戴榕菁

去年我證明了希爾伯特23個公開問題的第一個問題也就是所謂的康托連續性假說是錯誤的【[1]】之後，本以為當我給出了證明康托假說是錯的簡單明確的例證之後，一切都豁然開朗了，對於這個世界的讀者來說不會再有什麼解不了希爾伯特第一問題的糾結了；所以在那篇文章里我根本沒把證明康托的結論是錯誤的作為重點來討論，而是把從哲學上分析他為什麼錯了且一堆世界級的大咖們為什麼會買他的賬作為了重點-----這是因為我認為前半部分屬於中學生的水平，而後半部分才是真正的高檔次的論證。

遺憾的是，很快我就發現我錯了：當今世界學術界的專業人員們還就似乎根本讀不懂那屬於中學水平的前半部分，就更別提一般的網絡讀者了。這裡先簡單回顧一下什麼是康托的聯繫性假設以及我如何用簡單的例證來證明它的錯誤：

所謂連續性假說（Continuum Hypothesis，縮寫CH）是由著名集合論大師康托在1878年提出來，又被希爾伯特在1900年列為23個數學問題的第一個而且據說至今也沒有明確答案的一個問題。其基本論點為：不存在這樣一個集合，它的基數（即所含元素量）大於自然數集合的基數而小於實數集合的基數。

我的證明思路很簡單：只要找到一個“基數大於自然數集合的基數而小於實數集合的基數”的集合就可以了。我給出的是下面這個集合：

其中m是自然數。很顯然，(1)式的基數大於自然數而小於有理數。接着我又給出了一個無理數的集合：

其中n也為自然數，而且。很顯然，(2)式中的無理數是自然數的無窮多倍而它只是實數集合的一個子集。所以(1) 式的集合基數小於實數的集合。

至此，已經證明康托的聯繫性假說是錯誤的。

沒想到當今學術界居然讀不懂這麼簡單的證明邏輯，而他們拒絕承認我的證明的理由無不極其荒唐，其中比較典型的是：

1）連續性假說很多年前早被某人證明是正確的了。

2）希爾伯特的第一問題必須在他設定的條件下成立，那就是康托的集合論是正確的前提下成立。

上面的第1）個理由純粹胡扯。我不是搞數學的，我之所以會捲入證明希爾伯特第一問題是錯誤的就是因為我被邀請參加academia.com的一個試圖證明它是正確的討論，而作為專業數學界人士的該討論文章的作者在文章開頭就說希爾伯特第一問題還沒有被證明。我又去維基解密查了一下，那裡說希爾伯特第一問題還沒有公認地被證明或證偽，儘管有多人聲稱證明了。

上面的第2）個理由比純粹胡扯的第1）個理由嚴重多了，已經屬於純粹放X了。

但是，儘管上面第2）個理由純屬放X，卻很遺憾地是今天的喪失了基本哲學思考能力的專業學術界普遍能接受的理由。他們的邏輯是這樣的：

你必須先承認對於無窮集我們必須用康托的一對一方法來衡量它的大小。如果你能找到一種可以將一個集合里元素和自然數一一對應機制，那麼就認為那個集合的元素的數目和自然數一樣多，也就是說那個集合的基數和自然數的基數一樣大，或者說它是可數的；否則那個集合的基數就比自然數多，就是不可數的。根據這個定義，康托證明了實數的基數比自然數大，而有理數的基數和自然數一樣大，接着就提出那個無法找出基數介於自然數和實數之間的集合的所謂的連續性假說。

這就相當於在籃球比賽中一方規定只有在三米以外的投籃才得分，而專長三米內進藍的甲隊輸掉之後被別人笑話他們根本不會投籃一樣。

為什麼說專業學術界的上述邏輯純屬放X呢？理由很簡單：

（一）根據前面給出的(1)式我們可以看出把有理數說成和自然數一樣多是荒唐的，因此康托的上述度量無限集合的方法根本不能反映無限集合大小的本質。

如果作為一個俱樂部的人在節假日酒足飯飽之後沉迷於諸如猜謎語之類的消耗腦細胞的遊戲的話，沒人會在乎他們在折騰什麼。可他們偏要由享譽世界的頂級數學家出面將那個連續性假說列為標誌着人類數學最高水平的23個公開問題的第一個問題。這如果不是認知的錯誤的話，那就是故意戲弄世人。考慮到希爾伯特不可能是故意戲弄世人，所以這一定是認知上錯誤。這一定不是今天的學術界聲稱的必須在承認康托理論正確的前提下才成立的問題，而應該是希爾伯特錯誤地以為康托的理論是放之四海而皆準的正確理論，因此才將它作為他的23個公開問題的第一個問題提出的。也就是說在希爾伯特看來，這不是閉門俱樂部里的消耗腦細胞的遊戲，而是一個嚴肅的有着普遍意義的數學基本問題。

換句話說，我們只有認為上面的第2）個理由是放X，才能還希爾伯特清白，才能表明希爾伯特只是認知上的錯誤，而不是故意玩弄世人！

（二）就算今天的專業學術界象對待具有狹義規則的遊戲而不是放之四海而皆準的理論來看待康托的連續性假說，康托自己可不是那樣看的。他根據他上述的度量無限集合的大小的法則得出著名的結論說：“一個正方形上的點數與正方形的一個邊長的點數一樣多。”這裡他可沒有聲明他的結論只在他的特殊的遊戲規則內才成立，而今天的世界各地大學的數學課堂里也仍然將康托的這個荒唐的結論作為放之四海而皆準的理論來講述的，而不是作為狹義規則的遊戲結果來介紹的。所以說，上面的第2）個理由根本就算是放X。它既不符合康托的原意也不符合希爾伯特的本意。

既然上面的第1）個理由是胡扯而第2）個理由是放X，那麼它們就根本無法構成對於我的證明的否定。

此外，我上面給出的(1)式和(2)式可以是非常合理明確地對希爾伯特23個問題的第一個問題進行證偽的例證這一點也表明：對於無限集合，我們可以找出任意多的排列方式來，康托只不過在無限多種排列方式中找出了一種乍看上去很漂亮，但實際是在濫用（abuse）無限大概念的方式而已；他將之定義為度量無限集合的唯一法則，而淡漠了哲學思維的專業數學界就買了他的賬。

你或許會問，今天的數學家們都這麼白X嗎？其實在康托出世不久前，丹麥的安徒生就已經對這個問題給出了答案：不是數學家們白X，而是他們將康托當成了皇帝，所以就把他的光腚看成了美麗的服裝！

而我的文章則明確指出了康托集合的核心也就是康托用來度量無限集合的法則之虛幻和誤導性，徹底否定了用康托一對一法則來度量無限集合的現實合理性。所以說，我文章所推翻的不僅僅是康托的連續性假說，而是康托集合的核心價值。

實際上，對康托集合論的核心價值的否定就自然推翻了康托的連續性假說也就是希爾伯特的23個公開問題的第一個問題。這就是為什麼我在文章【1】中重點討論的不是如何證偽康托的連續性假說，而是對康托集合論的哲學錯誤進行分析。

今天的主流學界和遍布世界的龐大科普隊伍努力地給一屆又一屆的學子們營造這樣的印象：學術發展的主要障礙是無法發現新的理論；所以要想取得學術突破就要努力發現新的理論，物理學和數學尤其如此。

但實際上，今天的學術發展的主要障礙是社會心理的障礙與社會政治的障礙，是對哲學的基本原則無知的障礙。今天專業學術界似乎已經完全忘了這樣一個自古以來的哲學原則：真理高於權威！

唉，被錯誤哲學思維枷鎖捆綁的學術界真的很可憐！更可憐的是現有的專業學術界永遠不可能擺脫這樣的枷鎖！

[[1]] Dai, R. (2022). “Solution to Hilbert First Problem against the Illusion of Cantorian Cardinal System”. Retrieved from: https://wp.me/pkz9Y-8A