先說明一下，這裡的圓錐曲線，也稱為二次曲線，就是大家所熟知的橢圓、拋物線以及雙曲線的統稱，這是中學數學中的平面解析幾何的主要內容，相信大家都還記得。歷史上第一位對圓錐曲線作出系統研究的是古希臘大拿阿波羅尼斯，他老人家將圓錐曲線的主要性質幾乎一網打盡，直到一千多年後笛卡兒創立了解析幾何才有了質的改變。溫習一下，我們有： 橢圓 (&圓 as a special case)：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1； 雙曲線：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1； 拋物線：y^2 = 2ax 這些 (由定義導出的) 公式，相信大家都記得，即使是成色十足的文科大拿也應該記得。另外再說明一下，為了後文表述的簡潔，我們假設空間是一維的，以 x 標記；時間自然是一維的 (當然如果是 2 維或者以上，那現在大約只有供大家在哲學上胡掰的意義)，以 t 標記。光速不變是指狹義相對論意義下的真空中慣性參照系中的光速不變；或者從廣義相對論的角度來說，是指某個“點”附近的平直空間滿足絡倫茲變換 (理解這點可能稍微困難一點，但是卻是至關重要的，建議蒙古物理學家們仔細體會)。 好了，有了這些鋪墊，俺們從初等幾何的觀點出發，來考察“光速不變”以及相關話題 (例如因果律) 的幾何意義。儘管咱們只涉及初等幾何，但會涉及到非歐幾何，所以對許多蒙古數學家和蒙古物理學家而言，某些表述可能會有點陌生。涉及非歐幾何的部分，俺想了想，將在下集裡集中表述。 在閒侃 (1) 中咱們說過，在看起來非常合理的假設下，從變換群的觀點出發，可以推理出咱們這個物理世界的運動速度必須對應以下三種情形之一： a) 速度可以是任意值；特別，速度的最大值是無窮大； b) 速度存在個上限值； c) 速度存在個下限值。 不同的情形對應着不同的時空；從幾何觀點看，也對應着不同的幾何。對最簡單的 a) 而言，大家知道，相應的時空變換是迦利略變換，對應着牛頓經典力學，在不同的參照系中，t1 = t2，完全和空間無關，時間是絕對的；若不考慮時間部分，其對應的幾何就是大家最熟悉的歐幾里得幾何；但若考慮兩維時空 (as a whole，記住這裡咱們約定了，為了表述簡單，只考慮一維空間)，迦利略變換對應的幾何不是歐幾里得幾何，而是一種比歐幾里得幾何更簡單的幾何：迦利略幾何。迦利略幾何之所以比歐幾里得幾何更簡單，是因為前者涉及到角度的轉動時，其對應的轉動幾何量是能直接線性相加減的，而歐幾里得幾何則和三角函數有關，例如在歐幾里得幾何中，我們有關於三角形的正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC，而在迦利略幾何中其對應的正弦定理就退化成 trivial 的形式：a/A=b/B=c/C。 我們重點介紹 b)，對應於咱們的物理世界，以及 c)，對應於某種假想的、不存在的物理世界。這裡俺之所以也討論 c)，是因為： 1) 好奇 (俺自己用初等數學推導了一下相應的變換，俺好奇它到底對應着什麼)； 2) 和 a)、b) 類比，從非歐幾何的角度，能系統地闡述 a)、b)、c)； 3) 廣義相對論框架下可能潛在的物理意義。這點往往會被人忽視，但如本文開頭所說的，絡倫茲變換 (考慮動力學內容，就是狹義相對論) 本質上是廣義相對論幾何表述下的一個 component，亦即局域平直空間所遵循的坐標變換。既然狹義相對論只是廣義相對論局域上所要求的，這就使得在大範圍考慮物理 (當然，這主要是宇宙學方面的內容了) 時，就至少在理論上存在 A 處和 B 處的幾何空間/局域坐標變換不同的可能 (當然，迦利略變換也是 choice 之一)。當然，這個考慮看起來有點匪夷所思 (主要是其物理意義看起來很牽強附會 ) 。 b) 對應大家熟悉的絡倫茲變換 (rescale 使得最大速度 -- 光速 = 1)： t1 = a*( t - v*x) x1 = a*(-v*t + x) 這裡 a = 1/sqrt(1-v^2)，就是所謂的洛倫茲因子。因為 v < 1，所以 a > 1，無須贅述。 現在我們開始看因果律。哲學上的因果律自然是眾說紛紜，例如大哲學家、數理邏輯學家羅素 (就是以哲學散文獲得諾貝爾文學獎的那位) 就這樣描述：“因果律是一個普遍原理,在已知關於某些時空領域的充分數據的條件下,憑藉這個原理我們可以推論出關於某些其它時空領域的若干情況”，但是在物理上，因果律特別是經典的因果律，有一個嚴謹的表述，那就是，如果兩個事件有“因果關係”，“因事件”發生在前，“果事件”發生在後，假設“因果”時間上相差 10 秒，那麼在另一參照系 (這裡指慣性參照系) 中的觀測者來看，儘管“因果”時間上相差可以不是 10 秒，但是因果的先後秩序是不變的，絕對不會出現“果事件”在前發生的情況。也就是說，“因果律”的數學符號 (正數、負數或者 0) 是個不變量。 顯然，因果律在哲學上、物理上都是重大的話題。例如假設我看到的是北韓先向南韓發射一枚導彈，然後看到導彈在首爾爆炸，而你看到的卻是導彈先在首爾爆炸，然後才看到北韓先南韓發射那枚導彈，那會如何？歷史上，儘管因果律顯然是最重要的話題之一，但是物理學卻幾乎沒有相應的理論專門討論因果律，就算是現在“公理化物理”大行其道的今天，也幾乎沒有什麼理論將它作為前提條件提出來。當然，我想這其中最大的理由就是，在經典物理里，因果律從來就不是問題 (因為絕對時間的存在)；在狹義相對論里，它也不是問題，至少在咱們這個物理世界，它也不是問題 (等下我們看看這句話到底是什麼意思)。在物理學上，經典的因果律主要在以下兩種情形出問題： 1) 廣義相對論； 2) 量子力學。 噢~~喔......，大家看到麻煩了麼？儘管因果律主要只在兩種情形下出問題，但是出問題的廣義相對論和量子力學偏偏是現代物理最重要的理論。不過，好在現代物理學的另一根基，狹義相對論，還能嚴格遵守因果律；而廣義相對論對因果律的違背，本質上是因為幾何描述是非平直空間的結果，理論上它是可以計算、追蹤的，所以至少在本源上，這不是多大的問題，但是在量子力學中，這種對經典因果律的違背卻是本質的，不可解的 (例如著名的薛定愕貓)。歷史上，這是以愛因斯坦和波爾之間的世紀論戰所爭論的主要話題之一。追求唯美的愛因斯坦不能忍受經典的因果律在物理學中得以破壞。 從上面給出的絡倫茲變換公式可以簡單地證明： t1^2 - x1^2 = t^2 - x^2 = B 也就是說，在不同的慣性參照系下，t^2 - x^2 是個不變量 B (注意我們已經將光速 c 定義為 1)。t^2 - x^2 = B = const 是啥？雙曲線，對不對？因為我們已經假設了 c 是所有物體運動速度的上限，所以對有物理意義的事件而言，它只可能存在於 |t| >= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那個三角形區域 (當然，若考慮三維空間，這個三角形區域將會是個圓錐)，而紅線則是雙曲線 t^2 - x^2 = B > 0 的漸進線，很明顯，其斜率 = 1 就是光速。而空白區域 (非陰影部分，當然這裡我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以簡單地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律是嚴格得以遵守的，而這正是愛因斯坦質疑哥本哈根學派的主要理由之一。 如果光速增加 5 倍呢？如果光速增加 5 倍，在同一 scale 下，那麼有物理意義的區域就是斜率 = 1/5 或者 -1/5 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之上的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果光速無限地增加到無窮大，那麼 b) 就退化到情形 a)，絡侖茲變換就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守 ---- 這也是歷史上因果律不那麼重要、沒有很早就擺到台面的原因(之一)：因為它根本不是問題。 那麼 Case c) 對應啥？這和咱們的物理世界不符合 (因為它要求在任何慣性參照系下，物體的運動速度都會大於或者等於某個定值)，但是它的數學描述卻是應該有的。俺沒有找到相關的描述，但是好在從 c) 出發，推導出相應的變換公式不難，俺就邊碼字邊推導，結果如下 (無傷大雅地，咱們這裡也稱之為“絡侖茲變換”)： t1 = b * ( t + v*x) x1 = b * (-v*t + x) b = 1/sqrt (1+v^2)，這裡 v 是速度，最小速度 d 已經設為 1，自然根據假定，v >= d = 1，所以“絡侖茲因子” b <= sqrt(2)/2。 很容易證明，在上述“絡侖茲變換”下，二維時空的平方和 t^2 + x^2 = B = const 是個不變量。對有物理意義的事件而言，它只可能存在於 |t| <= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那兩個三角形區域 (若考慮三維空間，這兩個三角形區域，會是一個圓柱挖去一個圓錐)，而紅線斜率 = 1 (or -1) 就是最小速度。而空白區域 (非陰影部分，當然這裡我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以類似地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律也是嚴格得以遵守的。 如果最小速度減少 4 倍呢？如果最小速度減少 4 倍，在同一 scale 下，那麼有物理意義的區域就是斜率 = 4 或者 -4 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之下的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果最小速度減少到 0，那麼 c) 就退化到情形 a)，“絡侖茲變換”就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守。 接下來我們來看三種時空變換下對應的幾何是什麼。咱們的結論是： a) 對應於加利略幾何 (比歐幾里得幾何更簡單的幾何，屬於非歐幾何的一種)； b) 對應於閔可夫斯基幾何 (自然也屬於非歐幾何的一種)； c) 對應於通常的歐幾里得幾何。 具體如何，且聽下回分解。今天俺累死了。
文章評論
作者：引力
留言時間：2013-07-07 10:07:54
再關於坍縮與現實世界說幾句。所謂現實世界，實在是受制於人類的思想與觀察，而思想又比觀察精微、闊大得多。原子是古希臘哲學家首先思想到的，卻在兩千年後才被人類觀察到，這說明人類思想所達到的精度遠遠超過人類的觀察能力，古希臘當時可能也沒有人真正相信他們想象之中的原子確實是屬於現實世界的，他們當時之所以要那樣表述可能着重是從一種思想邏輯申美的角度來進行的，而非從他們每日生活的現實世界的角度來進行的。現在說說坍縮，人類後來發現被稱作原子的東西，也可以叫其他名字，但為什麼要叫做原子呢？這就是思想的坍縮。當時發現原子的科學家們實在是受到古希臘文明的鼓勵與薰陶太多，他們樂於把自己的發現與古希臘人的思想聯繫起來，或者說把自己的新發現坍縮到古希臘人的表述中。再比如，西方人觀察世界、他們的理解是按西方人的眼光進行的、等於說把世界坍縮到西方人的眼光中，中共觀察世界、是按中共的眼光進行的、等於說是把世界坍縮到了中共的眼光中。量子力學的波動方程、似乎更能表述世界的原生態，而人類的思想、觀察、以及測量，似乎可能都等於說是向某個思想的方向、或觀察的方向、或測量的方向進行了坍縮。我想，真正的相對論的精髓是在這裡：每個觀察者所觀察到的世界都是不同的，但是，這種不同又可以通過適當的變換而能夠互相理解和包容。這不只是數學思想、物理思想，也應該是人類文明的思想、人類生活的思想。
作者：引力
留言時間：2013-07-07 09:40:24
再就普朗克尺度談幾句。
作者：引力
留言時間：2013-07-07 09:22:57
什麼是科學革命呢？思想要開闊點。距離的一次方是長度，二次方是面積，三次方是體積。時間的一次方是長度，二次方為什麼不是面積？三次方為什麼不是體積？就是說，時間有長度、有面積、有體積、還有四wei積，而這些都與力的性質狀態有關。就是說，這裡所說的時間高wei並非一個理論猜想，而是有實實在在地與力的物理學意義對應。你的數學看起來還不錯，如果有興趣，不妨與我一起把這個東西從數學上做出來，這可能是超越牛頓、愛因斯坦的新的引力理論。據我所知，也如你剛才所言，應該在物理理論界還沒有象我這樣着重時間來表述力的性質的，這很可能是一場物理學、乃至宇宙學的革命，何樂而不為呢？另外，我也得到一個公式，用時間的平方代替牛頓的空間距離的平方來表述萬有引力，你如果有興趣，我可以與你就此公式進一步交流。還有對中微子的看法、對光速不變實驗的看法、對引力透鏡的看法等等，也可能已經都有一些新的觀點，這些觀點可能從根本上去掉了愛因斯坦相對論的前提以及以及最重要的實驗支持，從而為我的新的引力理論開闢道路。目前我希望能夠找到合作夥伴從更專業、尤其是更現代的數學化的角度表述出來，你如果願意的話，我們可以一起做。
作者：紫荊棘鳥
留言時間：2013-07-06 22:39:25
謝半截懶人鼓勵。你說的這些，看起來“哲學”的色彩頗為濃郁呢。這裡俺準備說些物理理論中比較成形的東西，“暗物質、暗能量”等，其實算宇宙學裡不太成形的部分，亦即其理論往往沒有得以公認，很多都是假設猜想的階段。
作者：紫荊棘鳥
留言時間：2013-07-06 22:34:40
回嘎拉哈：首先我說句，我是經典因果律的支持者，只是我人微言輕，支持不支持沒有任何作用罷了。我沒看到你亂砸磚頭啊，而且貌似你所說的和我的觀點差不多，何況狹義相對論不存在這個問題。
作者：紫荊棘鳥
留言時間：2013-07-06 22:28:19
對不起，有事外出了，遲復為歉。
作者：半截懶人
留言時間：2013-07-06 09:40:26
好有意義的思考。
作者：嘎拉哈
留言時間：2013-07-06 03:37:58
紫鳥辛辛苦苦打了這麼多字，還畫了幾張圖，俺不僅不感謝，還胡亂砸磚頭。真是對不住了。等着您的下一篇，俺要從您這兒學習數學知識。
作者：嘎拉哈
留言時間：2013-07-06 03:10:24
人類的全部認知，都是觀察的結果。知識乃依據觀察結果總結，提煉，簡化出來的規律。對於某些從無例外的規律，我們就可以用來做為公理或常識，大膽的用來預測（外推）其他東西，一般也從不會出錯。從這個角度，時間因果律是物理上“最靠得住的，從無例外的“經驗常識之一。因此，用時間因果律質疑或檢驗某些數學推導的結果，也是一種非常靠的住的方法。也就是說，如果某個數學推導得來的物理學結論違反了時間因果律，那麼這個結論基本上是站不住腳的。
作者：引力
留言時間：2013-07-05 16:36:52
關於時間的維度：
