戴榕菁 儘管自1095年以來愛因斯坦的質量能量關係E=mc2一直被認為是狹義相對論的一個重要公式，但是正如我之前多次指出的，它不屬於相對論。不過，自今年三月我開始指出狹義相對論的錯誤以來，我自己也一直有個疑問，那就是為什麼愛因斯坦可以通過狹義相對論推導出這樣一個不屬於狹義相對論的公式，我在正式的英文文章中呼籲學界對此進行研究，但顯然沒能得到任何響應。感謝上帝，昨天我終於想明白了這個問題。現在我們就來通過溫習愛因斯坦對該公式的原始推導來看一下為什麼愛因斯坦可以聲稱他是用狹義相對論來得出這個公式而我們又可以肯定他的推導其實並不真就屬於狹義相對論。 愛因斯坦的推導原文按鏈接【1】找到。在那篇文章可以讓讀者一眼看出可認為是狹義相對論的內容的是 L*=L(1-(v/c)cos(∅))/√(1-v2/c2)（1） 其中L是光束在（x,y,z）坐標系中的能量，L*是光束在（ξ,η,ζ）坐標系中的能量。（ξ,η,ζ）坐標系以速度v做相對於（x,y,z）坐標系的平移。愛因斯坦的原文中的能量是用小寫的l來表示的，我這裡為了讀者閱讀方便將其改為大寫。方程序號（1）是我這裡加的，原文中沒有。 我們暫且假設光束方向與v的方向一致（也就是忽略角度∅）來看如何可以通過非相對論的途徑來推導出（1）式。只要能推導出（1）式，那麼我們可以按照愛因斯坦原文中接下來的步驟推導出E=mc2來了。 首先，我們知道當光束方向與v方向一致時的（非相對論）多普勒波長公式為： λ*=λc/(c-v) （2） （2）是關於一般波動的波長變化的多普勒公式。而關於光的運動，基本不考慮多普勒效應，當光源在運動時，我們有 λ*=λ√(1-v2/c2) （3） 估計有讀者會一看到這裡就叫起來：這不就是狹義相對論中的洛倫茲變換嗎？ 答案是：你可以說它是洛倫茲變換，但也可以說它不是。說它是洛倫茲變換在某種意義上是一種顛倒因果關係的說法，當然這與過去一百來年裡人們已經習慣了將其認定為洛倫茲變換有關。其實，（3）中的根號部分是由作為相對論的發展中的關鍵人物之一的美國電氣工程師Heaviside提出的Heaviside橢球體得來的，而洛倫茲變換正是針對Heaviside橢球體提出的。所以一個是因一個是果。兩者的根本區別在於Heaviside橢球體描寫的是當光源進行平移運動時光波在傳播過程的形狀，是針對光的形狀的描述，而洛倫茲則針對Heaviside橢球體提出假設說不是光波呈現橢球形狀而是空間變形了，這才成為後來的狹義相對論的核心內容。 所以，你可以說（3）式是狹義相對論的內容，也可以說它與狹義相對論毫無關係-----這就是為什麼愛因斯坦可以說他是根據狹義相對論來推導E=mc2的，而我們也可以說E=mc2與狹義相對論根本無關的原因。 愛因斯坦在文獻【1】中主要有兩個地方表明了（1）式是來自狹義相對論：首先他開宗明義地他那篇文章是延續“the previous investigation”，而他的那個“the previous investigation”指的就是他的著名的公布狹義相對論的經典文章【2】；其次，他將文章的光束描述為平面波，這就擺脫了與Heaviside橢球的關係從而完全屬於狹義相對論的範疇。但我們知道，由點光源發出的波不可能是平面波，因此平面波只是一個近似表達而已。 現在明確了（3）其實可以完全與狹義相對論無關（儘管也可以解釋為狹義相對論）之後，我們來看如何可以從（2）式和（3）式推導出（1）式： 為了避免不必要的困惑，我們將（2）中的λ和（3）中的λ*都改寫為中間變量λ‘： λ*=λ'c/(c-v)（2a） λ’=λ√(1-v2/c2)（3a） 由（2a）和（3a）我們得到： λ* = λ c/(c-v) √(1-v2/c2)（4） 根據普朗克-愛因斯坦光能公式我們有 L* = L λ/ λ*=L (c-v)/(c√(1-v2/c2))= L (1-(v/c))/√(1-v2/c2)（5） （5）就是（1）當cos(∅)=1時的結果。cos(∅)≠1的結果不難推出。 有了（5）式再按照愛因斯坦在文獻【1】中提供的步驟就很容易推出E=mc2了。所以，我們完全不需要通過狹義相對論就可以推出E=mc2，而之所以也可以用狹義相對論突出該公式是因為洛倫茲變換本來就是將Heaviside對於光波給出的橢球作為一種假說推廣為空間的縮短。所以，不是非要用洛倫茲變換來推導E=mc2，而是洛倫茲變換與推導E=mc2的過程在形式上可以一樣。
[1] Einstein, A. (1905a). “Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy-content?”. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf [2] Einstein A. (1905b) “On the Electrodynamics of Moving Bodies”. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik. 17:891, 1905, translations by W. Perrett and G.B. Jeffery
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