1) 开场白 昨晚在 BBS 说了码个小帖讨论如何“实现”房贷的“单利模型”的，这里试着抛出 这个帖子，作抛砖引玉之想。因集腋可成裘，故也希望那些有一定康门三四 (特别 是真正的行家、圈内人士) 批评或者提出合理的见解。 先说几句开场白，只因论坛这几天就房贷是 based on “Simple Interest (单利)” 还是“Compound Interest (复利)”讨论得热火朝天，甚至连大家更加熟知的 Savings Account 是 based on 单利还是复利模型也出现了点小分歧。作为一个只有点康门 三四的金融盲，我不 清楚在金融界，Simple Interest & Compound Interest 是不是 (strictly) well defined 了的术语，但是这几天我和大家讨论时也顺便度娘了 wiki 百科，看了那 里的解释、定义，所以我想那里对这两个名词的释义应该是普遍接受了的解释。 这里再说一次我 (对论坛朋友帖子) 的观点：如谁对单利复利的理解不同，即使和 约定俗成的不同，也是可以的 (至少我没意见)，但是要不自相矛盾，要前后自洽。 对俺这样半文半理、毕业于重点中专的学生而言，看别人如何“develop”一套俱 备 self-consistency 的东西，也是某种享受。 讨论问题是需要某些共识为基础的。这里尽管大家在争论房贷是基于单利还是复利， 但是争论的(主要)双方对单利 (Simple Interest)、复利 (Compound Interest) 的 理解是没有分歧的，那就是：无论是 Savings Account 还是 Mortgage Account， 利息 Interest 如果不产生利息，属单利；如果利息产生了利息，亦即通常所说的 “利滚利”，属于复利。这个理解是和 wiki 百科的解释一致的。在这个意义上， 美国的 savings account 是 based on 复利，这点也基本上得以认同 (除了个别同 学外，不过那是非主流，这里不费笔墨)。 但是对房贷是 based on Simple Interest or Compound Interest，分歧就大不少。 尽管根据统计员明城同学的统计，在上述约定下，大部分同学认为房贷是based on Compound Interest，但是认为房贷是基于单利模式的，也有好几位。通过几天的观 察，这几人认为房贷是基于单利模式的主要理由是：当房贷定下来后，Mortgage payment 就定下来了，如果客户定期配这个数据，就自动意味着当月的利息已经付清了，所 以利息不会产生新的利息，所以房贷模型是基于单利 Simple Interest 的。当然也 有一些较为冷僻点的观点，例如铁狮子的一个观点是，“(利滚利) 我也就觉得不合 理，借债还钱付息理所应当。而利息并不是我们向银行借的钱，凭什么也要付利息 呢？”等。还有个别更加冷僻的观点，例如美国政府为美国人民着想，所以房贷收 取单利而不是复利，因为复利给百姓的负担过重，等，这里就不详述了。 作为“复利论”阵营的一员，我试了几个不同的方法让那些“单利论”阵营的同学 放弃他们的观点，可惜没有成功。俺的几个主要方法重述如下： a) 康门三四。既然你存钱的 Savings Account 银行都给你复利，那么对银行借钱 给你的房贷，银行会只收取单利么？30 年 (typical 贷款期限) 可不是短时间，银 行就算是慈眉善目充满爱心的慈善家，他们也没法承担 Simple Interest 给他们带 来的巨额亏损。大家查查数据就知道，美国的 Real Property Market 比股市大多 了。 b) (对上面单利论者的主流观点提出个悖论) 考虑个 initial loan = $500,000， rate = 6%，30-year 的房贷。Monthly mortgage payment = $2,997.75。单利论者 认为，如果客户每月配 $2,997.75，那么利息付清了，因此是单利；但是如果某月 配额小于这个数，那么利息没有配完，只有这时才会有复利。比如说每月只配 $2,751.07， 就会产生复利。俺说你可将这月配 $2,751.07 理解成 P=$5000,000，rate=6%，40-year的 贷款就成了，(按照他们的观点) 两者都对应 P=$5000,000，rate=6% 的 Simple Interest Case。那几位同学居然看不出这是以彼之矛攻彼之盾的 Paradox，真令人无语。 c) Compound interest 的特征是，在计利息时，本金和利息是等价的，是可以不区 分可以混为一谈的。真实话语同学总结得好，“凡是按当前Balance计利的都算复利”。 单利模型则相反，因为利息是被排斥在本金之外的，所以单利模型 balance 中，本 金和利息是要区分开来的，因为前者参与下一轮的利息计算，后者不能。房贷 mortgage 公式的推导过程，恰恰表明了它是 based on compound interest。 顺当说一下，就我所知的而言，中国以前银行就储蓄帐户而言，是明确规定了计单 利的。现在官方的规定是： a) 活期储蓄 (大抵对应于美国的 Savings)：计单利； b) 定期储蓄 (大抵对应于美国的 CD)：假设 5 年的定期。5 年后，储户如果不将 钱取出，银行会自动 renew (和美国这边差不多)，renew 时将利息计入，算作本金， 期满后 (亦即另一 5 年后) 一起 compound 算利息。这和美国这边的 CD 有所差别。 据我所知，美国的 CD 在 CD period 内 rate 固定，但是利息是 monthly compounded 的。 民间。民间的金融活动当然基本上都是高利贷性质的。一般的民间高利贷，只要不 过份，官方也默许。一般民间的高利贷 by convention 是只计单利的 (是不是大部 份这样我就不知道，我知道的是这样)。一则是因为大部分老百姓脑袋里并无复利这 个概念，另一方面高利贷期限一般不长，复利还是单利并无多大的区别。民间高利 贷的 rate，例如一两年的，现在一般在 12% 左右，短期的，30%-40% is common。 官方 approve 做高利贷性质生意的，好像是 rate 如果不高于 36%，则是没有问题 的。当然这些是我的个人了解，不一定准确。 2) 房贷的单利 Simple Interest 模型。 先看最简单的 Savings Account，存款，simple annual rate R = 6% = 0.5% monthly = r，initial deposit P = P_0 = 500,000。For simple interest，假设 no other transactions，前几月的结果如下： 月份 月初总金额 B 本金部分 P 利息部分 I 月底所得利息 i 0 500,000 500,000 0 2,500 (=P*r) 1 502,500 500,000 2,500 2,5002 505,000 500,000 5,000 2,500 3 507,500 500,000 7,500 2,500 ........ 很明显，for k-th month，本金 P_k = P = constant，总金额 B_k = P + 2500*k。 B_k = B(k) 是离散时间 k 的线性函数。大家可能会纳闷，这么简单为啥还搬出来 说事。这是因为，这个最简单的 case 能让最多的人明白 Simple Interest 是如何 计算的，关键的地方是，尽管账号每月的总 Balance 在变化，但是本金部分和利息 部分分开统计的。这是必要的，因为只有本金部分参与利息的计算，利息不能产生 新的利息。 接下来我们复习现在的房贷的 Mortgage 是如何算的。假设客户每月月初付款 M， 这样，咱们就有 0) 最开始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)； 1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，这是你的 principal amount，因为最开始你 借了银行 P 这么多钱，银行按照月率 r 收利息，但是随后你偿还了 M 这么多钱； 2) 2nd month，类似的，B_2 = (1+r)*( (1+r) P - M) - M = P (1+r)^2 - (1+(1+r))* M; 3) 3rd month, B_3 = (1+r)*P_2 -M = P(1+3)^3 - (1+(1+r)+(1+r)^2)*M; N) Nth month，B_N = P (1+r)^N - (1+ (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^(N-1))*M = P (1+r)^N - M*( (1+r)^N - 1)/r 因为你假设 N 月后偿还贷款，所以 B_N = 0，所以从上个公式就可以计算出你的月 配 M 出来。 好，言归正传。咱们来看基于 Simple Interest 的房贷到底该如何。沿用上述记号， 并且用 P_k 表示第 k 月的 Principal，I_k 表示第 k 月的 Interest，B_k = P_k + I_k，我们有： 0) 最开始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)； 1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，这和 Compound Interest Model 是一样的， 因为最开始账号上没有任何利息。现在，和 Compound Interest Model 不同，我们得严密跟 踪 P_1 and I_1: B_1 = P_1 + I_1 = (P-M) + r*P 2) 2nd month，注意此时只有 P_1 产生利息，所以 B_2 = P_1 (1+r) + I_1 - M = (P-M) (1+r) + r*P -M = (P-2M) + r*(2P-M) = P_2 + I_2 3) 3rd month， B_3 = P_2 (1+r) + I_2 - M = (P-2M) (1+r) + r*(2P-M) -M = (P-3M) + r*(3P-3M) = P_3 + I_3 ................. N) Nth month， /2) = P_N + I_N
显然，如果 M = 0 (不付钱)，从上式得出 B_N = P + N*P*r，这自然是理所当然的。 因为已经假设 N 月后偿还贷款，所以 B_N = 0，所以从上个公式就可以计算出你的月 配 M 出来，结果是： M = P (1+N*r) / (N + N*(N-1)*r/2) 对无息贷款，r=0，那么从上式得出：M = P/N ，这自然是理所当然的。 和 Compound Interest 的房贷对比计算结果 (Assume P=500,000，R=6%，30-year， N=360)： 复利模型 单利模型 ----------------------------------------------------------------------------- ------------------ Monthly Mortgage 2,997.75 2,049.48 Total Interest 579,190.95 237,812.80
文章评论
作者：紫荆棘鸟
留言时间：2012-11-30 19:35:21
是啊，谢谢绿岛、牧羊人。房贷公式，很容易导出呢。这里的目的，其一是好玩，看 Simple Interest 房贷应该如何，顺便也让那些认为通常的房贷是单利的人看看真正的单利该是什么样。这几位可顽固着，呵呵。
正规信贷机构（房贷或其它，包括政府）的借贷都是复利，没有例外。
作者：绿岛阳光
留言时间：2012-11-30 15:13:26
紫MM,这是计算每月贷款的公式:
作者：紫荆棘鸟
留言时间：2012-11-30 14:28:21
谢 gugeren。其实房贷是 Simple 还是 Compounded〕]不要用公式，Common Sense 就足够了。
作者：gugeren
留言时间：2012-11-30 13:50:28
博主有些杀小鸡子用了大牛刀。
作者：紫荆棘鸟
留言时间：2012-11-30 09:56:24
The bug is
作者：紫荆棘鸟
留言时间：2012-11-30 09:55:18
There is a BUG by carelessness
