设万维读者为首页 万维读者网 -- 全球华人的精神家园 广告服务 联系我们 关于万维
 
首  页 新  闻 论  坛 博  客 视  频 分类广告 购  物
搜索>> 发表日志 控制面板 个人相册 给我留言
帮助 退出
 
天蓉的博客  
随笔、小说、诗词、科普。 “真和美,是科学不变的精髓;爱与死,是文学永恒的主题……”  
网络日志正文
《走近混沌》-17-混沌遊戲 2012-11-04 14:37:07

第十七章﹕混沌游戏

 

“我想,庞加莱本质上是保守的。而且,他的数学眼光又大大超越了他的物理眼光和哲学眼光……

 

李四很赞同王二的说法。对呀,你们看,他在狭义相对论的表现和他在看到混沌现象时的表现,都是出于同样的在哲学上和物理上的保守观念。其实,当初他已经发现了对初始条件极为敏感的混沌现象。但有人认为,庞加莱并没有把他对同宿交错网,也就是对混沌现象的全部想法,完全写进他的著作。他最后提交的有关三体问题论文,有长长的270多页,而且后来,他还就此问题,发表了三大卷《天体力学的新方法》,对天体力学做出了重要的贡献。而对同宿交错网及混沌,却只是在他的书的第三卷第397节中简单提了一下,只是为了说明:N体问题的解的复杂性,超出了人们的想象能力。

 

张三说:“唉,在那个时代,也难为他了……十九世纪末期,人们对自然界的基本理解是决定论的。”

 

的确,这种混沌的想法完全不符合当时知识界的乐观情绪。那时的人们津津乐道的是,给定现在的状态,人类有能力预测未来的一切!

 

谈到这个话题,张三又想起了他们曾经讨论过的决定论,上次李四不是说过吗?根据量子力学,初始条件是无法精确确定的,这个观点的确很有道理。张三说,尽管我不懂量子力学,但我也听过量子力学中的不确定原理……。其实,不确定原理并不难理解嘛。在工程中,也有两个物理量不可能同时被精确测量的情况。比如说:时间和频率。这是因为,所谓频率,指的是 ‘一段时间’内的振动次数。如果你把这‘一段时间’精确到一个理想的时间点的话,频率当然就失去意义了,就像对一个时间点,速度的定义失去其意义一样。不过,我对‘混沌现象’、‘决定’、还是‘非决定’这些概念,仍然有所疑问:

 

“虽然叫做混沌,看起来杂乱无章、一片混乱,虽然貌似随机,但是,我总觉得这种混沌现象与真正的‘随机过程’,还是风马牛不相及,它们毕竟是确定的微分方程的解啊!另外,洛伦茨方程产生的混沌,与三体问题中的混沌,还是不同的吧?因为它们是与不同的微分方程有关嘛。所以,我们这儿讨论的‘混沌’,有一些,怎么说呢……好像仍然包含着‘决定’的成分……”

 

王二很快领悟到了这其中的奥妙:“难怪啊!我总看见书上把它们叫做‘决定性的混沌(deterministic chaos)’,看来这就是原因了!”

 

不过,王二不同意张三所说的:混沌现象与真正的随机过程‘风马牛不相及’这个观点,王二提到了最近他在一本书上看到的‘混沌游戏’。

 

李四也说,我们所说的‘混沌现象’,的确并不完全等同于‘随机’。但是和随机过程有关系,它是随机过程和决定规律的结合。洛伦茨方程产生的混沌,显然不同于三体问题产生的混沌,因为它们有不同形态的奇异吸引子,分别作为它们各自的标签!这些奇异吸引子对应于不同的分形,分形有决定的一面,也有其随机的一面。正如王二所说,从本章介绍的‘混沌游戏’,我们将看到:分形可以从随机过程产生出来!

 

总结我们迄今为止所介绍过的分形,大概有如下三类:

1.   科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、分形龙等,可以从线性迭代过程产生;

2. 曼德勃罗集、朱利亚集,从非线性复数迭代过程产生;

3. 奇异吸引子,由洛伦茨方程或三体运动方程等非线性微分方程组产生。

 

前面几章中,曾经介绍用迭代的方法构成分形。而随机过程如何产生分形呢?我们以谢尔宾斯基三角形为例。

 

图(17.1):用混沌游戏方法生成谢尔宾斯基三角形

 

在初始图形上,画上红、绿、蓝三个顶点,以及随意选择的起始点z0,再准备一个能随机产生‘红、绿、蓝’之一的随机发生器。这很简单,比如说,我们可以将标有1-6的骰子重新贴标签:第14面贴‘红’,25面贴‘绿’,36面贴‘蓝’,这样,这个骰子就能让我们达到随机选择红绿蓝的目的了。然后,我们就可以开始混沌游戏。

 

图(17.1)所示,z0开始,利用随机选出的颜色点(这时是绿),取z0到绿点的中点,作为下一个点z1,然后,又利用再次随机选出的颜色点(这时是蓝),取z1到蓝点的中点,作为z2,……以此往复地做下去,得到z3z4z5z6……

 

张三有点不耐烦了:“你这些乱七八糟的点,看不出什么名堂啊……”

 

王二叫他别急,统计现象嘛,一定要足够多的实验点才能见效果的。果然如此,从图(17.2)可见,如果用大量随机的点作上面的混沌游戏,最后构成了谢尔宾斯基三角形。

 

图(17.2):生成谢尔宾斯基三角形的混沌游戏,不同实验点数的不同结果

 

张三看看图(17.2),又回头再去看图(17.1),心中琢磨:像这样,每次随机选择一个顶点,取中点作为下一点,一直做下去,怎么就产生出谢尔宾斯基三角形来了呢?想着想着,脑中突然灵光一闪,似乎觉得不难理解了。因为他想起:在用迭代法产生谢尔宾斯基三角形的时候,每次迭代的过程,都是将原来图形的尺寸缩小到二分之一,变成三个小图形,放在三个顶点附近而成的。这迭代时的‘尺寸缩小一半’,肯定就和这儿混沌游戏中的‘取中点’关联起来了!不过嘛,图形迭代时,我们看到的是同时产生了三个小三角形,像是平行运算。在混沌游戏中,所有分形的点却是一点接一点,串行而随机地加到图上去的。嘿,这就是为什么叫做‘混沌游戏’嘛,有意思!看起来混沌,本质上却和迭代的效果是一样的!

 

张三想通了混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形的奥秘,心中得意,刚想解释给朋友们听听,没料到王二已经早他几天看过有关‘混沌游戏’的书,比他理解得还更深一层,提出了一个他没想过的新问题。王二问李四:

 

“用混沌游戏产生谢尔宾斯基三角形比较简单。像你说的:随机选择顶点,再找中点就可以了。但是,一般分形的情况怎么办呢?还有那些由非线性方法产生的分形呢?也能用混沌游戏产生出来吗?”

 

李四认为,原则上应该是可以的,虽然他没有做过。数学家们的特点,不就总是从一个特殊的例子,抽象成一个一般的数学问题,再研究出一般的解决方法吗?

 

产生分形所用的迭代方法,可以抽象成一组收缩变换函数,数学家们将此称为迭代函数系统(IFSIterated Function System)。任何分形,只要找到了对应的IFS,就能用迭代法(或者是混沌游戏的方法)产生出来,非线性的情况也一样。比如说,下面公式即为谢尔宾斯基三角形的IFS

 

f1(z) = z/2,

f2(z) = z/2 + 1/2,

f3(z) = z/2 + ( 3 + I)/2

 

王二点点头,张三也觉得更明白了:啊,原来是用迭代函数系统将它们联系起来。谢尔宾斯基三角形的IFS中这么多的(1/2),不就是我刚才想到的‘尺寸缩小一半’和‘取中点’此类操作的数学表达吗?只听王二又说:

 

“你刚才总结过有三类不同的分形,前面两种分形(简单的、和曼德勃罗集等)都显而易见地,可从迭代过程产生。那种奇异吸引子的分形不是微分方程的解吗?那怎么从迭代过程产生啊?”

 

张三高兴了,终于找到了表现的机会,赶快抢答。因为这个问题他再清楚不过了,他在画洛伦茨吸引子等图的时候,就是从初始时间t0时的初值开始,用迭代法产生出下一个时间t1时的值,以及再下面的t2t3….等等时刻的数值。这样做的原因是因为找不到微分方程的精确解,因而只能用迭代法得到数值解。

 

王二恍然大悟:啊,原来如此!

 

图(17.3):生成树叶的混沌游戏

图(17.3):生成树叶的混沌游戏

 

上一篇∶三體問題

返回目录

下一篇∶生態繁衍和混沌

 

浏览(1238) (0) 评论(1)
发表评论
文章评论
作者:Jack 留言时间:2012-11-04 18:00:14
分形的一个最重要的特征是非整数维数,这很难想象。而且该维数一般还不是有理数或无理数,但能算出来。它是混沌的几何特征。混沌则发生在非线性动力系统,该系统必须是非稳定的,无解析解的系统。一旦系统进入混沌状态,则具有随机性。最简单的具有混沌状态的非线性动力系统是RCL电路。很容易搭出来的。

-Jack
回复 | 0
 
关于本站 | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站导航 | 隐私保护
Copyright (C) 1998-2020. CyberMedia Network /Creaders.NET. All Rights Reserved.