戴榕菁 所谓连续性假说(Continuum Hypothesis,缩写CH)是有著名集合论大师康托在1878年提出来,又被希尔伯特在1900年列为23个数学问题的第一个,而且据说至今也没有明确答案的一个问题。其基本论点为:不存在这样一个集合,它的基数大于自然数集合的基数而小于实数集合的基数。 昨天在academia被邀请去参加某人证明CH的文章的讨论(https://www.academia.edu/s/a6ed99ac3f?source=link)。我之前从未关心过这个问题(不敢说没听说过,因为这些年读过的文章数不清,未必都留下印象。只能说没什么印象),不过昨天我直觉感到这个假说本身就是错的。我给出了一个简单的反例,但因为没有用到无穷的概念,被那里的人认为不能接受。今天我上网查了一下,发现康托本人的工作似乎并非要证明这个假说,而是要否定这个假说,只不过一直未成功。后来的哥德尔等人用复杂的数学也是为了证明这个假说不对,只不过未能成功而已。 上面这些信息对一上来就要否认该假说的我来说是很大的鼓舞,于是我便将昨天给出的简单的反例扩展到无穷大集合来否定CH的合理性。我个人至少目前感觉我的证明是严格的。下面是我的证明: 先证明有理数序列的基数大于自然数序列。 我们可以将自然数序列表达为: 1, 2, ….m, m+1,….. 其中m是任意一个自然数,则我们可以构建下面有理数的无穷大序列: 1/2, 2, 1, 2, -1/2, -2, -1,-2, …..m/(m+1), (m+1)/m, m, m+1, -m/(m+1), -(m+1)/m, -m, -(m+1), ……. 很显然,不论你如何延展这个有理数序列,它的基数都是自然数的4倍;即便我们要除去重复的数(除去所有被1除的数,及其它的整数倍的分数),它的基数也一定是大于自然数。 再来证明实数的基数大于自然数的基数。 对于任何一个大于1的有理数m/n,我们可以构造下面这个序列: (m/n)^(1/2), (m/n)^(1/3), (m/n)^(1/4)…..(m/n)^(1/k)….. 该序列中的至少绝大多数都是无理数。所以,实数的基数一定大于有理数。 至此希尔伯特的23问题之第一问题的连续性假说(Continuum Hypothesis,CH)被否定。 。。。。。。 我的证明是个意外,因此欢迎数学大师们来找毛病。。。。
|