戴榕菁

所謂連續性假說（Continuum Hypothesis，縮寫CH）是有著名集合論大師康托在1878年提出來，又被希爾伯特在1900年列為23個數學問題的第一個，而且據說至今也沒有明確答案的一個問題。其基本論點為：不存在這樣一個集合，它的基數大於自然數集合的基數而小於實數集合的基數。

昨天在academia被邀請去參加某人證明CH的文章的討論（https://www.academia.edu/s/a6ed99ac3f?source=link）。我之前從未關心過這個問題（不敢說沒聽說過，因為這些年讀過的文章數不清，未必都留下印象。只能說沒什麼印象），不過昨天我直覺感到這個假說本身就是錯的。我給出了一個簡單的反例，但因為沒有用到無窮的概念，被那裡的人認為不能接受。今天我上網查了一下，發現康托本人的工作似乎並非要證明這個假說，而是要否定這個假說，只不過一直未成功。後來的哥德爾等人用複雜的數學也是為了證明這個假說不對，只不過未能成功而已。

上面這些信息對一上來就要否認該假說的我來說是很大的鼓舞，於是我便將昨天給出的簡單的反例擴展到無窮大集合來否定CH的合理性。我個人至少目前感覺我的證明是嚴格的。下面是我的證明：

先證明有理數序列的基數大於自然數序列。

我們可以將自然數序列表達為：

1, 2, ….m, m+1,…..

其中m是任意一個自然數，則我們可以構建下面有理數的無窮大序列：

1/2, 2, 1, 2, -1/2, -2, -1,-2, …..m/(m+1), (m+1)/m, m, m+1, -m/(m+1), -(m+1)/m, -m, -(m+1), …….

很顯然，不論你如何延展這個有理數序列，它的基數都是自然數的4倍；即便我們要除去重複的數（除去所有被1除的數，及其它的整數倍的分數），它的基數也一定是大於自然數。

再來證明實數的基數大於自然數的基數。

對於任何一個大於1的有理數m/n，我們可以構造下面這個序列：

(m/n)^(1/2), (m/n)^(1/3), (m/n)^(1/4)…..(m/n)^(1/k)…..

該序列中的至少絕大多數都是無理數。所以，實數的基數一定大於有理數。

至此希爾伯特的23問題之第一問題的連續性假說（Continuum Hypothesis，CH）被否定。

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我的證明是個意外，因此歡迎數學大師們來找毛病。。。。