費馬看到畢達哥拉斯定理，擴展思路得到了一個猜想，然後還輕描淡寫地撂下一句話，說他有個精妙的證明但空白太小寫不下！然後，他的猜想折騰了數學家們三百多年……

從費馬的經歷和性格而言，並不像是那種大吹牛皮的人。奇怪的是，在他所有的信件中，費馬也沒有提到他證明了費馬大定理。也可能他原以為自己證明了，後來又突然意識到實際上他並沒有證明？但又忘記了曾經寫過的那條書邊評註？

圖1：歐拉和費馬大定理

不過，根據費馬的說法，他當時應該是證明了點兒什麼，也許證明了某種特殊情況？

100年後，歐拉證明了n=3時的費馬猜想：即“任何正整數的立方，不可能表示成另外兩個正整數立方之和”。據說歐拉去翻過費馬的手稿，終於在一個不起眼的地方發現了費馬對n=4的證明。因此，費馬的確證明了n=4時的費馬大定理，費馬也聲稱用他的無窮遞降法他也證明了n=3的情況。n=4是費馬大定理最簡單的情況，下面給出n=4的證明，包你能看懂！（n=3和n=4的證明，思路是類似的）。

一，證明思路：

圖2：費馬大定理n=4

證明的思路如圖2所示，

1，證明更強的命題：“x⁴+y⁴=z²沒有正整數解”，來證明“x⁴+y⁴=z⁴沒有正整數解”；

2，利用畢達哥拉斯三元組（勾股數: a,b,c）的性質；

3，運用費馬的“無窮遞降法”完成證明。

解釋如下：

第1點比較明顯，稍加思考就能明白；

第2點涉及勾股數：勾股數是符合畢達哥拉斯定理的3個正整數。勾股數有如下性質：

三者（a,b,c）互質的勾股數是素勾股數，

任何勾股數都可化簡為素勾股數，

素勾股數可以寫成一種形式：  a=2mn，b=m²−n²，c=m²+n²。

有關勾股數的更多性質見維基百科^【1】。

第3點談到的無窮遞降法^【2】，是證明的核心，簡單且有趣，在下一節中介紹。

然後，在最後一節寫出簡單的證明過程。

二，無窮遞降法：

這種方法特別適合數論中證明某個“沒有正整數解”的命題。它基於一個簡單的事實：很容易就能找到一個無限遞增的正整數序列，其中每一項都比前一項大：例如圖3左圖列舉的整數序列（1、2、3、4、……、）和整數立方序列（1、8、27、64……）等。但是，你不可能能得出一個無限的正整數序列，其中每一項都比前一項小。例如，無論你從多大的數開始，只要是遞減，整數序列註定會終止。所以，費馬說：不存在無限長的正整數遞減序列，任何正整數遞減序列遲早會停止。基於這個道理，如果你從某個命題得到了這樣的正整數遞減序列，那麼就可以用反證法證明這個命題不存在。

費馬這個看似簡單的定理在數論上很有用，因此也有着深遠的數學意義。

舉個很容易理解的例子來理解無窮遞降法。例如，證明方程xy+y²=x²沒有正整數解^【3】。

圖3：無限遞降法

如圖3右圖，得到a，b的方程ab+b²=a²；然後使用代數將其重寫為 (a+b)/a=a/b；（事實上是黃金分割的表達式）。然後畫出一個a× (a+b) 矩形，其中包含一個a×a正方形和一個a×b矩形，如圖所示，用幾何方式表示該方程。大的a× (a+b) 矩形與小的a×b矩形是相似的：將前者旋轉90 度並將其縮小，即可得到後者。因此，大矩形是黃金矩形，較小的矩形與大矩形相似，也是一個黃金矩形；小黃金矩形又可以分解為一個正方形和一個更小的黃金矩形，並且可以以此類推地進行。如果a、b是實數，可以無窮無盡地進行下去。但是，如果大矩形的邊a和(a+b)都是整數，那麼，a和b也是整數。於是，我們就得到了一個無限小下去的正整數序列。根據無限遞降原理，這是不可能的。所以，矩形不存在，即滿足方程的正整數不存在，證畢。

3，證明過程：費馬最後定理（n=4）：x⁴+y⁴=z⁴沒有正整數解^【4】

我們通過證明更強的命題“x⁴+y⁴=z²（方程1）沒有正整數解”來證明n=4的費馬大定理^【1】。

假設有一個正整數組合(x,y,z)滿足方程1，那麼，(x²,y²,z)形成一組勾股數，或素勾股數。不失一般性，假設x是偶數，y是奇數，然後，z應為奇數，互質勾股數(x²,y²,z)可以寫成：

x²=2mn，y²=m²−n²，z=m²+n²

因為y²+n²=m²， y是奇數，n是偶數，所以m是奇數。(n,y,m) 是素勾股數，然後存在互質的新變量r，s，

n=2rs，y=r²−s²，m=r²+s²

又有：m(n/2) = (x/2)²,  因m和n/2互質，所以m和n/2皆為平方數。

同樣，r和s互質，也皆為平方數：

然後，r=x₀²，s=y₀²，m=z₀²，代入m=r²+s²，便有，x₀⁴+y₀⁴=z₀²，->    z=m²+n²>m²>z₀

總結上面的過程，就是說，從勾股數(x²,y²,z)，可以得到另一個更小的勾股數(x₀²,y₀²,z₀)，還可以以此類推……。但是，根據費馬的“無窮遞降法”，過程不可能無限繼續下去。因此，“假設有一個正整數組合(x,y,z)滿足方程1”不成立，證畢。

參考資料：

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%80%92%E9%99%8D%E6%B3%95

【2】Grant, M. and Perella, M. (1999) Descending to the Irrational. The Mathematical Gazette, 83, 263-267.   http://dx.doi.org/10.2307/3619054

【3】https://mathenchant.wordpress.com/2016/05/16/fermats-last-theorem-the-curious-incident-of-the-boasting-frenchman/

【4】https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html