費馬（fermat，1601~1665）被人們稱為業餘數學家之王，因為他的正經職業是律師，數學不過是他的業餘愛好。但正是這個業餘愛好使他名留青史。費馬對數論獨有情鍾，在·數論中留下許多猜想。一個數學命題，沒有被證明之前，叫做猜想，如果被證明了就成為了“定理”。比如現在已經有的“費馬大定理”、“費馬小定理”，原來都是猜想，後來被證明了，升級成了定理。

猜想也可以被“證偽”，就是如果你能舉出一個反例的話，就說明這個猜想不成立，再也不可能被“證明”了。在費馬的猜想中，就有一個這樣的例子，把它叫做費馬數猜想，簡介如下。

在1640年，費馬提出了一個猜想，認為當n是非負整數時，如下定義的F_n都是質數。

後人把從如上公式算出來的數叫做“費馬數”。

費馬當然不是隨意地胡亂猜想，起碼自己計算了一下前面幾個數：

當n=0時，

當n=1時，

當n=2時，

當n=3時，

當n=4時，

不難驗證這5個數都是質數，那麼當n=5呢？F₅ = 2³² 還是可以算出來的，但是，數值比較大，是不是質數呢？分解起來就有點麻煩了，但費馬認為也應該是質數。因此，費馬適可而止，留下一個猜想：費馬數都是質數！

這個猜想的命運如何呢？幾乎100年之後，出了一位喜歡玩數論的年輕人叫歐拉，否定了這一猜想。歐拉計算了第6個費馬數，並且將其分解成了兩個數的乘積：

儘管歐拉已經否定了費馬的結論，這個猜想未能修成正果，不能上升為定理，但仍然吸引不少研究者的興趣。

事實上，n=5~11時，結果都不是質數。到2018年為止，也只驗證到了n=11的情況，從12之後是否是質數，仍然沒有結論。

實際上，如果證實了，猜想可以結束，而“證偽”反而引起了更多懸而未決的問題，有興趣讀者請看參考資料。

參考資料：

【1】維基百科：費馬數，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E6%95%B8

【2】Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2