| 第二十四章﹕孤立子的故事 孤立子是非線性研究的另一個熱點。 第一次發現水波中產生的孤立子現象，距今已經有將近180年了。那是1834年8月的一天，在蘇格蘭愛丁堡市附近的尤寧運河岸邊，26歲的造船工程師約翰·司科特·羅素騎馬觀察船在河中的運動情形時發現的。 之後，羅素這樣描述他那天的驚人發現【1】： “我正在觀察一條船的運動，這條船沿着狹窄的河道由兩匹馬快速地曳進。當船突然停下時，河道中被推動的水團並未停止，它聚積在船首周圍，劇烈翻騰。突然，水團中呈現出一個滾圓光滑、輪廓分明、巨大的、孤立聳起的水峰，以很快的速度離開船首，滾滾向前。這個水峰沿着河道繼續向前行進，形態不變，速度不減。我策馬追蹤，趕上了它。它仍以每小時八、九英里的速度向前滾動，同時仍保持着長約三十英尺、高約一到一點五英尺的原始形狀。後來，我追逐了一兩英里後，才發現它的高度漸漸下降。最後，在河道的拐彎處，我被它甩掉了。” 這一“奇特的”、“美麗的”、孤立的水峰令年輕的羅素着迷，而且，他敏感地意識到，自己發現了一個新的物理現象。羅素的直覺不無道理，他是一個經常在河邊進行觀察和研究的造船專家，成天與水流水波打交道，因此，他堅信這個現象與一般常見的水波截然不同，一般水波是很快就要彌散、消失的，維持不了這麼久。此外，羅素也是一個訓練有素的船舶設計師，有深厚的物理數學功底，他相信，那時現有的波動理論，包括牛頓的理論和伯努利的流體力學方程，都沒有描述過，也無法解釋他看見的這種奇特現象，因此，羅素給自己的發現取了個新名字：平移波。後來被學界命名為孤立子，或孤子。  圖（24.1）：（a）羅素在1834年第一次觀察到孤子（平移波）； （b）水波中的孤立子現象Phys. Rev. E 86, 036305 (2012)； （c）計算機模擬所產生的KDV方程孤立子解【2】 偶然發現的‘平移波’在羅素的腦海中久久揮之不去，為了深入研究這個現象，羅素在自家後院裡建造了一座宏大的實驗水槽，並且他很快就掌握了產生‘平移波’的方法，重現了他在運河中看到的特殊景象。經過多次實驗，反覆研究，羅素注意到孤立子的許多特殊性質：一是孤立子的速度與波的高度有關，二是孤立子能夠保持其速度和形狀長時間地傳播。比如，羅素經常在他的實驗水槽里產生兩個孤立子，一個瘦高個，一個矮胖子。有趣的是，瘦高個總是比矮胖子跑得更快，每次都能追上矮胖子。更神奇的是：兩波相遇後，並不會混合亂套而失去它們各自原來的形狀和速度，相遇再分開之後，高而瘦的波越過矮胖子，繼續快跑，將矮胖子遠遠地甩在後面。 羅素認為，既然孤立子能夠保持其速度和形狀長時間地傳播，它們應該是流體力學的一種穩定解，羅素對此提出了很多大膽的猜想和預言，但他一人單槍匹馬，精力畢竟有限，便希望得到科學界的關注和共同研究。1844年9月，也就是在第一次觀察到水波孤子現象的十年之後，羅素在英國科學促進會第14次會議上以《論波動》為題，對他的發現和研究作了一次精彩的報告。報告內容雖然另人們覺得神奇精彩，但卻未能得到羅素期盼的結果。因為正如大多數革命新思想出現時遭遇的命運一樣，羅素的想法未得到當時科學界權威的認可，反被某些評論者說成是因走火入魔而產生的“反常和漫無邊際的猜測”。 在羅素去世十年後，1892年，兩位荷蘭數學家從淺水波運動的KdV方程，果然得到了與羅素所描述現象類似的孤立子解（圖24.1c）。KdV方程證實了羅素觀察到的兩個孤波碰撞時發生的情況。兩個弧波相交後，並不互相混合和彌散，而是各自保持它們原來的速度、方向和形狀，完整復現出來。這種行為類似於微觀粒子發生碰撞時的情形，這也是為什麼將此現象稱為孤立‘子’的原因。 從物理學的觀點來看，孤子是物質色散效應和非線性畸變合成的一種特殊產物。 
圖（24.2）：色散和非線性崎變抵消，形成孤立子 水波和光波等波動現象形成的波峰，都可以描述為由許多不同頻率的正弦波組成。這些不同頻率的波以不同的速度傳播，這就是色散現象。在波動的線性理論里，各正弦波彼此無關，沒有什麼東西把這些不同頻率的波捏合在一起，所以它們各自為政，即使一開始時候形成了一個巨大的波峰，這個波峰中的各個頻率波也會因色散現象導致速度不同而使波峰很快地改變形狀，破碎成許多小小的漣漪，形成渾沌而彌散開來。這是只有色散的情況，如圖（24.2）中的上圖所示。 從另一方面，流體分子間存在的非線性效應使得波峰的形狀發生另一種類型的崎變，這種非線性崎變作用，如圖（24.2）中的中圖所示。 在KdV方程中，因為既考慮了色散現象，又包括了非線性效應的影響，所以，在一定的條件下，這兩種作用互相抵消。色散效應要使得不同頻率的子波互相分離，而非線性效應又將這些子波拉回來緊緊地拴在一起，這樣一來，最後結果就使得原始的波峰既不彌散，也不崎變，而能夠長時間地保持原狀滾滾向前，這就形成了羅素看到的孤立波，也就是在圖（24.2）中的下圖所示的情形。 儘管數學家已經證明了KdV方程的確存在類似孤立子的解，人們對羅素發現的孤立子的重要性仍然認識不足。孤立子的命運一直到上世紀60年代才有了轉機。20世紀50年代，美國的三位物理學家費米、帕斯塔和烏拉姆，利用當時美國用來設計氫彈的大型計算機，對由64個諧振子組成的非線性系統進行數值模擬，企圖證實統計物理學中的“能量均分定理”。但他們的模擬結果卻事與願違，違背了能量均分定理。初始時刻這些諧振子的所有能量都集中在某一振子上，其它63個振子的初始能量為零。按照能量均分定理，系統最後應該過渡到能量均分於所有振動模式上的平衡態。但實驗結果卻發現，經過長時間的計算模擬演化後，能量出現了“復歸”現象，大部分能量重新集中到初始具有能量的那個振子上。 費米等人當時只是考慮實驗振子在頻率域的情況，並且因為結果出乎意料地違背了物理界原來公認的“能量均分定理” ，所以，他們並未將此現象與羅素發現的平移波聯繫起來，因而也與孤子的發現失之交臂。但後來有人繼續費米等人這項研究時，得到了孤立波解，並從而進一步激起了人們對孤立波研究的興趣。其後，物理界對孤子現象的本質有了更清楚的認識，除了水波中的孤子之外，並先後發現了聲孤子、電孤子和光孤子等等現象。小小的孤立子不再孤獨，被人們譽為“數學物理之花”。 由於孤子具有的特殊性質，使它在物理的許多領域，如等離子物理學、高能電磁學、流體力學和非線性光學等領域中得到廣泛的應用。此外，孤子在光纖通信、蛋白質和DNA作用機理，以及弦論中也有重要應用。 特別是在由光纖傳輸的通信技術中，光孤子理論大展宏圖，因為光孤子在光纖中傳播時，能夠長時間地保持形態、幅度和速度不變，這個特性便於實現超長距離、超大容量的、穩定可靠的光通信。 1982年，在羅素逝世一百周年之際，人們在他策馬追孤波的運河邊樹起了一座紀念碑，以紀念這位孤軍奮戰、但有生之年未能‘成功’的科學先驅。 參考資料： 【1】http://en.wikipedia.org/wiki/John_Scott_Russell 【2】Mark J. Ablowitz and Douglas E. Baldwin，Nonlinear shallow ocean-wave soliton interactions on flat beaches，Phys. Rev. E 86, 036305 (2012)，Published September 6, 2012。 上一篇∶無序到有序 返回目錄 下一篇∶生命遊戲 |
