第二十三章﹕混沌到有序

混沌現象是非線性系統的特徵，有限維的線性系統不會生出混沌魔鬼，但無限維的線性系統有可能產生混沌。此外，以微分方程描述的連續系統和與其對應的離散系統的混沌表現也有所不同。龐加萊（Poincaré-Bendixson theorem）曾經證明，只有大於3維的連續系統，才會出現混沌。而離散系統則沒有維數的限制，我們討論過的邏輯斯蒂映射便是一個1維系統出現混沌的典型例子。

自然界中更多的是非線性系統，自然現象就其本質來說，是複雜而非線性的。因此，混沌現象是大自然中常見的普遍現象。當然，許多自然現象可以在一定程度上近似為線性，這就是迄今為止傳統物理學和其他自然科學的線性模型能取得巨大成功的原因。

隨着人類對自然界中各種複雜現象的深入研究，各個領域越來越多的科學家認識到線性模型的極限，非線性研究已成為21世紀科學的前沿。

非線性科學不僅研究從有序到混沌的轉換，也感興趣從無序中如何產生有序，因為這個問題涉及到生命的產生和進化。這方面與物理和數學有關的的主要研究方向有三個：自組織理論（Self-organization）、孤立子（Soliton）、和細胞自動機（Cellular automata）。

我們在本文中提及混沌現象時經常說到‘系統的長期行為’。人們很容易理解這兒的‘長期’，指的是時間無限流淌下去的意思。時間是什麼？這個在日常生活中好像不言自明的概念，在物理及哲學中，卻爭論探索幾百年，直到現在也仍然回答不出個所以然來。不過，時間具有方向性，一去不復返，“機不可失，時不再來”，這點沒人能否定。然而，很奇怪，在經典物理學的大多數理論中，聰明的科學家們，卻忽視了這個時間的方向性，只有熱力學除外。

熱力學中有個第二定律，說的就是有關熱力學過程進行的方向問題。1864年，法國物理學家克勞修斯在《熱之唯動說》一書中，為了對過程發展的這個時間方向進行定量的描述，首次提出了一個新的物理量，人們給它取了個奇怪的的名字—‘熵’。

“這個‘熵’，是個什麼東東啊？我以前學物理時，一看見這個字，就有望而生畏的感覺，立刻想對它敬而遠之……”王二皺着眉頭抱怨。

李四笑了：“其實也沒什麼很高深的，通俗地說，我們用‘熵’的大小，來測量由大量粒子(原子、分子)構成的系統的紊亂程度。”

熵是一個系統混亂程度、或稱無組織程度的度量。克勞修斯之後的統計物理學家玻爾茲曼，又把熵和信息聯繫起來，提出“熵是一個系統失去了的‘信息’的度量。”，這個說法有道理，‘次序’不就是某種信息嗎，有序變無序，失去了次序，也就失去了一部分信息。後來的申農採用並發展了玻爾茲曼這個想法，把熵的概念，以及物理學中的統計方法移植到通信領域，建立了信息學的理論基礎，他被譽為信息學之父，此是後話。

總之，系統越混亂，熵就越大；系統越有序，熵就越小。熱力學第二定律，也被稱為‘熵增加原理’，說的就是，一個孤立封閉系統的熵總是增加（永不減少）的，即系統總是由有序過渡到無序，這種過程不可逆地進行着。我們觀察到的大量物理現象，都是混亂度增加的不可逆過程，比如：結晶的冰塊放到熱水中，逐漸融化，有序的結晶變成無序，使得熵增加；一滴紅墨水滴到一杯清水中，墨水顆粒自動擴散到水中，水變成更為無序的淡紅色溶液；熱量總是從溫度高的傳向溫度低的。自然界中也是這樣：火焰燃燒，留下灰燼；山石風化，變成泥漿；時光流逝，青春不再；江河直下，奔流入海；事物從有序過渡到無序，過渡到到低級，到混沌，相反的過程似乎不會自動發生……

王二仍然皺着眉頭：“你舉出的那些物理現象的確是不可逆的，冰塊融化了，不可能自動地再從熱水中結晶出來，生米煮成了熟飯，不能再變成米，這就像已經死去了的生物體不可能突然再活過來一樣。時間的確是有方向的，時光不會倒流，這點我同意。但是，我不同意你說的，事物總是從有序到無序、高級到低級的說法！因為，從生物進化的過程來看，都是一步一步、一代一代，從簡單到複雜的。許多億年過去了，這個世界，從無序中產生有序，產生了生命，又從低級生命進化到高級生命，從微生物進化到高等動物，以致進化到人類啊！那麼，在這個漫長的低級向高級的進化過程中，你所謂的‘熵’，是增加了還是減少了呢？”

李四說：“你別着急，剛才我說的‘熵增加原理’，是只能適應於封閉系統的。而整個宇宙，這個大千世界中的萬事萬物，並不總是能簡單地看成封閉系統啊……”

熱力學第二定律所表明的演化方向的確與達爾文生物進化論所言的演化方向相反，生物學與理論物理之間存在着巨大的鴻溝。當然，熱力學第二定律只能被用於封閉系統，而不應該被無限擴展應用到諸如生物體這樣的開放系統。但是，從封閉系統的熵增加，如何變成了開放系統的熵減少？怎樣才能將這兩種理論所產生的“演化悖論”協調、統一起來呢？山石風化、墨水擴散，的確是我們常見的現象；種子發芽、嬰兒誕生，也是我們熟知的生活常識；如何建立一個紐帶，才能將物理學的演化理論與生物學的進化規律連接起來？這些問題，近百年來一直困惑着科學家們。

正是基於這個“演化悖論”的困難，比利時物理化學家普里戈金登上了歷史舞台。他研究非平衡態的熱力學，並創建“耗散結構理論”，研究自組織現象，企圖填補理論物理與現代生物學之間的鴻溝。這些成就使他榮獲1977年的諾貝爾化學獎。

圖（23.1）普里戈金在奧斯丁德州大學

什麼是自組織現象呢？它和我們前幾個章節所討論的系統從有序到混沌的過程不同，和熱力學第二定律描述的熵增加的演化方向相反。也就是說，在一定條件下，一個開放系統可以由無序變為有序，開放系統能夠從外界獲得‘負熵’，而使得熵值減少。這時，系統中的大量分子、原子，會自動地按一定的規律運動，有序地組織起來。我們將這種現象，叫做自組織現象。

普里戈金認為，形成自組織現象的條件包括：（1）系統必須開放，是耗散結構系統；（2）遠離平衡態，才有可能進入非線性區；（3）系統中各部分之間存在非線性相互作用；（4）系統的某些參量存在漲落，漲落變化到一定的閾值時，穩態成為不穩定，系統發生突變，便可能呈現出某種高度有序的狀態。

由於在自組織現象中，系統呈現高度的組織性，這就為從物理理論的角度解釋生命的形成提供了可能。不僅如此，在物理、化學的領域中，也經常觀察到自組織現象。

圖（23.2）激光的形成

激光就是一種時間有序的自組織現象。比如，如圖（23.2）所示的氦氖激光產生機製圖中，激光器是一個開放系統，外界通過泵浦向激光器輸入能量，圖（a）是當輸入功率較低時的情況，這時候，各個氖原子所發出的光波的頻率、相位和振動方向都各不相同，因而發出的是無規則的微弱的自然光。當輸入功率增大到一定的值，如圖（23.2b）所示，這時系統發生突變，大量原子出現自組織現象，以同樣的頻率、相位和方向發射出高度相干的光束，這就形成了激光。