第十六章﹕三體問題及趣聞
話說回來，在19世紀初，狹義相對論和量子力學掀起物理學革命的那幾年，愛因斯坦正年富力強，精力充沛，而龐加萊卻是疾病纏身，心力交瘁。龐加萊又肩負着數學領袖的重任，數學中有太多太多的由他提出、而又尚未證明的猜想和定理，占據了他的大部分時間和精力。想必他也無暇去顧及思考更多有關狹義相對論的問題了。 的確，作為一個數學家，龐加萊一生所系、不斷思考、至死念念不忘的，還是數學問題，是由他始開先河的微分方程定性理論研究和代數拓撲學。因此，讓我們在本章中，還回到當年的三體問題，以及龐加萊為解決三體問題而發展的數學。這其中蘊涵着龐加萊最重要的創新：把握定性和整體的拓撲思想。 國王奧斯卡二世用以懸賞N體問題的獎金數額不算很多，但全世界的數學家們仍然趨之若鶩，為什麽呢？因為能夠獲此獎項將是一個莫大的榮譽，再則，所懸賞的N體問題本來就是數學上一個極為重要、有待解答的問題。 二體問題早在牛頓時代已被完滿解決，三體問題卻至今仍然懸而未決，一直是人們關注的焦點。1878年，美國數學家希爾(1838—1914)發表文章【1】，論證月球近地點運動具有周期性。希爾的工作引起龐加萊對三體問題發生了極大的興趣。龐加萊本來就一直在研究這個問題，因此，國王的懸賞對他而言，只是正中下懷，來得正是時候。這送上門來的名利雙收機會，何樂而不為呢？ 根據牛頓的萬有引力定律，學過高中物理的學生都不難列出三體問題的運動方程，它是含有九個方程的微分方程組。但是，求解這個方程則是難上加難，並不存在一般條件下的精確解。龐加萊首先採取了希爾的辦法，將此問題簡化成了所謂‘限制性三體問題’。 限制性三體問題是三體問題的特殊情況。當所討論的三個天體中﹐有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比﹐小到可以忽略時﹐這樣的三體問題稱為限制性三體問題。首先，我們把小天體的質量m看成無限小﹐就可以不考慮它對兩個大天體的作用。這樣，兩個大天體便按照開普勒定律，繞着它們的質量中心作穩定的橢圓運動（不考慮拋物線和雙曲線的情形）。然後，我們再來考慮小天體的質量m有限時，在兩個大天體m1和m2的重力場中的運動。也就是說，我們將小天體對大天體的作用忽略不計，只考慮大天體對小天體的吸引力。如此一簡化，原來的九個微分方程組變成了只有三個變量的微分方程組。 例如，當初的希爾就是用更簡化了的‘平面圓型限制性三體問題’，來研究月球的運動。他略去了太陽軌道偏心率﹑太陽視差和月球軌道傾角﹐得到了月球中間軌道的周期解。如今，航天科學家們常用限制性三體問題，研究在月球、地球引力的作用下，人造衛星、火箭及各種飛行器的運動規律。 即使簡化成了三個微分方程，只有三個變量，也仍然無法求出精確解啊。龐加萊意識到，要解決問題必須想出新的辦法，總不能在一棵樹上吊死。既然無法求出精確解，就放棄尋找精確解的努力好啦！於是，龐加萊開始定性地研究解的性質。也就是說，從三個微分方程出發，用幾何的方法，從整體上設法了解可能存在的各種天體軌道的性質和形態。這樣，龐加萊為微分方程定性理論的研究鋪平了道路。 
圖（16.1）限制性三體問題 如圖（16.1）所示，龐加萊企圖定性地研究包括小塵埃和兩個大星球的‘限制性三體問題’。這種情形下，兩個大星球的二體問題可以精確求解，大星球1和2相對作橢圓運動。龐加萊需要定性描述的只是小塵埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的運動軌跡。 龐加萊運用漸近展開與積分不變性的方法，定性研究小塵埃的軌道。他深入研究小塵埃在所謂‘同宿軌道’和‘異宿軌道’（相當於奇點）附近的行為，但一直沒有得到令他滿意的結果，最後不得不在1888年五月，比賽截至之前提交了他的論文。國王懸賞的評審團成員是當時三位鼎鼎有名的數學家：法國數學家Charles Hermite（Hermitian矩陣以他命名），德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯及他的學生：瑞典數學家米塔-列夫勒。儘管龐加萊並沒有完全滿足奧斯卡二世懸賞的要求，沒有解決N體問題，但他的160頁的文章仍然令評審團的三位數學巨匠興奮無比。他們認為龐加萊對三體問題的研究取得了重大突破，太陽系的相對穩定得到確認。維爾斯特拉斯在給米塔-列夫勒的信中寫道：“請告訴您的國王，這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌着天體力學的一個新時代的誕生。因此，陛下預期的公開競賽的目的，可以認為已經達到了。” 於是，國王高興地把奧斯卡獎—2500瑞典克朗和一枚金質獎章，授予了龐加萊。 在1889年冬天，評審團準備將龐加萊的論文在數學雜誌上發表。文章已經印好，而且送到了當時最有名的一些數學家那裡。就在這時，負責校對的一位年輕數學家發現文章中有一些地方的證明不夠清楚，建議龐加萊增加一段解釋作為補充材料。於是，龐加萊開始重新深入研究這一部分。 龐加萊越是深入研究小塵埃的軌道在奇點附近的性質形態，發現的問題就越多。情況有些類似八十多年後MIT的氣象學家洛倫茨面對的困境。當然，他不如洛倫茨幸運, 能在計算機的屏幕上顯示奇異吸引子的曲線。但是，龐加萊卻以他驚人的思維和想象能力, 在自己的頭腦里構造出了‘限制性三體問題’的某些奇特解的雛形。從解的奇怪行為中,龐加萊看到了當今人們所說的‘混沌現象’。不過, 局限於他當時的經典世界觀,他還未能完全理解得到的結果, 只能迷惑而感嘆地說了一句：“無法畫出來的圖形的複雜性令我震驚!”（見圖（16.1）右圖） 既然解的圖形複雜得無法畫出來，龐加萊意識到，在原來的論文中，不僅僅是像那個年輕人所說的那種“證明不太清楚”的小問題，而是包含着一個‘錯誤’。於是，他趕快通知米塔-列夫勒，收回已經印出的雜誌予以銷毀。同時，龐加萊大刀闊斧地修改和趕寫論文。一直到第二年，1890年的十月，龐加萊的長達270頁論文的新版本才重新問世。 龐加萊堅持自己支付了印刷第一版的費用：3585克郎，這個數目大大超過了一年之前他得到的獎金。作為題外話，還有一件遺憾之事：幾年前有報道說，有人從龐加萊的孫子家裡，偷走了當初龐加萊贏得的那枚金質獎章。所以，對這次懸賞活動，龐加萊是倒賠了1000多克郎，金質獎章也不翼而飛。當然，對數學大師而言，區區金錢算什麼呢？龐加萊慶幸對論文作了這個重要的修正。並且，正是這個‘錯誤’，使得龐加萊對方程的解的狀況重新研究和思考，改正了他的一個穩定性定理，最終導致了他對同宿交錯網的發現。 龐加萊發現，即使對簡化了的‘限制性三體問題’，在同宿軌道或者異宿軌道附近，解的形態會非常複雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終命運。而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，這也就是我們現在稱之為混沌的現象。（圖16.2）  圖（16.2）限制性三體問題：初值有微小差別的十條軌道隨時間的演化過程 點擊圖像可到JAVA演示程序 http://alecjacobson.com/programs/three-body-chaos/ 參考文獻： 【1】G. W. HILL, Researches in the lunar theory, Amer. J. Math. I (1878), 5-26, 129-147, 245-260.
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