费马看到毕达哥拉斯定理，扩展思路得到了一个猜想，然后还轻描淡写地撂下一句话，说他有个精妙的证明但空白太小写不下！然后，他的猜想折腾了数学家们三百多年……

从费马的经历和性格而言，并不像是那种大吹牛皮的人。奇怪的是，在他所有的信件中，费马也没有提到他证明了费马大定理。也可能他原以为自己证明了，后来又突然意识到实际上他并没有证明？但又忘记了曾经写过的那条书边评注？

图1：欧拉和费马大定理

不过，根据费马的说法，他当时应该是证明了点儿什么，也许证明了某种特殊情况？

100年后，欧拉证明了n=3时的费马猜想：即“任何正整数的立方，不可能表示成另外两个正整数立方之和”。据说欧拉去翻过费马的手稿，终于在一个不起眼的地方发现了费马对n=4的证明。因此，费马的确证明了n=4时的费马大定理，费马也声称用他的无穷递降法他也证明了n=3的情况。n=4是费马大定理最简单的情况，下面给出n=4的证明，包你能看懂！（n=3和n=4的证明，思路是类似的）。

一，证明思路：

图2：费马大定理n=4

证明的思路如图2所示，

1，证明更强的命题：“x⁴+y⁴=z²没有正整数解”，来证明“x⁴+y⁴=z⁴没有正整数解”；

2，利用毕达哥拉斯三元组（勾股数: a,b,c）的性质；

3，运用费马的“无穷递降法”完成证明。

解释如下：

第1点比较明显，稍加思考就能明白；

第2点涉及勾股数：勾股数是符合毕达哥拉斯定理的3个正整数。勾股数有如下性质：

三者（a,b,c）互质的勾股数是素勾股数，

任何勾股数都可化简为素勾股数，

素勾股数可以写成一种形式：  a=2mn，b=m²−n²，c=m²+n²。

有关勾股数的更多性质见维基百科^【1】。

第3点谈到的无穷递降法^【2】，是证明的核心，简单且有趣，在下一节中介绍。

然后，在最后一节写出简单的证明过程。

二，无穷递降法：

这种方法特别适合数论中证明某个“没有正整数解”的命题。它基于一个简单的事实：很容易就能找到一个无限递增的正整数序列，其中每一项都比前一项大：例如图3左图列举的整数序列（1、2、3、4、……、）和整数立方序列（1、8、27、64……）等。但是，你不可能能得出一个无限的正整数序列，其中每一项都比前一项小。例如，无论你从多大的数开始，只要是递减，整数序列注定会终止。所以，费马说：不存在无限长的正整数递减序列，任何正整数递减序列迟早会停止。基于这个道理，如果你从某个命题得到了这样的正整数递减序列，那么就可以用反证法证明这个命题不存在。

费马这个看似简单的定理在数论上很有用，因此也有着深远的数学意义。

举个很容易理解的例子来理解无穷递降法。例如，证明方程xy+y²=x²没有正整数解^【3】。

图3：无限递降法

如图3右图，得到a，b的方程ab+b²=a²；然后使用代数将其重写为 (a+b)/a=a/b；（事实上是黄金分割的表达式）。然后画出一个a× (a+b) 矩形，其中包含一个a×a正方形和一个a×b矩形，如图所示，用几何方式表示该方程。大的a× (a+b) 矩形与小的a×b矩形是相似的：将前者旋转90 度并将其缩小，即可得到后者。因此，大矩形是黄金矩形，较小的矩形与大矩形相似，也是一个黄金矩形；小黄金矩形又可以分解为一个正方形和一个更小的黄金矩形，并且可以以此类推地进行。如果a、b是实数，可以无穷无尽地进行下去。但是，如果大矩形的边a和(a+b)都是整数，那么，a和b也是整数。于是，我们就得到了一个无限小下去的正整数序列。根据无限递降原理，这是不可能的。所以，矩形不存在，即满足方程的正整数不存在，证毕。

3，证明过程：费马最后定理（n=4）：x⁴+y⁴=z⁴没有正整数解^【4】

我们通过证明更强的命题“x⁴+y⁴=z²（方程1）没有正整数解”来证明n=4的费马大定理^【1】。

假设有一个正整数组合(x,y,z)满足方程1，那么，(x²,y²,z)形成一组勾股数，或素勾股数。不失一般性，假设x是偶数，y是奇数，然后，z应为奇数，互质勾股数(x²,y²,z)可以写成：

x²=2mn，y²=m²−n²，z=m²+n²

因为y²+n²=m²， y是奇数，n是偶数，所以m是奇数。(n,y,m) 是素勾股数，然后存在互质的新变量r，s，

n=2rs，y=r²−s²，m=r²+s²

又有：m(n/2) = (x/2)²,  因m和n/2互质，所以m和n/2皆为平方数。

同样，r和s互质，也皆为平方数：

然后，r=x₀²，s=y₀²，m=z₀²，代入m=r²+s²，便有，x₀⁴+y₀⁴=z₀²，->    z=m²+n²>m²>z₀

总结上面的过程，就是说，从勾股数(x²,y²,z)，可以得到另一个更小的勾股数(x₀²,y₀²,z₀)，还可以以此类推……。但是，根据费马的“无穷递降法”，过程不可能无限继续下去。因此，“假设有一个正整数组合(x,y,z)满足方程1”不成立，证毕。

参考资料：

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%80%92%E9%99%8D%E6%B3%95

【2】Grant, M. and Perella, M. (1999) Descending to the Irrational. The Mathematical Gazette, 83, 263-267.   http://dx.doi.org/10.2307/3619054

【3】https://mathenchant.wordpress.com/2016/05/16/fermats-last-theorem-the-curious-incident-of-the-boasting-frenchman/

【4】https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html