懷爾斯證明了什麼？人們都說懷爾斯證明了費馬大定理，但是實際上，他證明的是 “模性定理”的一部分，就是我們在上篇中介紹的，原來叫“谷山-志村猜想”的那個。為什麼證明了這個猜想就算證明了費馬大定理呢？這是因為，有好幾位數學家已經為通往費馬大定理鋪好了路……

1，兒時夢造就大師

今年的諾貝爾物理獎得主之一，是人工智能教父辛頓。據說他在少年時代就立志要弄懂“大腦是如何工作的？”，幾經坎坷，他終於走到了正確的道路上並作出卓越的貢獻。這樣的事在科學史上屢見不鮮：愛因斯坦相對論的思想，也是源於他兒時的想象：如果自己騎在“光線”上旅行的話，對時間將有何種感受？

1922年，9歲的圖靈讀到一本《兒童應知道的自然奇觀》，書中有句話“人體也是一台機器”，令兒時的圖靈震撼，影響深遠！他決定要探究人與機器之關係，最後願望終於實現。四十年之後的1963年，我們的主角，10歲的安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles，1953-）初識費馬大定理！一天，他偶去圖書館，翻看叫《大問題》的一本書，在書中邂逅了它！不料從此後懷爾斯便與其結下不解之緣。令懷爾斯頗感奇怪的是，這個定理很容易陳述，十歲的他就能理解，但卻從來沒有人證明過！這讓他着迷，激發他的好奇心和好勝心，並且，他似乎當年就知道自己永遠不會放棄它，必須解決它！

懷爾斯出生於英國劍橋，父親原來是牧師，後來成為牛津大學神學教授。

懷爾斯後來就讀於劍橋大學國王學院。1974 年，懷爾斯在牛津大學默頓學院獲得數學學士學位。從 1975 年夏天，懷爾斯在約翰·科茨的指導下開始他的研究生階段。他們一起用岩澤理論的方法研究橢圓曲線的複數乘法算法。他進一步與巴里·馬祖爾合作研究了有理數上岩澤理論的主要猜想，不久之後，他將這個結果推廣到全實數域。

1980 年，懷爾斯在劍橋大學克萊爾學院獲得博士學位後，到新澤西州普林斯頓高等研究院任職，並於 1981 年成為普林斯頓大學數學教授。

懷爾斯的潛意識深處，總藏着費馬猜想。但是，從70年代在劍橋大學開始，他就一直專門研究橢圓曲線，也取得不少成果，不過這看來與費馬大定理沒什麼關係哦。

此時，兩位日本數學家也已經提出了他們的猜想，並且，在美國的法國數學家韋伊（André Weil，1906-1998）的一篇論文將此猜想介紹到了西方，使得廣為人知，韋伊還為猜想提供了概念性的證據，因此也被稱為“谷山-志村-韋伊猜想”。該猜想企圖將懷爾斯正在研究的橢圓曲線方程與模形式聯繫在一起。但沒有人能證明這個猜想，即使被證明了，與費馬大定理也沒啥關係啊。

懷爾斯意識到自己的數論知識太有限了，也許要放棄這個兒時的夢想？歷史的腳步很快就走到了80年代，懷爾斯33歲了。想不到這時候，數學界有幾篇文章，引起了懷爾斯的注意，終於有人將費馬的最後猜測，與他熟悉的橢圓曲線聯繫起來了！

2，弗雷曲線

格哈德·弗雷（Gerhard Frey，1944-）是德國數學家。他的研究領域是數論和丟番圖幾何，以其在數論方面的工作而聞名。他同時也研究橢圓曲線密碼學，或許正因為如此，他第一個將費馬猜想與橢圓曲線聯繫起來。

弗雷假設，如果費馬方程有解，那麼他就可以從費馬方程的所謂解，構造出一個橢圓曲線。

弗雷幾年前就研究過類似的曲線，現在他注意到該曲線具有不尋常的性質，可能不是“模的”！這條曲線後來被稱為弗雷曲線^【1】。1985年，弗雷猜想這個費馬大定理的反例將創造出一條非模的曲線，這樣就在費馬和谷山-志村猜想之間架起了一座橋梁。因此，弗雷提出谷山-志村猜想可能蘊含着費馬大定理，這個想法引起了廣泛的興趣，也重新點燃懷爾斯兒時要“攻克費馬最後猜想”的心靈之火。

懷爾斯當然暗地裡興奮不已，似乎費馬大定理的證明有希望了：首先需要證明模定理，其次需要證明弗雷的直覺是正確的。

3，塞爾和黎貝

弗雷的研究雖然引起了一些關注，但距離費馬大定理的證明還有十萬八千里！因為上面說的都是猜想，這個猜想連着那個猜想，猜想都解決了，費馬大定理才能解決。特別是那個谷山-志村的“模猜想“，當代的數學大師們都普遍認為這是無法證明的，太難了！至於弗雷的猜想，他只是給出了一種說法，說”這是可行的“，但沒有給出完整的證明，弗雷並沒有嚴格證明自己的猜想。

不過，不久之後，法國數學家讓-皮埃爾·塞爾（Jean-Pierre Serre，1926年-）參與進來了^【2】。他明確了弗雷所猜測的聯繫（圖1中的藍色箭頭），又提出了一個ε猜想。並近乎完整的證明了：如果證明了谷山-志村猜想，又證明了ε猜想，那就意味着證明了費馬大定理（圖1中棕色虛線）。

讓-皮埃爾·塞爾主要貢獻的領域是拓撲學、代數幾何與數論。他曾獲頒許多數學獎項，包括1954年獲得的菲爾茲獎。當時他年僅28歲，是至今最年輕的菲爾茲獎得主。他2000年獲沃爾夫數學獎，2003年獲阿貝爾獎，是阿貝爾獎的首個得主。他與格列戈里·馬爾古利斯並列數學界“三大獎項”大滿貫得主。

那好，現在所需證明的頭緒清楚了：費馬大定理=谷山-志村猜想+ε猜想。那麼，塞爾的ε猜想說些什麼呢？它的意思是說，如果與橢圓曲線相關的伽羅瓦表示具有某些特性，那麼該曲線不能是模形式的。這兒的“伽羅瓦表示”，以及“某些特性”是什麼特性，涉及太多的複雜數學概念，我們就無法深究了。總而言之，塞爾已經確保掃清了其它所有的障礙，只剩下“模”和“ε”兩個猜想了。

這時，又一位叫黎貝的數學高手登場了，他解決了ε猜想^【3】（黎貝定理），為最後證明費馬大定理鋪平了道路。

肯尼斯·黎貝（Kenneth Ribet，簡稱肯·黎貝，1948-），美國數學家，目前在柏克萊加州大學任教，研究領域涉及代數數論與代數幾何。

圖1：證明FLT

黎貝出生於紐約布魯克林，父母均為猶太人。黎貝在法拉盛高中讀書時，加入了競爭激烈的數學隊，但他本科最開始學習的領域是化學。黎貝1973年從哈佛大學獲得博士學位後，在普林斯頓大學任教三年，之後於1978 年，加入加州大學伯克利分校數學系。

黎貝於1986 年證明了ε猜想，所以現在它被叫做黎貝定理。此外還有至關重要的是，它還表明，為了證明費馬大定理，不需要證明完整的谷山-志村猜想，只需證明一個特例，即半穩定橢圓曲線滿足猜想，就足夠了。弗雷曲線就是這種“半穩定橢圓曲線”。

而弗雷提出的聯繫也由黎貝證明了：如果用費馬方程的解作為一組數，以這種方式構造橢圓曲線，則得到的橢圓曲線不能是模的。

所以，現在只剩下找出最後一個鑰匙：只要能對“半穩定橢圓曲線”證明谷山-志村猜想，就自動證明了費馬大定理。因為如果所有半穩定橢圓曲線都必須是模的，而黎貝定理又表明，費馬方程的解創建的半穩定橢圓曲線是非模的。這兩個陳述唯一可能為真，就是費馬方程沒有解，這樣就無法創建這樣的曲線。

不過，找到最後一個鑰匙很難。30年來，所有企圖證明谷山-志村猜想的努力，都以失敗告終，即使是黎貝也說：“我甚至沒有想到過要去試一下證明它”。大多數數學家都認為這是一塊搬不動的大石頭。

參考資料：

【1】Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae,

【2】Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230

【3】Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476.