费马(fermat,1601~1665)被人们称为业余数学家之王,因为他的正经职业是律师,数学不过是他的业余爱好。但正是这个业余爱好使他名留青史。费马对数论独有情钟,在·数论中留下许多猜想。一个数学命题,没有被证明之前,叫做猜想,如果被证明了就成为了“定理”。比如现在已经有的“费马大定理”、“费马小定理”,原来都是猜想,后来被证明了,升级成了定理。
猜想也可以被“证伪”,就是如果你能举出一个反例的话,就说明这个猜想不成立,再也不可能被“证明”了。在费马的猜想中,就有一个这样的例子,把它叫做费马数猜想,简介如下。 在1640年,费马提出了一个猜想,认为当n是非负整数时,如下定义的Fn都是质数。 ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=Fn.jpg&id=1312239)
后人把从如上公式算出来的数叫做“费马数”。 费马当然不是随意地胡乱猜想,起码自己计算了一下前面几个数: 当n=0时, ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F0.jpg&id=1312234)
当n=1时, ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F1.jpg&id=1312233)
当n=2时, ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F2.jpg&id=1312235)
当n=3时, ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F3.jpg&id=1312236)
当n=4时, ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F4.jpg&id=1312237)
不难验证这5个数都是质数,那么当n=5呢?F5 = 232 还是可以算出来的,但是,数值比较大,是不是质数呢?分解起来就有点麻烦了,但费马认为也应该是质数。因此,费马适可而止,留下一个猜想:费马数都是质数! 这个猜想的命运如何呢?几乎100年之后,出了一位喜欢玩数论的年轻人叫欧拉,否定了这一猜想。欧拉计算了第6个费马数,并且将其分解成了两个数的乘积: ![F5.jpg](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=F5.jpg&id=1312241)
尽管欧拉已经否定了费马的结论,这个猜想未能修成正果,不能上升为定理,但仍然吸引不少研究者的兴趣。 ![](http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=attachment&filename=%B7%D1%C2%ED%CA%FD.jpg&id=1312240)
事实上,n=5~11时,结果都不是质数。到2018年为止,也只验证到了n=11的情况,从12之后是否是质数,仍然没有结论。 实际上,如果证实了,猜想可以结束,而“证伪”反而引起了更多悬而未决的问题,有兴趣读者请看参考资料。 参考资料: 【1】维基百科:费马数,https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E6%95%B8 【2】Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
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