戴榕菁

在《彎曲的只是空間。。。》一文中我提到根本找不到愛因斯坦在什麼時候說過重力場中的光速是常量，卻能找到他在不止一篇文章（【[1],[2]】）中提到不能象在狹義相對論中那樣假設光速在重力場為絕對常數，但是現在的教科書中都一律聲稱光速在重力場中甚至黑洞中都是常數。其實，由Philip Gibbs在1996年撰寫Steve Carlip在1997年更新的網絡文章【[3]】中就已經指出了這點。

如我在寫上文時的狀況一樣，Philip Gibbs和Steve Carlip他們也沒有搞清楚後人出於什麼原因替愛因斯坦做出重力場中的光速必須是常數的假設，只是說他們無法想象光速可以不是常數（可見他們的想象力不佳）。

昨天我在貼出《一百多年前的文章出版質量》一文後終於從作為該文鏈接的愛因斯坦的原文中搞清了後人為什麼要替愛因斯坦做出在重力場中的光速也必須是常數的假設的原因-----那是因為愛因斯坦他自己在那篇文章中已經實質性地否認了他作為該文的前提條件所提出的光速在重力場中可以隨位置變化這一假設的！

在作為上文的鏈接的“Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation【[4]】”第156頁上有這麼一句話：

First, from the role that ds plays in the law of motion of the material point, we can draw the conclusion that ds must be an absolute invariant (scalar); from this it follows that the quantities g_uv form a covariant tensor of the second rank,⁶ which we call the covariant fundamental tensor.

其中的ds由下式給出：

                                                                 （1）

它對應着狹義相對論中的閔可夫斯基空間的

                            （2）

愛因斯坦所說的“ds must be an absolute invariant”指的應該是在局部的絕對不變量，也就是在任意點的局部，不論在什麼坐標系中ds都應該是一樣的。但我們知道閔可夫斯基的平坦時空是黎曼時空的一個特例，也就是說在平坦的時空中（1）蛻化為（2）式。所以愛因斯坦所說的ds必須是絕對不變量也必須使得（2）在局部的坐標變換下是絕對的不變式。

但是，我們知道作為閔可夫斯基的時空距離的（2）式在坐標變換下是絕對不變量的前提必須是要滿足洛倫茲變換，而洛倫茲變換的前提是光速為常量。

現在愛因斯坦在該文的開頭已將光速c定義為可隨位置變化的變量，那麼為了保證（2）是局部坐標變換下不變量，我們必須要求c在局部為不變的常量。這乍聽起來似乎沒問題，但實際上與愛因斯坦所提出的c是可以隨位置而變的這一條件是相牴觸的。這是因為：如果c是可以隨位置連續變化的量，那我們一定可以在重力場中畫出一組封閉的等c線。在每一點的局部，我假設沿着等c線的光速是常量是沒有問題的。但如果我們把沿着等c線的梯度方向，也就是垂直於等c線的方向上的c也假設為常量的話，那就等同於假設光速在整個重力場中是常量，也就是徹底否定了愛因斯坦自己所做的光速在重力場中可以隨位置而變化的這一假設。

所以說，實際上是愛因斯坦自己在提出光速在重力場中可以隨位置而變化的假設後，在同一篇文章中通過“ds must be an absolute invariant”這一條件又否定了自己的這一假設！

但是，如Philip Gibbs和Steve Carlip在1996年及1997年指出的那樣，愛因斯坦生前似乎並沒有意識到這個問題，而是後人才將重力場中的光速重新定義為常量的。這似乎意味着在愛因斯坦生前並沒有一位夠分量的數學家向他指出過這個問題。

這裡我們又一次地遇到這樣一個令人十分不解的疑問：上述這個“ds must be an absolute invariant”必然導致光速在重力場中不能隨位置而變的簡單的數學結論怎麼會沒有被愛因斯坦，龐加萊，洛倫茲，希爾伯特，諾伊德，亞伯拉罕這些與相對論有關的數學大咖注意到？？？

我之前已經對於“將單個光源運動引起的Heaviside橢球體的數學公式引申為洛倫茲變換而用到大量粒子構成的宏觀物體必然會由於數學難度的增加而違背熱力學第二定律”這一簡單的數學結論會在過去一百年裡沒引起包括所有大咖在內的無數數學家的注意表示了困惑不解。

這一次雖然後來的物理學家和數學家們顯然已經注意到了“ds must be an absolute invariant”意味着光速必須不變這個問題，但是當初這樣一個連中學生都應該注意到的簡單的數學問題是怎麼會在那樣一群精英人精的眼皮底下混過去的？？？？

實在令人費解。。。。。。

註：以上的討論並沒有涉及到狹義相對論的對錯問題。

[[1]] Einstein, A. (1912). “The speed of light and the statics of the gravitational field”. Translated by D. H. Delphenich.“Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitionsfeldes,” Ann. Phys. (Leipzig) 38 (1912), 355-369. Available at: http://neo-classical-physics.info/uploads/3/4/3/6/34363841/einstein_-_speed_of_light_and_grav.pdf

[[2]] Einstein, A. (1916). “Relativity: The Special and General Theory”. Translated by Robert William Lawson. Part II. Available at: https://en.wikisource.org/wiki/Relativity:_The_Special_and_General_Theory/Part_II

[[3]] Gibbs, P. (1996). “Is The Speed of Light Constant?”. Retrieved from: https://www.desy.de/user/projects/Physics/Relativity/SpeedOfLight/speed_of_light.html

[[4]] Einstein, A. (1913). “Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation”. Retrieved from: https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-trans/163 (page 151 to 171)