨论，但本文要指出的是诺伊德第一定理并非是对已知的守恒律的正确性的严格证明，而那种声称诺伊德定理的具有这种功效的说法是一种哲学上的谬误。

我们知道，包括物理学，数学在内的所有学科都可能会出现各种错误，也都会经历纠正错误和不断发展的过程。但是，物理学和数学的发展过程中的一个明显的区别为：物理学本身的发展在很大程度上会受到所处时代的整体技术和知识水平的局限，而从原则上来说，认真仔细的数学家的推导和论证在其所设定的前提条件下是可以不受历史条件约束地做到完全没有逻辑错误的，尽管具体的数学家在具体的操作过程中仍可能出现错误，而且所出现的错误也仍有可能被社会忽略因而长期存在。

但是，数学自身的逻辑严格性并不等于具体的数学体系在物理世界中的适用性，而对于具体的数学体系在物理世界的适用性的认识实际上属于哲学的认识，比如当年爱因斯坦认为欧氏几何不适用于他的四维时空因而需要采用黎曼几何就是一种自然哲学的判断；但遗憾的是，人们常把这种修正看作是单纯的科学上的进步或数学研究领域的拓展。很显然，这种误解的一个基本特点便是对于数学与物理关系的错误解读，而这种错误的解读一旦经过错误的社会哲学的装饰后，便有可能成为长期误导社会的错误的哲学理论。一旦错误的哲学理论形成之后，就不但对学界人士造成思想的禁锢，更会作为一个社会的力量阻止任何与相关的错误哲学相抵触的真理的发展。

有关诺伊德第一定理作为物理守恒律的严格证明的错误论断就是上述的对数学与物理学之间的关系的错误的哲学认识的一个典型的例子，而这个被爱因斯坦和希尔伯特等顶级的物理及数学家们加持的定理在经过了哲学性的错误加工后便在过去一百多年里也成为禁锢人们对已知的能量关系进行进一步探索的一个重要依据。

1. 诺伊德定理

诺伊德的两个定理[2]的原始叙述为：

定理一：如果积分I对具有ρ个参数的有限连续（李）群Gρ为不变量，那么ρ个线性独立的拉格朗日表达式的组合就变成了散度；反之亦然：如果上述的结论成立，我们也得到I对Gρ为不变量的结论。这个定理甚至在有无穷多个参数的极限情况下也成立。

【英译原文：If the integral I is invariant with respect to a Gρ, thenρlinearly independent combinations of the Lagrange expressions become divergences — and from this, conversely, invariance of I with respect to a Gρ will follow. The theorem holds good even in the limiting case of infinitely many parameters.】

定理二：如果积分I对由ρ个连续函数定义的无限连续（李）群G_∞ρ为不变量，其中任意函数的σ阶导数存在，那么就存在拉格朗日表达式及其直到σ的导数之间的ρ个恒等关系式。反之亦然。

【英译原文：If the integral I is invariant with respect to a G_∞ρ in which the arbitrary functions occur up to the σ-th derivative, then there subsist ρ identity relationships between the Lagrange expressions and their derivatives up to the σ-th order. In this case also, the converse holds.】

这里先对诺伊德的原文做两点澄清。第一，她并没有明确声称她证明了物理学的守恒律，她只是在证明她的第一定理时指出满足她的定理条件的解在特定条件被称为物理学上的守恒律（Passing over to the variations problem, i.e., putting ψi = 0, (13) goes over into the equation DivB⁽¹⁾=0 , . . . ,DivB^{(ρ )} = 0, often referred to as “laws of conservation.”）。无论诺伊德当时心里是怎么想的，这一论述本身并不等价于声称她证明了物理学的守恒律，她完全可以是基于她对于物理学的守恒量所遵循的数学方程及其解的形式的了解而指出她所证明的结果与物理学上的守恒量所遵守的数学方程及其解的形式相同。

第二，诺伊德的论文中很重要的一点是指出希尔伯特所做的广义相对论不满足能量守恒律的结论是正确的，这是一些作者在宣传诺伊德定理对于能量守恒律的重要性时常忽略的。后来人们认为广义相对论之所以会违背能量守恒是因为宇宙膨胀的原因，但在诺伊德写那篇文章的时候人们还不具备宇宙膨胀的概念，因此她和希尔伯特指出的是广义相对论自身所具有的违背能量守恒律的数学特性。

澄清这两点的意义在于表明本文接下来所要批判的将诺伊德定理说成是对包括能量守恒在内的物理守恒律的严格证明的哲学错误不能归咎于诺伊德或希尔伯特，因为至少从诺伊德在证明她的两个定理的论文上并没有做这样的明确的声索，而她与希尔伯特也明确知道在当时已被认为是正确反映自然特征的广义相对论就不符合能量守恒，而且是在没有知道造成该现象的任何物理原因的前提下做出这样的判断的 --- 这意味着她们并没有认为诺伊德单从数学的推导就证明了能量一定守恒。

2. 声称诺定理证明物理守恒律的人们所犯的哲学错误

如我在前面指出的，与科学对时代发展的高度依赖不同，从原则上来说，数学结论的正确性往往在它们所针对的前提条件下是可以超越历史条件而严格成立的，而物理学或其它科学上的某些数学结论的正确性之所以会出现问题，虽然有可能是由于数学推导本身的瑕疵，更可能的是对于相关数学结论的应用条件的理解出现了问题，严格说来这种数学应用所出现的问题既不属于数学的范畴也不是相关学科内部的知识的问题，而是如何将数学与相关学科匹配的哲学问题。

以诺伊德定理来说，认为那些定理严格证明了物理学上的守恒律这一点本身在哲学上就是荒唐的。遗憾的是这种荒唐已经主导的科学界一百多年，由此可以看出今天主流学界的哲学思考水平有多差强人意。

这里所说的哲学上的荒唐是相当明显的：数学的证明需要具体的条件，而单纯的数学是不可能给出具体的物理条件的。两千多年前在古希腊曾有过一场关于自然的数学属性的争辩。柏拉图与之前的毕达哥拉斯认为自然的物质是可以由数字和几何图形产生的，而柏拉图的学生被誉为西方科学之父的亚里士多德则回应到：我怎么看不出如何可以由数字和图形制造出物质实体来？当然，他们之间的争辩并没有如很多科学唯物论者认为的那样早已有了定论，因为它涉及到宇宙更加深层的数学属性问题。但是，诺伊德定理显然不是柏拉图与亚里士多德关于宇宙的根本的数学属性的争论的延续，从诺伊德定理的证明过程可以看出那是在具有相当大的约束条件下对于李群的不动变换的条件的证明而已。考虑到在诺伊德证明她的定理之前，人类已经有了从费马，到拉格朗日，欧拉，哈密尔顿等人运用与诺伊德定理所涉及的变分法相类似的方法处理自然现象的数百年的历史，就物理学的守恒律与诺伊德定理的结论在很大程度上的吻合这一点来说，与其说是印证了柏拉图和毕达哥拉斯对于数学元素在自然中的地位的正确性，恐怕还不如说诺伊德的工作在很大程度上是对于前人在物理学的领域所采用的变分方法的一种反思与拓广。

当然，从另一角度来说，我们也完全可以假设诺伊德根本不了解之前人们在物理学领域所进行的变分分析的成果，而是仅从数学的角度推导出了物理学在一定条件下必须遵守的守恒律的形式，就这一点来说它确实在相当程度上反映了自然的数学本质，因而认为那是在柏拉图与亚里士多德的论战上为柏拉图与毕达哥拉斯赢得了一分的话也是完全合理的（我可能会专门写文讨论这个问题）。但是，正如大家将要本文后面的例子中看到的那样，以此来把诺伊德的定理说成是严格地证明了物理学的守恒律却是危险的。这里的问题关键是，如果没有之前数百年的物理学领域里的相关实践，即便诺伊德证明了她的定理，她也无法知道那与物理学的守恒律有什么关系，因为抽象的数学符号本身并不具有物理的意义。

更重要的是，数学的证明本身无法决定物理的条件而只能是反映物理条件对于自然的作用。所以，除非是在柏拉图与亚里士多德所争论的数字及图形是否能产生物质世界这样的层级上能取得数学证明的突破，任何具体的数学定理的证明都不应该也不能被看成是对于自然定律的证明。以诺伊德定理证明过程中所涉及的李代数或现代物理所推崇的任何一中基于群论的理论来说，它们所依赖的前提条件是相关群中的基本变换，而那些变换是由各种物理过程的因果关系所给出的，它们本身并不能决定物理学的因果条件；相应地，如果某个群论应用中的变换没有正确或全面地反映自然中的物理机制，则该理论无法正确表达相关的物理过程。数学本身最多只能告诉人们在对自然机制的抽象过程中可能存在的逻辑错误或偏失，而无法在完全脱离了物理学背景的前提下创造出一个物理定律来。

3. 诺伊德定理的局限性

其实，从诺伊德的那篇论文的陈述中我们就可以感受到数学家心目中的一般性与物理世界的一般之间的差别。从前面的诺伊德文章的陈述中我们可以看到她非常在意她的解在具有任意阶导数的一般情形下也能成立这一点。这种情节是不难理解的，因为对于任意阶导数都成立的解从表达到推导都要比低阶解复杂很多。但是，在现实世界里是我们所面对的可能是根本不具备任何一阶导数的状况。在过去一年里，我曾指出了自然界中的三种违背能量守恒律的现象，其中我最先指出的由普朗克公式决定的在红移和蓝移过程中出现的能量不守恒就属于根本不具备任何阶导数的随机状况，这个过程甚至无法由对于对称性有相当要求的李群来表达。这是因为不同物体的运动之间的相关性在自然界属于是极少数的状况，绝大多数的物体的运动之间并不具备相关性，因此当一束光线（比如因发热而产生的红外线）从某物体射出时，它会打到哪个物体是一个相当随机的事件，它可能会因为亿分之一秒的差别而错过某个物体或因亿分之一的巧合正好打在某物体上，而这之前与之后的状态是完全不连续的。因此，这种现象完全无法用诺伊德定理来描述。

另外，诺伊德定理所设定的李群需要有一个恒等变换，在这个恒等变换的基础上按照李代数的思路用无限小的变换的累积来达到宏观上的变换。但是，我所设计的ETDPMS体系根本就不存在恒等变换。那是一个单一变量θ的变换群，其变换由它所受的重力矩Г= 24ρgl²（1 - ）决定，其中U(θ) = 48 + sin²2θ。由简单的结构静力学分析很容易看出该体系在任何角度下都不可能处于静止，因此它的转速将不断地增加，从而不具备恒等变换，因此也不满足诺伊德定理的条件。

而对诺伊德定理最具有挑战的一个打破能量守恒律的例子便是我在过去一年里进行过深入探讨的那个著名的DDWFTTW运动车类。虽然目前没有人给出过任何一部DDWFTTW车子的运动过程的动力解析解，也没有见到什么人对任何一辆DDWFTTW车子做过数值分析，根据我们对于宏观机械系统的常识可以得知我们一定可以通过实验的或数值的或解析近似的方法来确定任意一部DDWFTTW车子的动力解的。因此，如果我们用一个李群或其它什么群来代表一部DDWFTTW车子的运动的话，我们是一定可以找到满足群论要求的变换的。不仅如此，当一部DDWFTTW车子在逆风运动中达到匀速时，该群的变换还一定是恒等变换，因为那时整个系统的状态会维持不变。这时不但系统的总能量不变，而且系统的动能和势能都各自保持不变。

但是，一台做匀速逆风运动的DDWFTTW车子显然不符合能量守恒，因为它在没有额外的能量供给的前提下不断地向周围环境提供因摩擦而产生的热能，从而成为一台名副其实的免费能量制造机，不但违反热力学第二定律，也彻底打破作为热力学第一定律的能量守恒定律。与红蓝移以及ETDPMS明显不符合诺伊德定理所要求的条件不同，DDWFTTW车子的这种貌似完全符合诺伊德定理条件却根本不符合诺伊德定理结论的现象当然对诺伊德定理的合理性构成极大的威胁。不过，如果我们仔细审查一下诺伊德定理的证明过程，也可以发现DDWFTTW车子违反了一个在诺伊德定理中没有明确表达出来却在证明过程用到的条件，那就是相应的李群Gρ中随自变量x而变的因变量u及其导数必须在边界上的积分取零值。这个条件是诺伊德定理所必须满足的李群的条件，而DDWFTTW车子的运动显然不满足这个条件，因为在DDWFTTW车子的运动过程中，系统不间断地向周围环境释放热能，也就是说车子本身是一个热源或更确切地说车子内部存在着一个不需要外部提供能量的热源，而内部存在能量源的系统的散度积分不等于零，因此根据散度定理（即高斯定理）我们可知，该系统中的因变量在边界上的积分也不可能等于零，因而无法满足诺伊德定理证明过程中所假定的条件。

我在上面举出的三个例子中只是指出它们明显不满足诺伊德定理的某些条件因而无法根据诺伊德定理来证明它们必须满足能量守恒，但这并不等于说这三个系统中不存在其它的导致能量不守恒的因素，只是对于本文反驳声称诺伊德定理严格证明能量守恒的伪哲学论调来说，上面指出的对于诺伊德定理所要求的条件的不满足就已经足够了。

这里我们见证了物理世界中存在着违背了数学家们所设定的被他们认为是反映物理世界特性的天衣无缝的条件的状况，而这一点本身不但表明人们即便是以有着几个世纪的实践经验为依据的想象力在自然面前仍然可以是漏洞百出的，更说明即便是已被实践印证了几个世纪的物理定律仍然可以是被特殊的条件打破的，也再一次表明人们不可能仅凭数学推导来创造出物理学定律的。

4. 对于诺伊德定理之表达的修正之伪哲学效果

除非你象本文这样去找到诺伊德的原文，如果今天你上网去查询诺伊德定理，你所得到叙述与诺伊德的原初的叙述会有很大的不同。下面是今天你能查找到的关于诺伊德定理的一种典型叙述[3]：

如果一个系统具有一个连续对称的变量，那么就有相应的量值在时间上是守恒的。

【英文：If a system has a continuous symmetry property, then there are corresponding quantities whose values are conserved in time.】

或稍微复杂点的：

对于由局部作用产生的每个可微对称性，都有一个守恒的流。

【英文：To every differentiable symmetry generated by local actions there corresponds a conserved current.】

虽然这些对于诺伊德定理的现代化叙述的本意应该是将原本不那么通俗易懂的诺伊德定理由专业数学人士进行消化理解后用通俗易懂的方式介绍给大众。但问题是，如前所述，诺伊德在她的文章中并没有明确地表明她的定理证明了物理学中的守恒律，只是指出物理学中的守恒律所存在的形式与她的定理的结论形式一致而已。而这些被专业人士翻译过来的通俗易懂的版本则由于略去了诺伊德定理所需要的各种前提条件，被坐实为了普适的自然法则，而成为人们把包括能量守恒在内的守恒律视为绝不可能被违背的法条的重要依据。

这再一次凸显了哲学对于正确的学术思维的重要性。如果学术界的专业人士能具备一些最基本的正确的哲学思维的话，这种明显不符合基本自然逻辑的谬误就不会在长达一个多世纪的时间里支配着世界主流学术界的思维，而且直到今天也没有改变的迹象。几天前，中国的一位网红还在YouTube中信誓旦旦地说一切声称违背能量守恒的都是骗子，尽管他自己在视频中采用了被鲁迅在“捣鬼心传”中指出的那种含糊其辞顾左右而言它的典型的欺骗手法。

5. 宏观与微观的区别

诺伊德定理的作用被世人夸大性的误解也有其特殊的自然与历史的原因。诺伊德定理产生的时间正是相对论和量子力学开始在物理学界占主导地位并开始步入一般的大众文化的时期，而诺伊德定理不但可以在没有任何物理依据的情况下，仅凭数学的分析就正确地指出广义相对论不符合能量守恒，而且在量子微观的世界的适用性也超出了在宏观世界的适用性。我前面给出的包括红蓝移在内的三个例子其实都是宏观世界里无法满足诺伊德定理的状况；但是，在微观世界里，如同群论在粒子物理中取得巨大成功一样，诺伊德定理的条件看来一直被很好地满足着。这是因为在微观粒子的世界里，任何加诸于粒子上的作用力都可表达为具有漂亮的数学光滑性的某种势能，因此微观粒子的世界里的能量除了动能就是势能，从而使得李群也罢其它什么群也罢的条件都能很好地被满足。

这里人们或许会提出这样一个问题：宏观世界是由微观世界组成的，如果能量在微观世界是守恒的，怎么会在宏观世界不守恒呢？

对于这个问题的回答涉及到三个层次的因素。首先，目前的物理学界对于如何从量子微观过渡到宏观还没有一个统一的确定的认识，对于即便是比较被接受的所谓退相干作用的解释也都还没有取得一致；最近我甚至看到有物理学界人士认为自然的本质不是微观的而是宏观的，而迄今为止人们所得到的微观世界的知识都是某些未知的宏观特性在微观的投射而已。因此，认为可以从微观的守恒直接推论出宏观的守恒这种看法目前由于缺乏科学的依据而无法在哲学上被确认。以诺伊德定理来说，微观世界里的变换对定理条件的满足是有着各种没有明确直说的隐含的前提的，当微观粒子通过退相干而构成宏观现象时，这些隐含的条件就有可能被打破。比如，诺伊德声称她的定理满足无限多参数的条件，但是我们知道无限大是个复杂的概念，很多事情从有限转为无限时会发生违反直觉的变化。

其次，过去几十年里关于非线性复杂系统的研究已经确立了这样一种基于科学理论的哲学共识：复杂系统可以产生底层系统中不具备的特性来。以社会系统为例，两个人能够做到很多一个人无法做到的事来。因此，从数学上来说，我们并不能否认由大量简单系统构成的非线性复杂系统会产生离散的简单系统所不具备的能量的可能性。

第三，严格地说，诺伊德定理在微观上的成立也是近似的，因为迄今为止的微观量子力学还没有把我在过去一年里反复讨论的由红蓝移造成的能量不守恒考虑进去。我也还没有在这方面继续追下去。一方面因为我还有很多其它需要考虑的议题，而在我目前的非常艰苦生活条件下我必须集中能量重点做一些事；另一方面，直觉地我感到红蓝移造成的能量误差在微观世界里可能会存在于量子测不准的范围内。不过，既然已知现有的理论在微观是一种近似，我们就无法完全排除当大量微观聚集在一起构成宏观时，相应的误差不会宏观地显现出来。

6.结束语

宏观能量的不守恒已经是板上钉钉的现实，而诺伊德定理根本无法被用来否定宏观能量不守恒的可能性。前不久在一个网上物理讨论中的一位网友指出的，从来没有人严格证明过能量必须守恒，只是焦耳自己当初人为地把不同形式的能量凑在一起声称它们可以相互转换。他的话有些过激，但他指出的从未有人严格证明过能量必须守恒这一点是事实。。。。。。

[1] N. Beyers, E. Noether's discovery of the deep connection between symmetries and conservation laws, Israel mathematical conference proceedings Vol. 12 1999, pp. 67-81

[2] E. Noether, “Invariante Variationsprobleme”. Nachr. d. K¨onig. Gesellsch. d. Wiss. zu G¨ottingen, Math-phys. Klasse, 235–257 (1918), tr. M. A. Tavel, Transport Theory and Statistical Physics, 1 (3), 183–207 (1971).

[3] E.g. Wikipedia (2022) “Noether’s theorem”. https://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem

===============

最近因为体力问题一直未能开始将此文改写为英文，不过这过程中也得到了一些重要的信息（感谢上帝带领我的每一步）。。。。比如，写完此文后我就直觉到薛定谔方程的线性特征是一个问题，结果Sabine今天的视频就回答了这个疑问，她也认为薛定谔方程的线性特征是一个问题，不过她最后提到，退相干的过程是非线性的，这或许可以弥补薛定谔方程的线性特征的不足。。。。

=======================

上面这个视频可帮助提醒：诺伊德定理其实只是亥姆霍兹定理的子集。。。